Рисунок 5 – Окно поиска решения
После выполнения всех этих операций в форме отобразится результат поиска решения.
3.6 Алгоритм решения задачи о наилучшем использовании ресурсов
1.Составляется математическая модель задачи.
2.Математическая модель приводится к каноническому виду. Преобразование состоит в переходе от системы неравенств к равенствам. Для этого вводятся дополнительные переменные в каждое уравнение ограничений.
3.Составляется начальный опорный план.
4.Определяется оптимальность начального опорного плана.
5.При неоптимальности начального опорного плана строится новый опорный план. Для этого используются преобразования п. 3.3.
6.Определяется оптимальность нового опорного плана.
7.При нахождении оптимального решения строится двойственная задача и решается в соответствии с п. 3.4.
8.Проверка правильности решения проводится при помощи Поиска решения, п. 3.5.
Задания по данной теме находятся в приложении Б.
4 СТАТИСТИЧЕСКИЙ ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ
Статистический дисперсионный анализ — один из методов выявления влияния отдельных факторов на показатель технологического процесса, или параметр оптимизации, вместе с регрессионным и корреляционным анализом составляет основу обработки экспериментальных данных, полученных в результате пассивного и активного экспериментов.
В данном случае при дисперсионном анализе имеют дело с дисперсиями факторов, т. е. мерой разброса измеренных значений переменного относительно средней величины.
24
В общем виде задачи дисперсионного анализа могут быть сформулированы следующим образом. Текущий контроль или специальные исследования
производства устанавливают неустойчивость того или иного процесса либо качества продукта. Вместе с тем, данные контроля не указывают непосредственно на главную причину этой неустойчивости. Как проанализировать эти данные,
чтобы с требуемой достоверностью определить влияние каждого из факторов на колеблемость или изменчивость изучаемого показателя?
Эта же задача может быть поставлена и в несколько иной форме. Характер колебаний рассматриваемого признака относительно устойчив, однако размах колебаний гораздо больше допустимого или желательного. Необходимо уменьшить размах и выявить для этого, какую долю размаха вызывает тот или другой из известных факторов процесса.
Метод решения таких задач — дисперсионный анализ — основан на свойстве аддитивности дисперсии, т. е. на том, что полная дисперсия интересующего нас показателя равна сумме составляющих ее частных дисперсий.
Простейшим случаем дисперсионного анализа является однофакторный дисперсионный анализ. Если регрессионный анализ позволяет осуществить количественный анализ данных, то дисперсионный анализ осуществляет их качественный анализ. Под факторами будем понимать различные независимые показатели. Термин однофакторный анализ или классификация по одному признаку относиться к анализу, который сравнивает средние арифметические результативного признака, получаемые при различных уровнях фактора.
Исследуемый результативный признак Y – случайная величина, зависящая от одного фактора X. Фактор X изучается на m уровнях X1, X2,…Xm и на каждом уровне фактора X приведено одинаковое число измерений n признака Y. Данные представляются в виде таблицы 6
Таблица 6
Номер |
|
|
|
Уровни фактора X |
|
|
|
испытания |
X1 |
|
X2 |
… |
Xj |
… |
Xm |
1 |
|
Y11 |
Y12 |
… |
Y1j |
… |
Y1m |
2 |
|
Y21 |
Y22 |
… |
Y2j |
… |
Y2m |
… |
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
n |
|
Yn1 |
Yn2 |
… |
Ynj |
… |
Ynm |
Групповое |
|
y1 |
y2 |
… |
yj |
… |
ym |
среднее |
|
|
|
||||
В последней строке таблицы 6 вычисляются групповые средние значения yij полученных наблюдений для каждого из уровней фактора:
|
|
1 |
n |
|
|
(27) |
y j |
= |
å yij , j = 1, m |
|
|||
n |
|
|||||
|
|
i=1 |
|
|||
Для решения задач дисперсионного анализа вычисляются следующие величины:
1) общее выборочное среднее y признака Y
25
|
1 |
n |
m |
1 |
m |
(28) |
y = |
å å yij = |
å y j |
|
|||
|
|
|
||||
|
mn i=1 |
j=1 |
m j=1 |
|
||
2) общую сумму квадратов отклонений полученных наблюдений от общего среднего y
n |
m |
|
(29) |
SSобщ = å å( yij |
− y)2 |
|
|
i=1 |
j=1 |
|
|
3) факторную сумму квадратов отклонений групповых средних yj от общего среднего y
n |
m |
m |
(30) |
SSфакт = å å( y j − y)2 |
= nå(y j − y)2 |
|
|
i=1 |
j=1 |
j=1 |
|
Факторная сумма квадратов отклонений характеризует разброс значений уровней фактора относительно общего выборочного среднего, т.е. между уровнями фактора.
4) остаточную сумму квадратов отклонений значений yij от своей групповой средней y j
n |
m |
(31) |
SSост = å å( yij − y j )2 |
|
|
i=1 |
j=1 |
|
Наличие разброса при фиксированном значении фактора х объясняется действием неучитываемых факторов, т. е. различными случайными причинами. Не выделяя какую-либо одну из них, будем характеризовать суммарный эффект от них остаточной дисперсией S2ост, которая, представляя разброс результатов измерений у относительно уiср зависит от суммы квадратов отклонений у, измеренных при каждом значении х, от соответствующих условных групповых средних y j .
Очевидно, что если исключить влияние неучитываемых факторов, разброса
упри фиксированном x наблюдаться не будет и общий разброс у определится только действием х. С другой стороны, если бы влияние фактора х на у отсутствовало, а случайные причины оказывали свое действие, то общий разброс
уопределялся бы только ими и характеризовался только остаточной дисперсией от действия неучитываемых факторов.
Поэтому правильность вычислений проверяется из условия:
SSобщ = SSфакт + SSост
На основе полученных значений квадратов отклонений вычисляется общая, факторная и остаточная дисперсии. Для этого суммы квадратов отклонений нужно разделить на соответствующее количество степеней свободы:
|
1 |
n |
m |
(32) |
S 2 общ = |
å å(yij − y)2 |
|
||
|
|
|||
|
mn −1 i=1 |
j=1 |
|
|
26
S2факт = |
1 |
n |
m |
(yj − y)2 |
(33) |
|
å å |
|
|||||
|
|
|||||
|
|
m −1 i=1 |
j=1 |
|
|
|
|
|
1 |
n |
m |
|
(34) |
S 2ост = |
|
å å(yij − y j )2 |
|
|||
m(n −1) |
|
|||||
|
i=1 |
j=1 |
|
|||
Для проверки влияния уровней факторов на показатель изучаемого процесса воспользуемся критерием Фишера. Вычисляется F-отношение, т. е. отношение
F |
= |
|
S |
2 |
|
факт |
(35) |
|
|
|
|
|
|
|
, |
||
|
S |
|
2 |
ост |
||||
если S2факт < S2ост или |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
(36) |
|
F |
= |
|
S |
|
2 |
ост |
||
|
|
|
|
|
|
, |
||
|
S |
2 |
факт |
|||||
|
|
|
|
|||||
если S2ост < S2факт.
По уровню значимости α=0,05 и числу степеней свободы к1 и к2, где к1- число степеней свободы большей дисперсии, найдем границу критической области.=F(α,к1, к2).
Если Fэксп < Fкрит, то Н0 принимается, то есть влияние фактора Х признается несущественным.
Если же Fэксп > Fкрит, то Н0 отвергается, влияние фактора Х на признак У признается существенным. В этом случаи задача дисперсионного анализа может
быть продолжена с использованием положений регрессионно-корреляционного анализа.
4.1 Реализация дисперсионного анализа с помощью анализа данных в электронных таблицах Excel
Анализ данных в электронных таблицах позволяет быстро провести однофакторный и двухфакторный дисперсионный анализ.
Для проведения однофакторного дисперсионного анализа необходимо выполнить следующую последовательность действий:
1.Разместить исходные данные в таблицу 6.
2.Вызвать меню Сервис команду Анализ данных.
3.В открывшемся диалоговом окне выбрать Однофакторный дисперсионный анализ.
4.В диалоговом окне «Однофакторный дисперсионный анализ» указать диапазон размещения исходных данных, установить маркер напротив команды Группировать по столбцам, указать начальную ячейку диапазона, где будет размещаться результат.
27