Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Применение ЭВМ пособие.pdf
Скачиваний:
56
Добавлен:
15.03.2016
Размер:
637.99 Кб
Скачать

6 СТАТИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ. КРИТЕРИИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЯ

Управление производственными процессами осуществляется путем реализации последовательности принимаемых решений. Для этого необходима информация о состоянии объекта управления в условиях его работы. В случае

отсутствия достаточно полной информации возникает неопределенность в принятии решения.

Любую хозяйственную деятельность можно рассматривать как игру с природой. В широком смысле под «природой» будем понимать совокупность

неопределенных факторов, влияющих на эффективность принимаемого решения.

Статистические игры представляют собой основную модель теории принятия решений в условиях частичной неопределенности.

Множество состояний природы обозначим через П, отдельное состояние через Пj, Пj П (j=1, n). Множество решений (стратегий) обозначим через А, отдельное решение – Ai, Ai A (i=1, m).

Во взаимоотношениях с природой можно использовать любые стратегии из А в зависимости от состояний природы Пj. Имея ряд стратегий А1, …, Аm

статистик может руководствоваться некоторым правилом поведения с помощью которого он определяет какую стратегию ему выбрать. Иными словами, статистик отыскивает оптимальное поведение, которое и будет является оптимальной стратегией.

Чтобы выразить в количественной форме упомянутое выше правило, которым статистик должен руководствоваться, предполагается, что есть возможность численно оценить величиной aij эффективность каждой комбинации (Ai;Пj), иначе говоря, качество решения Ai.

Тем самым будет определена так называемая платежная матрица статистической игры на основе, которой в дальнейшем и будут сформулированы критерии выбора оптимальной стратегии.

éa

a

...

a

ù

ê 11

12

 

1n

ú

êa21

a22

... a2n ú

ê... ...

...

...

ú

ê

am2

...

 

ú

êam1

amn ú

ë

 

 

 

û

Элемент aij назовем выигрышем статистика, если он использует стратегию Ai при состоянии природы Пj.

Оптимальную стратегию можно определить, используя ряд критериев. Так, при известном распределении вероятностей различных состояний природы Пj пользуются критерием Байеса. Показателем в этом критерии служит либо величина среднего выигрыша, либо величина среднего риска.

Составляется платежная матрица, которая имеет вид:

39

Таблица 10 – Платежная матрица

Стратегия

 

Варианты возможных решений (или

Средний

статистика

 

состояния природы)

 

выигрыш ai

Ai

 

П1

 

П2

 

П3

 

A1

-a11

 

-a12

 

-a13

 

 

A2

-a21

 

-a22

 

-a23

 

 

A3

-a31

 

-a32

 

-a33

 

 

Вероятность

q1

 

q2

 

q3

 

 

данных

 

 

 

 

 

 

 

событий qj

 

 

 

 

 

 

 

Значения a11, a12 и т.д. в платежную матрицу вносятся с коэффициентом –1. По критерию Байеса за оптимальную принимается та чистая стратегия Ai,

при которой максимизируется средний выигрыш ai , т.е. обеспечивается ai = max ai , где

n

(i =1,m)

(48)

ai = åaij q j

 

j=1

 

 

По критерию Вальда за оптимальную принимается чистая стратегия Аi, при которой наименьший выигрыш игрока будет максимальным, т.е. ему

обеспечивается

a= maxi minj aij

Втаблицу 10 добавляется еще один столбец ai, в который вносятся минимальные

элементы строк по каждой стратегии Ai. Поэтому оптимальной по Вальду будет стратегия:

a=maximinjaij=maxiai

Критерий Вальда выражает позицию крайнего пессимизма, и принимаемое решение носит заведомо перестраховочный характер.

При выборе оптимальной стратегии игрока А опираются как на платежную матрицу, так и на матрицу рисков. Риском rij игрока А, когда он пользуется чистой стратегией Аi при состоянии природы Пj, называют разность между максимальным выигрышем, который он мог бы получить, если бы достоверно знал, что природой будет реализовано именно состояние Пj, и тем выигрышем, который он получит, используя стратегию Аi в неведении о том, какое же состояние Пj природа реализует. Таким образом, элементы матрицы rij матрицы рисков определяются по формуле rij = bj-aij 0, где bj = max aij - максимально возможный выигрыш игрока А при состоянии Пj (максимальный элемент j-го столбца платежной матрицы).

40

41

Таблица 11 – Матрица рисков

Стратегия

Варианты возможных решений (или

Средний риск

статистика

 

состояния природы)

ri

Ai

 

 

 

 

 

П1

 

П2

П3

 

A1

r11

 

r12

r13

r1

A2

r21

 

r22

r23

r2

A3

r31

 

r32

r33

r3

Вероятность

q1

 

q2

q3

 

данных

 

 

 

 

 

событий qj

 

 

 

 

 

макс. по

 

 

 

 

 

столбцам bj

 

 

 

 

 

Оптимальной по критерию Сэвиджа считается та чистая стратегия Аi, при которой миниминизируется величина rij максимального риска, т.е. обеспечивается minimaxjrij. Таким образом, критерий Сэвиджа советует ориентироваться не на выйгрыш, а на риск. Это критерий крайнего пессимизма, но здесь пессимизм понимается по другому: рекомендуется избегать большого риска при принятии решения. Иначе говоря за оптимальную стратегию статистика принимается чистая стратегия Ai, при которой минимизируется средний риск, т.е.

обеспечивается

ri = min ri

При этом средний риск расчитывается

 

n

 

(49)

ri

= årij q j

(i =1,m)

 

 

j=1

 

 

Критерий Гурвица является критерием пессимизма-оптимизма. За оптимальную принимается та стратегия, для которой выполняется соотношение h= maxi(λminjaij+(1-λ)maxjaij)=maxi hi, т.е. выбирается максимальное значение hi из таблицы 12.

Параметр l изменяется в диапазоне [0;1]. Выбирается из субъективных соображений.

При l=0 имеем критерий крайнего оптимизма, когда рекомендуется выбирать стратегию, обеспечивающую самый большой выигрыш, а при l=1 – критерий Гурвица превращается в критерий пессимизма Вальда. При 0<l<1 получается нечто среднее между тем и другим. Чем ответственнее ситуация, тем

больше стремление подстраховаться в ней и не рисковать без должных оснований, тем ближе к единице выбирается коэффициент пессимизма λ.

Все промежуточные результаты заносятся в таблицу 12. Таблица 12

 

П1

П2

П3

minjaij

λminjaij

maxjaij

(1-λ)maxjaij

hi

А1

 

 

 

 

 

 

 

 

А2

 

 

 

 

 

 

 

 

А3

 

 

 

 

 

 

 

 

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.