6 СТАТИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ. КРИТЕРИИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЯ

Управление производственными процессами осуществляется путем реализации последовательности принимаемых решений. Для этого необходима информация о состоянии объекта управления в условиях его работы. В случае

отсутствия достаточно полной информации возникает неопределенность в принятии решения.

Любую хозяйственную деятельность можно рассматривать как игру с природой. В широком смысле под «природой» будем понимать совокупность

неопределенных факторов, влияющих на эффективность принимаемого решения.

Статистические игры представляют собой основную модель теории принятия решений в условиях частичной неопределенности.

Множество состояний природы обозначим через П, отдельное состояние через Пj, Пj П (j=1, n). Множество решений (стратегий) обозначим через А, отдельное решение – Ai, Ai A (i=1, m).

Во взаимоотношениях с природой можно использовать любые стратегии из А в зависимости от состояний природы Пj. Имея ряд стратегий А1, …, Аm

статистик может руководствоваться некоторым правилом поведения с помощью которого он определяет какую стратегию ему выбрать. Иными словами, статистик отыскивает оптимальное поведение, которое и будет является оптимальной стратегией.

Чтобы выразить в количественной форме упомянутое выше правило, которым статистик должен руководствоваться, предполагается, что есть возможность численно оценить величиной aij эффективность каждой комбинации (Ai;Пj), иначе говоря, качество решения Ai.

Тем самым будет определена так называемая платежная матрица статистической игры на основе, которой в дальнейшем и будут сформулированы критерии выбора оптимальной стратегии.

Элемент aij назовем выигрышем статистика, если он использует стратегию Ai при состоянии природы Пj.

Оптимальную стратегию можно определить, используя ряд критериев. Так, при известном распределении вероятностей различных состояний природы Пj пользуются критерием Байеса. Показателем в этом критерии служит либо величина среднего выигрыша, либо величина среднего риска.

Составляется платежная матрица, которая имеет вид:

39

Таблица 10 – Платежная матрица

Значения a11, a12 и т.д. в платежную матрицу вносятся с коэффициентом –1. По критерию Байеса за оптимальную принимается та чистая стратегия Ai,

при которой максимизируется средний выигрыш ai , т.е. обеспечивается ai = max ai , где

По критерию Вальда за оптимальную принимается чистая стратегия Аi, при которой наименьший выигрыш игрока будет максимальным, т.е. ему

обеспечивается

a= maxi minj aij

Втаблицу 10 добавляется еще один столбец ai, в который вносятся минимальные

элементы строк по каждой стратегии Ai. Поэтому оптимальной по Вальду будет стратегия:

a=maximinjaij=maxiai

Критерий Вальда выражает позицию крайнего пессимизма, и принимаемое решение носит заведомо перестраховочный характер.

При выборе оптимальной стратегии игрока А опираются как на платежную матрицу, так и на матрицу рисков. Риском rij игрока А, когда он пользуется чистой стратегией Аi при состоянии природы Пj, называют разность между максимальным выигрышем, который он мог бы получить, если бы достоверно знал, что природой будет реализовано именно состояние Пj, и тем выигрышем, который он получит, используя стратегию Аi в неведении о том, какое же состояние Пj природа реализует. Таким образом, элементы матрицы rij матрицы рисков определяются по формуле rij = bj-aij ≥ 0, где bj = max aij - максимально возможный выигрыш игрока А при состоянии Пj (максимальный элемент j-го столбца платежной матрицы).

40