Рисунок 1

Чем ближе коэффициент корреляции к единице, тем теснее линейная зависимость между случайными переменными X и Y. Коэффициент корреляции определяется по формуле:

2.4 Дисперсионный анализ

Для проверки соответствия линейной регрессионной модели экспериментальным данным используют метод однофакторного дисперсионного анализа.

Для этого рассчитывается:

1 полную сумму квадратов (общую дисперсию):

2 сумму квадратов регрессии:

3 остаточную сумму квадратов

Проверяется a=b+c.

Проверяется гипотезу линейности , т.е. нулевую гипотезу вида H0: r=0 против альтернативной гипотезы H1: r1<>0.

Для удобства вычислений составляется таблица дисперсионного анализа:

11

Таблица 3

Если нулевая гипотеза верна, то выборочная статистика F имеет распределение Фишера с υ1=1 и υ2=n-2 степенями свободы.

Гипотеза отсутствия линейной связи между переменными X и Y отвергается на

основании этой статистики, если вычисленное значение Fнабл> Fα,1,n-2.

Fα,1,n-2 – это квантиль F-распределения с υ1=1 и υ2=n-2 степенями свободы. В противном случае гипотеза отсутствия линейной связи между переменными X

иY считается согласующейся с данными эксперимента.

2.5Алгоритм регрессионно-корреляционного анализа

1.Строится корреляционное поле.

2.Найти коэффициенты уравнения регрессии методом наименьших

квадратов.

3.Найти несмещенную дисперсию и среднеквадратичные ошибки Sb0 и Sb1.

4.Построить 95 %-ый доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии.

5.Найти коэффициент корреляции.

6.Вычислить статистику tнабл.

7.Определить коэффициент детерминации R2.

8.Провести дисперсионный анализ.

2.6Реализация методов с помощью анализа данных в электронных таблицах Excel

Анализ данных электронных таблиц Excel позволяет автоматически

осуществить поиск коэффициентов уравнения регрессии и определение коэффициентов корреляции, детерминации, доверительных интервалов и т.д.

Для этого необходимо выполнить последовательно следующие действия:

1Выбирается меню Сервис, команда Анализ данных.

2В открывшемся окне Анализ данных выбирается команда Регрессия.

3В окне Регрессия в строке Входной интервал Y указывается диапазон, где размещаются исходные значения Y в электронной таблице.

4В строке Входной интервал X указывается диапазон размещения исходных значений X в электронной таблице.

5В Параметрах вывода в окне Регрессия указывается, где Вы хотите расположить результат: на этом же листе, на новом листе или в новой книге.

12

После выбора места расположения указывается диапазон, в котором будут располагаться результаты вычислений.

6 В команде Остатки указывается, какие остатки необходимо вывести после вычислений, например вывод Стандартизированных остатков и Остатков. Для этого напротив этих команд устанавливаются галочки.

7 В команде Нормальная вероятность установить галочку напротив команды График нормальной вероятности и график подбора.

2.7 Подбор уравнения регрессии при помощи линий тренда в электронных таблицах Excel

Для построения линий тренда необходимо:

1 Выделить точку на корреляционном поле и вызвать контекстное меню, в котором выбирается команда Добавить линию тренда;

2 В открывшемся диалоговом окне Линия тренда представлены шесть видов линий тренда. Выбирается линия тренда наиболее соответствующая расположению точек на корреляционном поле;

3 Во вкладке Параметры диалогового окна Линия тренда устанавливаются

флажки напротив команд Показать уравнение на диаграмме и Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации R2. Величина достоверности аппроксимации – это коэффициент детерминации. Нажимается кнопка ОК. После чего на графике отображается уравнение регрессии и значение коэффициента детерминации.

Наиболее соответствует экспериментальным данным та линия тренда, коэффициент детерминации которой наибольший и наиболее близок к единице. При этом коэффициент детерминации должен быть больше 0,7.

2.8 Реализация метода наименьших квадратов средствами

MathCAD

Линейная регрессия является самым простым и в то же время наиболее часто используемым типом регрессии. Классическим алгоритмом линейной регрессии является метод наименьших квадратов, идея которого сводится к поиску таких коэффициентов для уравнения прямой, чтобы сумма квадратов абсолютных ошибок (b-axi-yi) была минимальна.

В MathCAD этот метод основной. Рассчитать линейную регрессию в MathCAD по методу наименьших квадратов можно с помощью двух альтернативных способов.

Первый, более простой, использует специальную функцию line(x,y), где x и y – соответствующие вектора экспериментальных данных. Результатом работы этой функции является вектор, первый элемент которого отвечает коэффициенту b, второй – коэффициенту a уравнения, наиболее хорошо усредняющей выборку прямой (функция прямой имеет общий вид f(x)=аx+b).

Недостатком функции line – результат она выдает в виде одного вектора, что не всегда удобно.

13

В MathCAD существуют функции, позволяющие вычислить коэффициенты уравнения линейной регрессии по отдельности:

Intercept(x,y). Определяет значение коэффициента b (что соответствует первой строке результата функции line);

Slope (x,y) – находит величину коэффициента a (равняется второму элементу ответа функции line.

Алгоритм реализации метода наименьших квадратов в MathCAD: 1 Ввести значения x и y в векторной форме.

Для этого записывается выражение x:=.

После чего на панели инструментов Math выбираем кнопку с изображением матрицы. В появившемся диалоговом окне в строке количество строк указываем число, соответствующее количеству значений х, а строке количество столбцов значение 1.

На экране отобразится столбцовая матрица, которую необходимо заполнить значениями х.

Аналогичным образом заполняем и матрицу y.

Матрицы такого вида в MathCAD называются векторами.

2 Ниже располагаем функцию line(x,y). Блок вычислений этой функции должен выглядеть следующим образом:

4Строим график получившейся функции. Для этого записываем уравнение в следующем виде:

r(z) := z×R1 + R0

После чего выбирается панель инструментов Graph. На которой выбирается кнопка с требуемым типом диаграммы. После этого отображается пустая координатная плоскость выбранной диаграммы и в нее вносятся названия осей. На рисунке 2 представлен результат построения линии регрессии.

Рисунок 2 Задания по регрессионно-корреляционному анализу в приложении А.

14