2.4 Выбор и обоснование модели для исследования технологического процесса

На основании имеющейся информации об объекте исследования необходимо выбрать модель, которая позволила бы разработать имитационную модель для исследования технологического процесса (объекта). При этом необходимо учитывать условия протекания процесса, режимы работы оборудования, технологические параметры процесса и т.д., особое внимание уделяется такой характеристике, как время, внешним и случайным воздействиям.

Совместно с математической моделью и выбранной моделью моделирования разрабатывается и представляется концептуальная модель, которая является основой для имитационной модели.

2.4.1 Динамические модели. В этой части первого раздела описывается разработанная математическая модель технологического процесса (объекта). Представление модели начинается с описания балансов: материального, энергетического, теплового и др. Определяются задачи математической модели, описываются входные, выходные параметры и возмущающие воздействия, устанавливается вид зависимости между ними.

Производственный процесс рассматривают как последовательную смену состояний технологических операций во времени, определяют входные и выходные переменные (рисунок 2.1). Для химико-технологических процессов входными переменными (факторами) являются физические параметры входных потоков сырья и т.п., а также параметры различных физико-химических воздействий окружающей среды, такие параметры называются управляющими воздействиями (Х₁, Х₂, …, Х_m). Выходными переменными (параметрами объекта автоматизации) служат физические параметры материальных и энергетических балансов (Y₁, Y₂, …, Y_n). Управляемые возмущающие воздействия – оперативные воздействия на изменение условий работы (М₁, М₂, …, М_К) и неконтролируемые возмущения (L₁, L₂, …, L_r).

		М1	М2		МК
Х1	Внутренние параметры z1(х,t); z2(х,t); …; zm(х,t)					Y1
Х2						Y2
Хm						Yn
		L1	L2		Lr

Рисунок 2.1 – Схема технологического объекта

Связь между входными и выходными параметрами с учетом действующих возмущений характеризуется математическими моделями, которые могут быть представлены в виде

Y₁, Y₂, …, Y_n=F(Х₁, Х₂, …, Х_m; М₁, М₂, …, М_К; L₁, L₂, …, L_r).

Выделение входных и выходных параметров весьма важно при исследовании динамики процессов химической и пищевой технологий. Используя эти понятия, можно сказать, что математическая модель, описывающая динамику технологического объекта, должна предсказывать, как будут меняться во времени выходные параметры при произвольном изменении во времени входных параметров. При этом любой технологический объект целесообразно интерпретировать как функциональный оператор, ставящий в соответствие каждому набору входных функций u₁(t), u₂(t),…, u_n(t) соответствующий набор выходных функций v₁(t), v₂(t),…, v_k(t).

Начиная с момента времени t=0, на вход объекта подается воздействие u(t). Тогда независимо от вида u(t) передаточная функция W(p) удовлетворяет соотношению

.

Здесь и- преобразования Лапласа от функцийu(t)иv(t):

2.4.2 Статические модели. Далее представляется и описывается, разработанная на базе математической модели, имитационная модель технологического процесса (объекта). Приводится обоснование модели (статическая, динамическая). Знание динамических свойств объекта автоматизации позволяет обоснованно выбрать регуляторы для объекта и с помощью имитационной модели провести эксперименты, что невозможно сделать в реальных условиях. Статические характеристики, представляющие зависимость выходных переменных от входных воздействий в установившихся режимах, определяют нахождением для каждой выходной переменной статической зависимости ее от входных воздействий в виде уравнения регрессии:

, (4)

где b₀ – свободный член уравнения регрессии; b₁… b_n – коэффициенты регрессии, отражающие линейные эффекты; b₁₂… b_n-1,n – коэффициенты регрессии, отражающие парные взаимодействия; b₁₁… b_nn – коэффициенты регрессии, отражающие квадратичные эффекты и т.д.

2.4.3 Математическое описание объекта исследования. При решении задач идентификации исследуемого объекта используются аналитические и экспериментальные подходы.

В основе аналитическогоподхода лежит детальное изучение процессов, протекающих в объекте путем рассмотрения физико-химических закономерностей, превращений и т.д. Данный подход затрудняет учет всего многообразия факторов, поэтому математическим моделям, полученным аналитическим методом, свойственна идеализация.

В основе экспериментальногоподхода лежат методыактивногои пассивного эксперимента. Припассивномэксперименте объект исследования находится в режиме нормальной эксплуатации при случайных отклонениях входных переменные и соответствующих им изменениях выходных переменных, которые фиксируются в случайные моменты времени. Затем полученные данные подвергаются статистической обработке.

П

Y

усть исследуется выходная переменнаяyпри изменении одного входного воздействияx, представленного в результате эксперимента совокупностью точек (рисунок 2.1). Цель эксперимента – установление закономерности измененияy при измененииx, т.е. установление статической характеристики объекта исследования.

x

Рисунок 2.1 – Совокупность экспериментальных данных при определении статической характеристики объекта исследования

Вид функции должен быть известен заранее, причем чаще всего рассматриваются модели первого и второго порядка /2/:

, (5)

. (6)

По результатам обработки совокупности экспериментальных данных методом наименьших квадратов определяют коэффициенты уравнения регрессии. В соответствии этим методом значение коэффициентов регрессии b₀ , b₁для модели (5)

где N– число опытов, определяются из условия минимума суммы квадратов отклонений.

(7)

где - измеренное и вычисленное значение выходной величины дляi-го опыта.

Выражение (7) для исследуемой модели записывается в виде

Чтобы найти b₀ и b₁, при которых суммаSминимальна, возьмем производную отSпоb₀ и b₁и приравняем их к нулю. После преобразований получаем уравнения:

(8)

Совместное решение этих уравнений дает:

(9)

Пример 1.Пусть имеются экспериментальные данные из 9 опытов, представленных в таблице 2.1. Рассмотрим процедуру определения статической характеристики линейного объекта

.

Таблица 2.1 – Данные и обработка результатов эксперимента при определении статической характеристики объекта управления

№ опыта	Значение переменной х	Значение выходной характеристики y
		1-й замер	2-й замер	3-й замер	Среднее значение по трем сериям (переменная состояния)
1	Х1	Y11	Y12	Y13
2	Х2	Y21	Y22	Y23
…	…	…	…	…	…
9	Х9	Y91	Y92	Y93

В соответствии с уравнениями (9) для девяти равностоящих значений аргумента xпо средним значениямиз таблицы 2.1 рассчитываем коэффициенты регрессии по формулам:

Для определения b₀рассчитывается среднее значение выходной переменной по всем (девяти) опытам:

Затем на графике 2.1 необходимо изобразить функцию y=f(x) результатов эксперимента по данным таблицы и расчетную характеристику ,а затем проверить адекватность по критерию (7).

Часто на практике для исследования объекта используются временные ряды. Временные ряды для характеристики изменения выходной переменной объекта во времени представляют последовательность наблюдений некоторого явления на выходе объекта во времени. Отдельные наблюдения временного ряда называются его уровнями и обозначаются y₁, y₂,…y_N.

Цель анализа временного ряда – отыскание основной закономерности изменения рассматриваемого явления на выходе объекта во времени. Для выявления этой закономерности временной ряд необходимо сгладить. Полученная функция отражает основную тенденцию рассматриваемого явления во времени и называется трендом. Понятие тренда эквивалентно понятию математической модели объекта исследования. Сглаживание временных рядов осуществляется по методу скользящих средних, что позволяет получить графическое представление для тренда. При сглаживании временного ряда по данному методу, группы последовательных наблюдений ряда заменяются их средними арифметическими.

Пусть дан ряд y₁, y₂,…y_N с числом наблюдений во времени N. Зададим интервал сглаживания µ, это число, по которому берется среднее арифметическое. Пусть µ=3. Тогда сглаживание происходит следующим образом:

- вычисляется среднее по первым трем уровням – второе наблюдение

- вычисляется среднее по следующим трем уровням – третье наблюдение

- вычисляется среднее по следующим трем уровням – четвертое наблюдение

Очевидно, что сглаживание будет наиболее плавным, чем выше интервал сглаживания µ. Уровни временных рядов обрабатываются по методу суммы наименьших квадратов (7) для полинома второго порядка (6), заменив переменную x на t. Тогда система уравнений (8) будет иметь вид

(12)

Пример 2.Пусть имеется временной ряд, описанный выражением (6). Рассмотрим данную ситуацию на примере восьми опытов, представленную в таблице 2.2.

Таблица 2.2 – Данные и обработка результатов эксперимента при определении статической характеристики объекта управления

№ опыта	Значение переменной х	Значение выходной характеристики y
		1-й замер	2-й замер	3-й замер	Среднее значение по трем сериям	Сглаженное значение
1	Х1	Y11	Y12	Y13		-
2	Х2	Y21	Y22	Y23
…	…	…	…	…	…	…
8	Х8	Y81	Y82	Y83		-

Аналитическое уравнение тренда представляется в виде

.

Среднее значение выходной величины по всем опытам определяется как

По выражению (12) определяем коэффициенты регрессии:

.

Далее необходимо проверить адекватность полученного выражения тренда по критерию минимума суммы квадратов отклонений (7) S→min.

2.4.4 Определение динамических характеристик объекта исследования основывается на методах статистической динамики. Методы включают в себя определение некоторых характеристик.

Определение автокорреляционной функции R_x(τ) для функции времени x(t) является интеграл

.

Данное выражение тем точнее, чем больше интервал 2Т.

Взаимокорреляционной функцией R_xy(τ) для двух функций времени x(t) и y(t) является интеграл

.

Рассмотрим автокорреляционную функцию R_xy(τ) между входом x(t) и выходом y(t) объекта управления.

Для линейного объекта управления импульсную переходную функцию h^*(t) – реакцию выхода на единичный импульс входа – можно определить расчетом по известной автокорреляционной функции между входом и выходом объекта. Это определение осуществляется из следующего интегрального уравнения

. (13)

Вычислив автокорреляционную функцию R_x(τ) и взаимокорреляционную функцию R_xy(τ) входа и выхода можно решить уравнение (13) относительно импульсной переходной функции h^*(t). Решение которого можно свести к решению системы линейных алгебраических уравнений. Представим уравнение (13) в виде суммы

,

где Δt – малый фиксированный интервал времени.

Данное уравнение должно удовлетворяться при любых значениях τ. Найденная дискретная величина h^*(t) аппроксимируется суммой экспоненциальных, так как только они могут составлять переходную функцию линейного дифференциального уравнения.

Передаточную функцию объекта управления определяют по формуле преобразования Лапласа

.

При активном эксперименте на объекте исследования действуют типовые входные сигналы: ступенчатые, импульсные, гармонические. Соответственно этим воздействиям определяются временные характеристики (кривые разгона), импульсные и частотные характеристики.