2.5 Планирование эксперимента. Полный факторный эксперимент

2.5.1 Основные понятия и определения. Эксперимент с моделью на компьютере проводится с целью получения информации о характеристиках процесса функционирования рассматриваемого объекта. Эта информация может быть использована как для анализа характеристик, так и для оптимизации процесса при заданных ограничениях. В зависимости от цели моделирования могут быть реализованы на ЭВМ различные подходы к организации имитационного эксперимента.

Эффективность машинных экспериментов с моделью существенно зависит от выбора плана эксперимента, поскольку план определяет объем и порядок проведения вычислений на компьютере, приемы накопления и статистической обработки результатом моделирования. Основная задача планирования машинных экспериментов с моделью – получение информации об объекте моделирования при минимальных или ограниченных затратах машинных ресурсов на реализацию процесса моделирования. Преимущества машинного планирования эксперимента от натурального являются:

1. простота повторения условий эксперимента с моделью на ЭВМ;

2. возможность управления экспериментом (включая его прерывание и возобновление);

3. легкость варьирования условиями проведения эксперимента (воздействие внешней среды);

4. наличие корреляции между полученными значениями в ходе эксперимента;

5. трудности, связанные с определением интервала моделирования (0, Т).

В зависимости от того, какую роль играет каждая переменная в проводимом эксперименте, она может являться либо фактором, либо реакцией. Пусть, например, имеют место две переменные xиy. Тогда, цель эксперимента – изучение влияния переменнойxна переменнуюy, тоx–фактор, аy–реакция. Каждый факторx_i,i=может принимать в эксперименте одно или несколько значений, называемыхуровнями.

Существует вполне определенная связь между уровнями факторов и реакцией (откликом) системы, которую можно представить в виде соотношения

Функция ψ_l – функция реакции, которую геометрически можно представить как поверхность реакции и в ходе машинного эксперимента ее необходимо определить.

Факторы подразделяются на:

- управляемые, если его уровни целенаправленно выбираются исследователем в процессе эксперимента;

- наблюдаемые, если его значения наблюдаются и регистрируются;

- изучаемые, если он включен в модель для изучения свойств модели;

- количественные, если его числовые значения влияют на реакцию, в противном случае такие факторы называются качественными;

- фиксированные,если исследуются все интересующие значения фактора.

2.5.2 Полный факторный эксперимент. Широкое применение в планировании эксперимента нашли алгебраические полиномы /3/.

Полным факторным экспериментом (ПФЭ) называется эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания nуровней факторов, каждый из которых варьируется на двух уровнях: верхнемx_i^в и нижнемx_i^н, симметрично расположенных относительно основного уровняx_i⁰. Число этих комбинацийопределяет тип ПФЭ. В общем случае при ПФЭ уравнение регрессии представляется в виде полинома, слагаемые которого являются членами ряда Тейлора. Этот ряд является разложением неизвестного уравнения, описывающего исследуемый процесс. При статистической обработке опытных данных коэффициенты разложения в ряд Тейлора оцениваются выборочными коэффициентами уравнения регрессииb₀, b_n, b_n-1,n, b_nnи т.д. Уравнение регрессии, полученное в результате обработки опытных данных, записывается в виде (4).

На практике ограничиваются эффектами не выше второго порядка, а остальными членами разложения пренебрегают. После определения коэффициентов регрессии проводят статистический анализ результатов, конечным этапом которого является проверка адекватности полученного уравнения по критерию минимума суммы результатов отклонений.

Уровни факторов представляют собой границы исследуемой области по данному параметру. Планы первого порядка служат для построения математического описания в виде линейных полиномов (линейных уравнений регрессии)

.

Затем выбирается интервал варьирования по каждой переменной – расстояние по данной оси от центра до экспериментальной точки.

Центр, или основной уровень плана

. (10)

Интервал варьирования

. (11)

На следующем этапе совершают операцию приведения (кодирования) переменных. Она заключается в том, что все координаты центра плана приравниваются к нулю, а интервалы варьирования принимают за 1, что позволяет проводить обработку результатов опытов в стандартной форме, не зависящей от условий задачи.

Безразмерные нормированные факторы дают возможность построить матрицу планирования с нижним и верхним уровнями варьирования +1 и –1, при этом учитываются все возможные комбинации.

Матрица планирования состоит из следующих столбцов: столбцов по каждому фактору, столбцов сочетаний факторов и столбца реакций.

Расчет коэффициентов уравнения проводится по методу наименьших квадратов. Причем, таким образом можно найти коэффициенты не только для линейного уравнения, но и уравнения, содержащего еще один член

.

Член, содержащий произведение факторов, называется взаимодействием. Он показывает, насколько влияние одного фактора зависит от значения другого. Как видно из уравнения, всего факторов 3 и один – взаимодействие. Коэффициент при таком члене определяется из выражения

.

Пример 3. Необходимо построить уравнение регрессии для функции

.

Уровни фактора представляют собой границы исследуемой области по исследуемому технологическому параметру. Для примера таковыми технологическими параметрами является температура исходной этиленгликолевой смеси ⁰С и расхода флегмы кг/ч.

Вводим нижний и верхний уровни параметров:

⁰С;⁰С;кг/ч;кг/ч.

По формуле (10) определяем центр плана, а по формуле (11) - интервал варьирования по оси X. Прибавление интервала варьирования к нулевому уровню дает верхний уровень, а вычитание – нижний. Составляем матрицу планирования (таблица 2.3).

Таблица 2.3 – Матрица планирования эксперимента

№		План ПФЭ			Результат опыта (Yi)	Переменная состояния
опыта				X12
1	+1	+1	+1	+1	Y1	1030,44
2	+1	+1	-1	–1	Y5	1018,88
3	+1	–1	+1	-1	Y6	1114,41
4	+1	-1	–1	+1	Y8	1148,58

Х₀ – фиктивный фактор (переменная).

Х₁₂ – переменная взаимовлияния, равная произведению Х₁Х₂.

По формуле

определяем коэффициенты:

Следовательно, искомое уравнение имеет вид

.

Данная формула – это уравнение регрессии для выходной переменной y, которая выражает зависимость величины выходной величины (расхода пара) от 2-х факторов x₁ и x₂ (исходной этиленгликолевой смеси и расхода флегмы) и их взаимовлияния.