1.4.2. Модель электрической подсистемы

Электрическая подсистема — это цепи постоянного или переменного электрического тока, составленные из резисторов, катушек индуктивности, конденсаторов и источников ЭДС и источников тока. В моделях в качестве фазовых переменных используют токи в ветвях и напряжения на ее участках. Источник фазовой переменной типа потенциала в модели будет источник ЭДС, а переменной типа потока — источник тока.

Компонентные уравнения определяют связи напряжений и токов на элементах цепи. Для электрического резистора справедлив закон Омаи критерий подобия

.

Для собственной индуктивности электрической катушки в соответствии с законом электромагнитной индукции имеем:, где— потокосцепление катушки;— ток в катушке. В линейном случае,. Критерий подобия для собственной индуктивности катушки

.

Напряжение вызвано и определяется ЭДС, индуцированной в катушке переменным током в этой же катушке (ЭДС самоиндукции). Если переменный магнитный поток в катушке создан другим током, то получаем ЭДС взаимной индукции, напряжение которой можно выразить через взаимную индуктивность, где— напряжение, индуцированное в первой катушке магнитным потоком, созданным токомво второй катушке,— взаимная индуктивность катушек. Критерий подобия для взаимной индуктивности

.

Переменный магнитный поток может быть создан движущимся намагниченным телом — постоянным магнитом. В этом случае магнитный поток зависит от положения постоянного магнита, а ЭДС от скорости движения.

,

где — потокосцепление катушки с магнитным потоком постоянного магнита;— координата;— скорость движения магнита.

Критерий подобия процесса возникновения ЭДС в катушке от движущегося постоянного магнита

или .

В общем случае в системе неподвижных и подвижных катушек с током и постоянных магнитов результирующая индуцируемая в катушке или отрезке проводника ЭДС вычисляется как полная производная по времени потокосцепления. .

Для электрического конденсатора в соответствии с законом электрической индукции принято соотношение:, гдеq— заряд конденсатора. Критерий подобия для конденсатора.

Кроме модели с конденсатором, процесс электрической индукции может быть представлен моделью источника тока и критерием подобия.

1.4.3. Модель магнитной подсистемы

Макромодель магнитной подсистемы строится на основе принятого в теоретической электротехнике определения магнитной цепи [29], т.е. используется представление пространственной картины магнитного поля в виде отдельных трубок магнитного потока. Трубка магнитного потока представляет собой мысленно выделенный в пространстве объем, ограниченный торцевыми эквипотенциальными поверхностями и боковыми силовыми поверхностями. Каждая трубка потока заменяется эквивалентной цепью с сосредоточенными параметрами, содержащими источники магнитодвижущей силы (МДС) или потока и магнитные активные или реактивные сопротивления. Форма трубок определяется либо точным расчетом магнитного поля, либо эвристическими методами, основанными на данных эксперимента.

В магнитной цепи используют фазовые переменные: магнитный потенциал и магнитный поток. Разность магнитных потенциалов есть магнитное напряжение. При таком выборе фазовых переменных трубка магнитного потока имеет активное магнитное сопротивлением, которое зависит от формы трубки и магнитных свойств материала. Трубка магнитного потока со сложной формой границ может быть представлена геометрической формой с постоянным поперечным сечением и однородной магнитной индукцией, для которой магнитное сопротивление вычисляется по простой формуле

,

где – эквивалентная длина трубки;– эквивалентное поперечное сечение трубки. Закон Ома для магнитной цепи имеет вид:.

Источники фазовой переменной типа потенциала представлены магнитодвижущей силой (МДС) , где- число витков катушки с током, создающей МДС. Если источники МДС распределены вдоль трубки магнитного потока, например как у катушки на стальном сердечнике, то уточняет модель магнитной цепи представление распределенного источника в виде последовательно соединенных магнитных резисторов и МДС, определенных для отдельных малых участков (рис. 1.19).

Рис. 1.19. Модель магнитной цепи катушки со стальным сердечником: 1 - катушка, 2 - сердечник

Переменный магнитный поток вызывает в электропроводящей среде индуцированные токи (токи Фуко). Электрическая энергия этих токов частично преобразуется в тепловую энергию. В макроскопической модели эти токи приближенно принимают индуцированными в эквивалентном витке или соленоиде, расположенном на поверхности магнитопровода. При этом сам магнитопровод считают не электропроводящим с прежними магнитными свойствами. Комплексное сопротивление эквивалентного витка должно обеспечивать значение магнитного потока такое же, как в реальных условиях. В этом случае потерина индуцированные токи в объемемагнитопровода из электропроводящего материала будут равны потерям на активном сопротивленииэквивалентного витка (или соленоида)

,

где – плотность индуцированного в объеме анализируемого участка магнитопровода тока;– электрическая проводимость материала;– ток в эквивалентном витке. Токбудет дополнительным источником МДС в магнитной цепи, а также может быть представлен как магнитное напряжение на соответствующем по значению комплексном магнитном сопротивлении.

Кроме потерь энергии на индуцированные токи, часть энергии расходуется на выделение теплоты при перемагничивании материала, обладающего магнитным гистерезисом. Эти потери пропорциональны площади петли гистерезиса. Предположим, трубка магнитного потока выделена в материале с известными основной кривой намагничивания и предельным гистерезисным циклом – статической магнитной характеристикой . Заменим эту трубку на эквивалентную с постоянным сечением и однородной магнитной индукцией. Умножим на графике магнитной характеристики магнитную индукцию на поперечное сечение трубки, а напряженность магнитного поля — на длину трубки. Получим основную вебер-амперную характеристику трубки (кривая1на рис. 20) и предельную петлю гистерезиса вебер-амперной характеристики (кривая2на рис. 20). При пошаговом анализе во времени процессов намагничивания и перемагничивания в этой трубке ее свойства могут быть представлены нелинейным гистерезисным источником МДС, который должен позволять воспроизводить все частные циклы перемагничивания с различной амплитудой и временной функцией магнитного потока.

В условиях синусоидального магнитного потока вебер-амперную характеристику материала приближенно представляют в виде эллипса (кривая 4на рис. 1.20), площадь которого равна площади петли гистерезиса. Это соответствует заданию параметров трубки магнитного потока в виде комплексного активно-индуктивного магнитного сопротивления, которое определяет ориентацию и размеры осей эллипса (см. также раздел 1.4). Пересечение эллипса с осью абсцисс в точкеустанавливает значение магнитной индуктивности в соответствии с формулой, а магнитное сопротивление определяется из соотношения, где– амплитуда магнитного потока (см. рис. 1.20).

Рис. 1.20. Приближенное представление вебер-амперной характеристики трубки магнитного потока при анализе потерь на перемагничивание: 1- основная кривая; 2 – предельный гистерезисный цикл; 3 – линеаризованная основная кривая; 4 – эллипс, эквивалентный по площади предельному гистерезисному циклу.

Другой источник магнитного поля – это предварительно намагниченный постоянный магнит. Его моделируют источником МДС или источником магнитного потока с соответствующей нелинейной вебер-амперной характеристикой. Рассмотрим постоянный магнит и подключенную к нему внешнюю магнитную цепь, содержащую как пассивные, так и возможно активные (источники) элементы (рис. 1.21, а).

Эквивалентная схема магнитной цепи представлена на рис. 1.21, б. В нее включены следующие элементы:- магнитные сопротивления магнитопроводов2 и немагнитного промежутка3;– МДС катушки;– вебер-амперная характеристика постоянного магнита1. Для внешней к постоянному магниту цепи вычисляется зависимость магнитного напряжения от магнитного потока –, пересечение которой с характеристикой постоянного магнита определяет МДС постоянного магнита (рис. 1.21,в). В зависимости от принятого технологического процесса изготовления системы с постоянными магнитами будут различными его вебер-амперные характеристики (см. раздел 1.2.4).

а)

б)

в)

Рис. 1.21. Модель постоянного магнита в магнитной цепи: а – магнитная цепь с постоянным магнитом; б – эквивалентная схема магнитной цепи с нелинейным источником магнитного напряжения; в — графический способ определения магнитного напряжения на постоянном магните.

Для электромеханической системы характерна схема преобразования электрической энергии сначала в электромагнитную, а затем в механическую. И наоборот, механическая энергия преобразуется в электрическую через электромагнитную. Электрическая энергия тоже электромагнитная энергия, но она выделяется в отдельную подсистему. В магнитных подсистемах изменяют ее параметры для удобного преобразования в механическую энергию.