Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1277 вузов, 4776 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Национальный исследовательский университет «МЭИ»
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Matan2

.pdf
Скачиваний:
18
Добавлен:
31.03.2015
Размер:
113.44 Кб
Скачать
☆

Домашнее задание 2. Пределы.

1. Докажите, что x3 = o(x2) при x ! 0: Верно ли равенство x3 = o( ) при x ! 0; если

pp

а) (x) = x; б) (x) = x2 jxj; в) (x) = x3 jxj; г) (x) = x2 sin x?

2. Докажите, что 1=x4 = o(1=x3) при x ! 1: Верно ли равенство 1=x4 = o( ) при x ! 1; если

a) (x) =

 

1

(k = 1; 2); б) (x) =

 

1

 

; в) (x) =

1

 

;

 

k

5

(x + 1)

4

 

 

x

 

 

 

x

 

 

 

 

г) (x) =

 

 

 

1

; д) (x) =

 

 

 

 

1

?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

3

sin x

 

4

 

 

 

 

 

 

(x

1)

 

arctan(1=x)

 

 

 

3. Пользуясь свойствами символа "o малое", запишите для функции (x) равенство вида (x) = o(xk) при x ! 0; если

(x) = o(x2) + o(x2); (x) = o(x) o(x); (x) = 5o(x);

 

(x)o(3x2); (x) = (o(x))3; (x) = xo(x); (x) =

o(x2)

;

x2

(x) = o( x+2x2 +x4); (x) = o(o(x2)); (x) = o(x+o(x)):

4. Пользуясь свойствами символа "o малое", запишите для функции (x) равенство вида (x) = o(1=xk) при x ! 1; если

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1000

 

(x) = o

 

 

 

o

 

 

; (x) = 1000 o

 

; (x) = o

 

 

 

;

 

x

x

x

x

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

1

 

 

 

(x) = o

 

; (x) = x2o

 

 

; (x) = o

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

x3

x2

x

 

 

 

 

jxj

 

 

 

 

 

p

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x) = o o

 

; (x) = o

 

+ o

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

x2

x2

 

 

 

 

 

5.

Напишите асимптотические

разложения следующих функций при x

!

 

 

 

); где

0

 

 

 

 

0 с остаточным членом вида o(x

 

 

 

 

 

 

а) sin2(5p

 

);

 

 

sin2(5p

 

+ x)

(x > 0);

б) cos(4x2); cos(4x2 + x);

 

x

x

 

в) e2x; e2x+p

 

 

(x > 0); г)

ln(1 x2);

ln(1 x2 + x);

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

д) 3 p3 27 x; 3 q3 27 x + px (x > 0); е) 2x3 ; 2x3+x2 ;

ж) ln cos 2x;

 

 

p

 

 

 

 

p

 

 

ln cos(2x+x2); з) cos sin x;

cosh sin x (x > 0)1;

и) ln(ex + p

 

 

0); к) 5ex cos p

 

;

 

 

 

 

) (x >

jxj

 

 

 

x

 

 

 

л) q3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos p

 

(x > 0);

м) cos x cos x2 1:

 

 

 

x

 

 

 

 

 

6. Напишите асимптотические формулы для последовательностей с остаточным членом вида o(1=n ); где 02

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) p3 n3 + n2 n;

 

б) 21=n + 71=n 2;

 

 

в) sin

p

 

 

 

:

 

 

 

 

n

 

 

 

 

7. Вычислите пределы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

lim

cos x cos 3x

;

 

 

 

б)

lim

sin(x =3)

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!0

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x! =3

 

1 2 cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

lim(1

 

x) tan

 

x

;

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

1 + ax

 

 

1 + bx

(m; n

2

N);

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

!

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г) x

0

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

p3

 

 

 

 

 

 

lim (p

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

;

д)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos x

cos x

 

1 + x + x2

1

 

x + x2);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin2 x

 

 

x!+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е) x!0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8. Вычислите пределы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

lim

 

 

1 + ax

 

 

 

 

1 + bx 1

 

 

(m; n

2

N);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!

p3

 

 

 

 

 

 

p4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + 2x

1 + 9x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

lim

;

 

в)

 

lim

cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

0

 

 

1

 

1

 

 

x=2

 

 

 

 

x

+0

4

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!

 

 

 

sin

3

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!

 

 

 

 

 

 

px

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ex2

 

e3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г)

lim

ln cosh 2

 

;

 

 

 

 

д)

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin(x2=2) sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е)

x!0 ln

 

cos 3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x!0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

(a > 0):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim n(pa 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

!1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1cosh x = (ex + e x)=2 гиперболический косинус ("кошинус").

2Обозначим любую бесконечно малую последовательность при n ! 1 символом

o(1). Тогда o(1=n) = o(1):

1=n

2

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности