LU-разложение матрицы

Национальный Исследовательский Университет

МОСКОВСКИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Институт автоматики и вычислительной техники

Кафедра прикладной математики

Лабораторная работа № 2

LU-разложение матрицы

Выполнила Студентка А-13-09 Шорникова Дарья

Преподаватель Панков Николай Александрович

Москва, 2013 г.

1

Постановка задачи

Дана квадратная матрица. Требуется найти ее LU-разложение, т.е. представление в виде произведения нижнетреугольной матрицы на верхнетреугольную с единицами на главной диагонали. Составить последовательно-параллельную программу на языке C или C++, использующую принципы нитевого распараллеливания, а также исследовать характеристики разработанной программы в зависимости от числа потоков.

Тестирование проводились на компьютере со следующей конфигурацией:

Intel Core i7-3720 2.6 Ггц, 8Гб ОЗУ, Windows 8 x64

Последовательный алгоритм решения

Получить LU-разложение квадратной матрицы последовательным способом можно несколькими способами.

1. Схема единственного деления.

При выполнении первого шага исключения по схеме единственного деления матрица приводится к виду

где

Введем матрицу

Проведя подобные выкладки, можно получить LU-разложение матрицы (нерациональный способ).

2. Из полученных соотношений можно вывести формулы:

2

Используя эти формулы можно получить LU – разложение матрицы.

Параллельный алгоритм решения.

Данный алгоритм имеет высокую зависимость по данным, так как каждое вычисление следующей строки использует результаты вычисления предыдущих строк. Это создает трудности при написании последовательно-параллельного алгоритма и снижает максимальное ускорение из-за синхронизации.

Матрицы L и U являются нижнедиагональными и верхнедиагональными, причем на местах, где у L могут быть ненулевые элементы, у U гарантировано нули, и наоборот. После вычисления некоторых значений искомых матриц часть разлагаемой матрицы А становится неиспользуемой. Поэтому можно сохранять найденные элементы прямо в разлагаемую матрицу.

3

Приложение. Код программы

SyncObject.h

#pragma once

#define MAX_THREADS 2 #include <Windows.h>

struct SyncObject {

volatile unsigned int RunningCount; HANDLE StartEvent;

HANDLE EndEvent;

SyncObject(){ RunningCount = 0;

StartEvent = CreateEvent(NULL,true,false,NULL); EndEvent = CreateEvent(NULL,true,true,NULL);

};

~SyncObject() { CloseHandle(StartEvent); CloseHandle(EndEvent);

}

void syncStart(){ InterlockedIncrement(&RunningCount);

if(RunningCount == MAX_THREADS){ ResetEvent(EndEvent); SetEvent(StartEvent);

}

else{ WaitForSingleObject(StartEvent,INFINITE);

}

}

void syncEnd()

{

InterlockedDecrement(&RunningCount);

if (RunningCount == 0) { ResetEvent(StartEvent); SetEvent(EndEvent);

}

else {

WaitForSingleObject(EndEvent, INFINITE);

}

}

};

#include "stdafx.h" #include <math.h> #include <stdio.h> #include <time.h> #include <stdlib.h> #include "SyncObject.h"

#define NSIZE 5000 SyncObject sSync;

DWORD WINAPI MyThreadFunction(LPVOID lpParam);

7

FILE *fp; double **matr;

DWORD dwThreadIds[MAX_THREADS];

HANDLE hThread[MAX_THREADS];

void PrintMatr(double **m)

{

for (int i=0; i<NSIZE; i++)

{

for (int j=0; j<NSIZE; j++)

{

fprintf(fp,"%.2f",m[i][j]); fprintf(fp,"%c",'\t');

}

fprintf(fp,"%c",'\n');

}

}

DWORD WINAPI MyThreadFunction(LPVOID lpParam)

{

int index=(int)lpParam; clock_t t;

t=clock();

for (int k = 0; k < NSIZE - 1; k++)

{

sSync.syncStart();

for (int i =k + 1; i < NSIZE; i++)

{

if ( (i%MAX_THREADS) == index)

{

double factor = matr[i][k] / matr[k][k]; for (int j = k+1; j < NSIZE; j++)

{

matr[i][j] -= factor * matr[k][j];

}

matr[i][k] = factor;

}

}

sSync.syncEnd();

}

t=clock()-t;

printf("Thread lasts %f\n",(float)t/CLOCKS_PER_SEC); return 0;

}

int main(int argc, char* argv[])

{

if ((matr = (double**)malloc(NSIZE * sizeof(double *))) == NULL) printf("Memory allocation failed\n");

for (int i=0; i<NSIZE; i++)

{

if ((matr[i] = (double *)malloc(NSIZE * sizeof(double))) == NULL) printf("Memory allocation failed\n");

}

srand(time(0));

for (int i=0; i<NSIZE; i++) for (int j=0; j<NSIZE; j++)

{

//matr[i][j]=(i+j+1); matr[i][j]=(rand() % 100)+1;

8

}

fp=fopen("results.txt", "a+"); clock_t t;

t=clock();

if (fp!=NULL)

{

PrintMatr(matr);

for( int i=0; i<MAX_THREADS; i++ )

{

hThread[i]=CreateThread(NULL,0,MyThreadFunction,(LPVOID)i,0,&dwThreadIds[i]); if (hThread[i] == NULL)

{

ExitProcess(3);

}

}

}

WaitForMultipleObjects(MAX_THREADS, hThread, TRUE, INFINITE); t=clock()-t;

printf("Program lasts %f\n\n",(float)t/CLOCKS_PER_SEC); for (int i=0; i<NSIZE; i++)

{

free(matr[i]);

}

free(matr);

fclose(fp);

getchar(); return 0;

}

9