matan1

1. Множества. действия с множествами.

Определение: множествосовокупность объектов, обозначаемая большими буквами A, B, X, C; элементы маленькими a,b,x,c.Элементы а принадлежащие множеству A. a A.не

принадлежит a A. B A-все элементы множества В принадлежит множеству А(В-подмножество множества А). Если множество А содержит n элементов, то она имеет 2n подмножества. Действия над множествами: U- объединение (сумма); /разность; -пересечение (произведение). Определение: Объединение множеств А и В называется такое множество С , которое состоит как из элементов множества А, так и из элементов множества В. Пересечение множеств А и В наз. такое множество С, которое состоит только из тех элементов, которые одновременно принадлежат множеству А и В. Разность множеств А и В называется множество С, которое состоит из элементов множества А, которые не входят в множество В:А\В=С . Множество, состоящее из конечного числа элементов называется конечным. Множества А и В называются эквивалентными, если известны взаимноодназначные соответствия между их элементами. Если каждый элемент множества можно перенумеровать-то множество счетно. Множество, эквивалентное множеству натуральных чисел, называется счетным. Счетное множество называется последовательность и обозначается { xn }.

М={2*n}-натуральные четные числа. {2*n-1}- натуральные нечетные числа.

Множество рациональных число - счетно, иррациональных - несчетно. Часто Счетные множества задаются с помощью формулы общего члена. Иногда последовательность задается рекуррентно.

д) xn xm -последовательность называется невозрастающей. а- д - монотонные последовательности.

Если nxn a , то последовательность стационарная. xn =sin(n)-немонотонная.

1

неизвестно(нам это и ненужно. Говорят, что существование предела последовательности не зависит от первых членов последовательности)

Пример.

Мы можем x1 , x2 ,…. x18 посл. Рассмотреть, где они лежат.

2

Если последовательность имеет предел, то она сходящаяся, если предела нет, то расходящаяся.

4. Единственность предела последовательности.

БЫТЬ РИСУНОК)

Получаем противоречие следовательно наше предположение не верно.

Билет 5. Ограниченные последовательности. Ограниченность сходящейся последовательности. Пример.

6. Бесконечные последовательности. Бесконечно большие последовательности. Примеры. Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями.

3

ограниченная, то последовательность { n xn }-бесконечно малая.(произведение бесконечно малой

последовательности на ограниченную, есть бесконечно малая последовательность). Доказательство.

4

???

5

10. Арифметические свойства сходящихся последовательностей. Предел суммы, произведения, частного двух сходящихся последовательностей.

Замечание 1:

U(ε,a) – ε-окрестность точки a (a-ε ; a+ ε). U(ε,∞) – ε-окрестность точки x {x: {|x|>ε) U(ε,+∞) – ε-окрестность точки +∞ {x: {|x|>ε) U(ε,-∞) – ε-окрестность точки -∞ {x: {|x|<ε) Тогда определение предела можно переписать:

0 N( ) : n N( ) xn U ( ; )

Здесь a конечно или бесконечно.

Замечание 2:

Если последовательности имеют бесконечные пределы, то теоремы неверны.

6

Доказательство: Предположим, что a<b, но тогда, по Теореме 2 было бы an<b – противоречие.

12. Монотонные последовательности. Примеры. Предел монотонной ограниченной последовательности (без доказательства).

Определение: Последовательность xn называется неубывающей (невозрастающей), если

называется возрастающей (убывающей). Эти последовательности называют монотонными.

возрастающая

Теорема (предел монотонной ограниченной последовательности): Всякая ограниченная снизу (сверху) убывающая (возрастающая) последовательность имеет предел.

Данную теорему можно сформулировать по-другому: для того, чтобы возрастающая (убывающая) последовательность имела предел необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена сверху (снизу)

13. Принцип вложенных отрезков.

Теорема: Для каждой системы вложенных отрезков, длина которых →0 существует хотя бы одна точка, принадлежащая всем отрезкам.

Доказательство: [a,b] [a1 ,b1 ] [a2 ,b2 ] ... [an ,bn ]

a a1 a2 an bn b2 b1 b

a a1 a2 ... an bn bn 1 ... b2 b1 b ,

{an} – последовательность левых концов отрезков, она возрастает и

n an b (ог раничена сверху ) lim an

n

7

{bn} – последовательность правых концов отрезков, она убывает и

14. Число e

см. 24 вопрос

15. Подпоследовательности. Предельная точка последовательности. Теорема БольцаноВейерштрасса

Определение: Точка a называется предельной точкой полседовательности {xn}, если

Подпоследовательность {xnn}: lim xnn a n

Теорема (Больцано-Вейерштрасса): Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящююся подпоследовательность.

Доказательство: Т.к. последовательность {xn} ограничена, то a,b : a xnn b n таким образом, мы имеем отрезок [a,b], содержащий все точки последовательности. Разделим [a,b] пополам точкой

Критерий Коши: Для того чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундоментальной.

Доказательство необходимости: Пусть последовательность {xn} сходится к числу a ( a lim xn ). Это

n

последовательность

17.Понятие функции. Способы задания функции. Сложные функции. Обратные функции.

Функция-это соответсвие. Пусть заданы два множества X и Y ,и каждому элементу множества X поставлен в соответствие элемент множества Y.При этом каждому элементу мн-ва Y соответствует хотя бы один элемент мн-ва X. Это соответствие называется функцией.

8

Если y=f(x), то x называется аргументом (независимая величина), y наз. функцией (зависимая величина).Понятие функции эквивалентно понятию соответствия. Пусть -подмножество,

через f(x)={y :y=f(x),x<E}-образ мн-ва E.

D Y подмножество, x : x X : f (x) D f (D) -прообраз D.Вообще говоря,

Если каждому значению x соответствует единственное значение f(x), то функция называется однозначной.

Если множество значений {y} элементов x функции f(x)=y состоит более чем из одного элемента,то функция наз многозначной.

Мы будем рассматривать числовые функции:x и y-числовые множества. Для функций определены операции:

1.умножение на число :cf(x)

2.сумма f(x)+g(x)

3.произведение f(x)*g(x)

4.частное f(x)/g(x) если g(x) 0.

Числовая функция f(x) наз ограниченной сверху,если множество ее значений ограничено сверху.Числовая функция f(x) наз ограниченной снизу,если множество ее значений ограничено снизу.Ограниченная функция-ограничееная сверху и снизу.