Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

matan1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

31.03.2015

Размер:

1.23 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

lim	f (x)	lim	x ( x)	lim lim		( x)
	x		x			x
x 0		x 0		x 0	x 0

производная существует.
2.Достаточность. Пусть существует	lim	f (x)
2.Достаточность. Пусть существует	lim	x
	x 0	x

f (x	0

,т.е. существует

), т.е.	f (x)	f (
	x

	lim	f
		x
	x 0

x	) (x)
0

, т.е.

или

f (x

Итак,

) f (x	0	)

f (x)

x x
f (x	) x
0

(x)(x

f (x	0	)

) , т.е.

x df (x)

(xf

) , т.е. f(x) дифференцируема в точке	x0 .

(x0 )dx .Отсюда следует новое обозначение

производной	f		df	и эту величину можно рассматривать как один символ, так и как
		x0	dx

частное дифференциалов.

Связь между непрерывностью и дифференцируемостью. Теорема:Если f(x) дифференцируема в точке x0 , то она непрерывна в этой точке.

Доказательство: т.к f(x) дифференцируема в точке x0 ,то f (x) * x (x) .Перейдем

в этом равенстве к пределу при						x 0
lim f (x) lim (x (x)) lim x lim x 0 ,т.е. f(x) непрерывна в точке x0 .
x 0				x 0		x 0	x 0
Обратное неврно:
y		x	x * sgn x
y		x	x * sgn x
y (0)				lim	(0 x) sgn(0 x) 0 sgn 0		lim	x sgn x 1
y (0)				lim			lim	x sgn x 1
пр				x 0 0	x		x 0 0	x
				x 0 0	x		x 0 0	x
y	(0)			lim	x sgn x 1
лев				x 0 0	x
				x 0 0	x
y		1, y 1
лев				пр
-разные числа, но f(x) непрерывна в точке 0. lim y lim x sgn x 0 .
							x 0	x 0
		Геометрический смысл дифференциала и производной. Уравнение касательной и
						нормали.
Пусть y=f(x) определена и непрерывна на интервале (a,b) и пусть x0 , x0									x (a,b) .

Рассмотрим точки

M	0	(x	, y	0	), M (x	0	x, f (x	0	x)) здесь y	0	f (x	0	)
	0	0		0		0		0		0		0

т.к.

y
M (x	0

f (

x	0	x)
	0
x, y			0
			0

fy)

(x	0	)
	0

, то координаты точки M можно записать в виде

Проведем секущую M 0 M .Ее уравнение y k( x)(x x0 ) y0 -уравнение прямой,

проходящей через точки	x0 , y0 с угловым коэффициентом k(x)						y
проходящей через точки	x0 , y0 с угловым коэффициентом k(x)						x
							x
Покажем,что при x 0	M 0 M 0( M 0 M -расстояние между точками M 0 и M.Т.к.

	lim y 0, MM			0		x2 y 2
функция f(x) непрерывна, то x 0				0
функция f(x) непрерывна, то x 0
	lim MM	0	lim		x 2 y 2 ... 0
	x 0	0	x 0
	x 0		x 0

Определение:предельное положение секущей

к графику функции y=f(x) в точке

M 0 .

M	M
0

при

x 0

называется касательной

Уравнение секущей

Уравнение касательной

y k(x)(x x	0	) y			0
	0				0
y lim k(x)(x x			0	) y		0	или y	f (x	0	)(x x	0	) y	0
x 0			0			0			0		0		0
x 0

Нормалью к кривой y=f(x) в точке x0 называется прямая, которая в этой точке перпендикулярна к касательной.Известно,что угловой коэффициент взаимноперпендикулярных прямых связан соотношением k1k2 1

Уравнение нормали

k	0	f (x	0	).Еслиk	0
	0		0		0

y	1		(x x0 ) y0 .
	f (x
		0	)

,то x= x0			- вертикальная касательная, если

k	0

,то y=

y	0

горизонтальная касательная.Проведем в точке M 0 касательную (она,в отличие от секущей имеет с графиком функции f(x) единственную общую точку). Запишем уравнение касательной в виде y y0 f (x0 )(x x0 ) или y y0 dy или y dy y0 , y-текущая координата.Дифференциал это приращение ординаты касательной в соответствующей точке графика функции.

Геометрический смысл производной - тангенс угла наклона касательной.

Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 .

x x x0 , y f (x0	x) f (x0 ) и пусть x 0	. Отношение			y	называется средней
x x x0 , y f (x0	x) f (x0 ) и пусть x 0	. Отношение			x	называется средней
					x
скоростью изменения функции y=f(x) за время x. lim			y	называется скоростью
		x 0	x

изменения функции в точке

x0 .

Производная суммы,произведения и частного двух функций. Теорема:Пусть функции f1 (x)иf2 (x) дифференцируемы в точке x(имеют в ней

производную), тогда дифференцируемы f1 f2 , f1 f2 , f1 f2 и

f1 f2

f2 f1

, ( f

)

Доказательство:

f1 (x x) f1 (x), f2

(x x) f2 (x) -приращение

функций.Вычислим соответствующие производные по определению.

lim

f1 (x x)

f 2 (x x) ( f1 (x)

f 2 (x))

x 0

lim

(x x)

(x) (( f

(x x)

(x))

x 0

lim

f1 (x x)

f1 (x)

lim

2 (x x)

f 2 (x)

x 0

т.к. по условию существуют

, т.е.соответствующие пределы, то теорему о пределе

f1 иf

применять можно.

lim

f1 (x x) f 2 (x x)

f1 (x) f 2

(x)

x 0

lim

(f1

f1 )(f 2

f 2 )

f1 f 2

f 2

lim

x 0

т.к.

lim

существует

(x) (

-ограничен), то существует f

(x) , то а2

x 0

непрерывна в точке x и

lim f

x 0

(x x)

(x)

lim

x 0

lim

x 0

( f

)

x 0 xf

( f

)

f1 f 2

f1 f

lim

( f

)

x 0

(

f	0
2

при

, т.к

f	2

непрерывна)

Замечание: у функций опущен аргумент x.

Вывод таблицы:

sin x

cos x cos x ( sin x) sin x

6.(tan x)

cos x

cos

cos x

sin x sin x cos x cos x

7.(ctgx)

sin x

sin

Производная обратной функции.

Пусть функция y=f(x) определена, непрерывна и строго монотонна в некоторой

окрестности точки								x0	.Тогда обратная функция дифференцируема в точке	y0
	1				1
f	1	( y		)
f		( y	0	)	f (x		)
			0
						0
						0

Доказательство:Обозначим x x x0 , y f (x0 x) f (x0 )

(x	0	)
	0

x	1	, lim	x	lim	1	. В окрестности точки
y	y	, lim	y	lim	y	. В окрестности точки
y	y	y 0	y	y 0	y
	x				x

непрерывна, т.к. f(x) непрерывна,то	lim y 0 и
	x 0

одновременно, поэтому	lim	x	lim	1	1
одновременно, поэтому	lim	y	lim	y	f (x		)
	y 0	y	x 0	y	f (x	0	)
						0
				x
Вывод таблицы:
8.y arcsin x

x0	обратная функция существует и
lim x 0						, т.е. x, y	стремятся к 0
y 0
		1
	f	1	( y		)
	f		( y	0	)
				0

x sin y( 1 x 1,

)

arcsin x

y arcsin x

cos y

cos(arcsin x)

1 x 2

9.y arccos x

x cos y( 1 x 1,0 y )

arccos x

sin y

sin(arccos x)

1 x 2

10.arctgx(arcctgx)

y arctgx

x tan y(x R,

)

arctgx

y arctgx

1 x 2

cos 2 y

cos 2 (arctgx)

(arcctgx)

1 x 2

11.y log

x( y ln x)x a y

(log

y log

a y ln a

x ln a

					cy (c
Утверждение 1: cy					cy (c
				n		n
				n		n
Утверждение 2: yk
			k 1			k 1
12.y chx
	e x e x				e x e x
	e x e x				e x e x
chx
chx
		2				2
		2				2

const)

	y
	y	k
		k

shx

13.y shx

shx

14.y thx

x sh

thx

15.y cthx

x chx

chx

x ch

cthx

shx

Производная сложной функции.

Пусть функция y=f(x) имеет производную в точке x0 ,а функция z=F(y) имеет

производную в точке y0

f (x0 ) , тогда сложная функция Ф(x)=F(f(x)) имеет производную

в точке x0

(x0 )

F ( y0 ) * f

(x0 ) .

Доказательство: Функция f(x) непрерывна в окрестности точки

x0 , функция F(y)

непрерывна в окрестности точки

, поэтому в окрестности точки x0

существует сложная

функция Ф(x).Функция F(y) имеет производную в точке y

, поэтому она

дифференцируема в этой точке.

(\/)

F ( y0 ) * y (y)

(y) 0при y 0 -бесконечно малая более высокого порядка,чем

y ,

но (y) может

быть неопределенна в точке y =0, поэтому мы доопределяем ее по непрерывности в

точке 0 :

(0) 0 .Разделим равенство (\/) на x :

F ( y

)

(x)

( y)

F(y)=F(y(x))=Ф(x) и тогда равенство запишем в виде

F ( y0 )

Перейдем к пределу

x 0

lim (x)

lim F ( y

)

lim

( y)

* y F ( y

) * f (x

) 0 . Покажем,что

x 0

lim ( y) * y 0, т.к. f (x

) , то y=f(x) непрерывна в окрестности точки x

, т.е.

x 0

lim y 0 ( x и y стремятся к 0 одновременно), т.е.x 0

(y) бесконечно малая более высокого порядка, чем формулу (x0 ) F ( y0 ) * f (x0 ) .

lim	( y)	lim	( y)	0 (т.к.
x 0	y	y 0	y

y ), а	lim	y	f

		x		(x0 ) , т.о. получим
	x 0

Инвариантность формы первого дифференциала. Дифференциал первого порядка имеет тот же самый вид: произведение производной функции на дифференциал аргумента , независимо от того, является аргумент независимой переменной или зависимой.

z-независимая переменная , y-зависит от x

z (x)

dz (x

)dx

z ( y)

dz ( y

)dy

Если y=f(x), то dy

(x0 )dx и dz ( y0 ) f

dx (x0 )dx

2.x

, x 0, x

ln x

) (e

ln x

) x

Производная функции, заданной неявно.

Пусть дано уравнение F(x,y)=0,т.е. есть функция двух вещественных переменных x и y. Пусть существует множество X такое, что для каждого x0 X существует хотя бы одно

y такое, что F( x0 , y0 )=0. Тогда говорят, что задана функция y=y(x) неявно.

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Логарифмическая производная.

( x)	ln y(x) (x) ln u(x) продифференцируем.
y(x) u(x)

v'ln u

y' y(v'ln u

bu'

)

y(x)

(x) y

(x)....y

(x)

ln y(x)

ln y

(x)

(x) y

k 1

Производная функции заданной параметрически.

(t)

Пусть функции

1 (t)и 2 (t) заданы на области D1 и

(t)

y			'(x)	n	y'		(x)
	n			y' y		n
	n					n
y		n	(x)	k 1	y	n	(x)
		n		k 1		n

D2 соответственно с

областями значений F1 и F2?????????????????????, причем?????.Пусть функция x 1 (t) определена, строго возрастает и непрерывна в некоторой окрестности точки t0.Тогда в этой окрестности существует обратная функция t g(x), гдеx F1 каждому такому

значению

x F1

найдем

g(x) D1,иy

	2	(t)
	2

	(g(x))
2

, т.е. система v задает

функцию y=y(x).

y(x)					2	(g(x))
					2
y	x	'	2	' y'(x)
	x		2

y		'		'	1	(g'(x)		1	)
y	x	'	2	'		(g'(x)			)
	x		2			'		'(t)
						'		'(t)
					1		1

y		'	2	'(t)
y		'

	x			'(t)
				'(t)
			1

Производная высших порядков, формула Лейбинца.

Опр. Пусть функция y=f(x) определена, непрерывна и дифференцируема в окрестности точки x0. Производной функции f’(x) в точке x0 называется вторая производная в точке x0

функции f(x). Т.е.

( f '(x))'\|	x x		f ''(x	0	)
	x x	0		0
		0

f (n) (x0 ) ( f (n 1) (x))'|x x0 ,т.е если существует

(n)

(

0 ) , то существует	f '(x0 ), f ''(x0 )... f	(n 1)	(x0 ) .

Вывод таблицы производных высших порядков.

(a x )n a x (ln a)n

(sin x)(n) sin(x

(sin x)0 sin x (sin x)' cos x (sin x)'' sin x (sin x)''' cos x (sin x)(4) sin x

(ex ) n2 )

(n) ex	(a x )' a x ln a (a x )'' a x ln a ln a a x ln a и т.д.
(cos x)	(n)	cos(x	n	)
	(n)
			2
			2
	(x )(n) ( 1)( 2)...( n 1)x n
	(1/ x)(n) ( 1)( 2)( 3).....( n)x 1 n					( 1)n n!
	(1/ x)(n) ( 1)( 2)( 3).....( n)x 1 n					x n 1
						x n 1
	(ln x)(n) (1/ x)n 1				( 1)n 1 (n 1)!
	(ln x)(n) (1/ x)n 1				x n
					x n

ln(x)

( 1)

n 1

(n 1)!

(log

(n)

(

)

(n)

ln(a)

ln a

Теорема.

Пусть функции u(x) и b(x) имеют производную n-го порядка включительно, тогда

(u(x) b(x))(n) (u(x))(n) (b(x))(n)

n	формула Лейбинца.
(u(x)b(x))n Cnk u k (x)b(n k ) (x)
k 0
Доказательство.

(u(x) b(x))	(n)	((u(x) b(x))		(n 1)	)' (u
(u(x) b(x))		((u(x) b(x))			)' (u
n
(ub)n Cnk u k b(n k )
k 0
1.n=1-формула верна.			(ub)' u'b b'u

m=n.Положим, что она верна для n+1.

(n 1)	(x) b	(n 1)	(x))' u	(n)	(x) b	(n)	(x)

предположим, что формула верна для

(n 1)

[(ub)

(n)

(k )

k )

)' (ub

(n)

n 1

(k )

(n k )

(n)

b)' u'b

(n)

(n 1)

(ub)

]' ( Cn u

Cn u

k 0

k 1

n 1

(k 1)

(n k )

(k )

(n k 1)

(n 1)

b b'u

(n)

(k 1)

(n k )

n 1

(n k 1)

Cn u

k 1

n 1

k 1

k 0

(n 1)

p 1

( p)

(n p 1)

( p)

(n p 1)

(n 1)

b ub

(n 1)

Cn u

p 1

(k p 1)

n 1

(Cn

b ub

p 1

Вычислим:

C	p	C	p 1	n!	n!	n!(n p 1 p)
C		C

	n		n	p!(n p)!	( p 1)!(n p 1)!	p!(n p 1)!
				p!(n p)!	( p 1)!(n p 1)!	p!(n p 1)!

n!(n	1)
p!((n 1)

p)!

	C	p
	C	n 1
		n 1

,т.о.

(n 1)

b ub

(n 1)

n 1

n k 1

n 1

(n 1 k )

(ub)

Cn 1u

k 0

Производная второго порядка для функции, заданной параметрически.

x(t)

y=y(x)-задана параметрически.

Известно , что

y y(t)

Имеем новую функцию:

x x(t)

Дифференциалы высших порядков.

Дифференциалами второго порядка функции y=f(x) называется дифференциал от первого дифференциала f(x)

d 2 y d (dy)

d n y d (d n 1 y)

Если x независимая переменная , то

, d

(n)

(x)(dx)

(x)dx, d

(x)(dx)

если x-функция y=y(x); x=x(t), то dy yt

dt-инвариант.

)dx yx

x y

(dx)

x , т.к. x-функция, то d

x 0

, второй

y d ( yx dx) d( yx

дифференциал не обладает инвариантностью.

Приблизительные вычисления с помощью дифференциала.

Если f(x) дифференцируема , то

f (x x) f (x) f (x) x ( x) . Бесконечно малую

отбрасываем

f (x x) f (x)

f (x) * x

Правило Лопиталя.

	Для раскрытия неопределенности вида	0
	Для раскрытия неопределенности вида	0
		0

окрестности точки а, кроме, быть может,

,, ,0 ,1

самой точки а и

.Пусть	f (x)	и g(x)
lim f (x) lim g(x)
x a		x a

определены в

. И пусть

в окрестности точки а существуют

'(x), g'(x)

. Если существует

	lim	f '(x)
	lim	g'(x)
		g'(x)
		x a

, то

	lim	f (x)
		g(x)

	x a

и эти пределы равны.

Доказательство.

а - конечное число. Доопределим функции

f (x)

и g(x) в точке х=а, по

непрерывности: f(a)=g(a)=0. Рассмотрим отношение

f (x)

f (x) f (a)

f '( )

g(x) g(a)

g(x)

g'( )

Здесь a x (использовали теорему Коши). Перейдем к пределу при

x a

lim

f (x)

lim

f '( )

lim

f '( )

(т.к a x

и если

x a

, то a ).

g(x)

g'( )

x a

f (x) f (1/ t) (t)

a надо сделать замену, x=1/t, тогда t 0

g(x) g(1/ t) (t)

правило применяется к новой функции (t),t 0

1/ t

Теорема 2.

Пусть

f (x) и g(x) определены и дифференцируемы в окрестности точки а и

lim f (x) lim g(x) .Если lim f '(x)g'(x) , то lim

f (x)

и они равны.

g(x)

x a

Замечание.

В формулировке теорем необходимо потребовать, чтобы

g'(x)

0

0

-теорема 1 доказана.

-теорема 2 формулировка.

				1
1				2		0	0		0	0		1 e ln1 e 0
1				2		0			0	0
				1					1

		2				0				0
				1
				1
					1	1		02 01		0	.
	1		2								.
	1		2		01			02 01
					01	02		02 01		0

Пример, когда нельзя применять правило Лопеталя lim		x sin x		.
Пример, когда нельзя применять правило Лопеталя lim		x sin x		.

	x
	x
Вычислим предел отношения производных lim	x cos x		он не существует, т.к. не
Вычислим предел отношения производных lim			он не существует, т.к. не
x x cos x

существует предел числителя и знаменателя. Правило Лопиталя применять нельзя. Вычислить.

x(1

sin x

)

sin x

x sin x

lim

x x sin x

x(1

sin x

)

sin x

Теорема Лагранжа.

Пусть функция f(x) -непрерывна на отрезке [a,b]; -дифференцируема на интервале

Тогда (a,b) : f (b) f (a) f

(a,b);

'( )(b

(форма конечных приращений)

Доказательство. Рассмотрим функцию f (a) a f (b) b

f (b) f (a) (b a)

F(x)

f (

x f

) x .Параметр (b) f (a) b a

выберем из условия F(a)=F(b)

Функция F(x) удовлетворяет всем условием т.Ролля(она непрерывна и дифференцируема, как сумма непрерывных и дифференцируемых функций ) : F'( ) 0

F'( ) f '( ) 0

f '( )	f (b) f (a)	f (b) f (a)	f '( )(b a)
	b a

Геометрический смысл.
В предположение теоремы существует точка	:касательная к графику функции
параллельна секущей(хорде).
Следствие.

Пусть f(x) определена, непрерывна и дифференцируема на (a,b). И в каждой точке интервала (a,b) f '( ) 0 , тогда f(x)=const.

Доказательство.
Пусть x1 и x2 две произвольные точки интервала(a,b),тогда	f (x1)

точка

лежит между этими точками x1 и x2, по условию f '( ) 0

f (x

2) f

f (x1)

'(f

)(x1

(x2) ,

x2)

т.е

f(x)=const(в силу произвольности выбора x1 и x2). Теорема Коши.

Пусть функции f (x) и g(x) определены на интервале (a,b)
1)	f (x)	и g(x) непрерывны на [a,b];
2)	f (x)	и g(x) дифференцируемы на (a,b) причем g'(x) 0	, тогда :	f (b) f (a)	f '( )
2)	f (x)	и g(x) дифференцируемы на (a,b) причем g'(x) 0	, тогда :	g(b) g(a)	g'( )
				g(b) g(a)	g'( )

Доказательство.

Рассмотрим функцию F(x) f (x) g(x) параметр выбрали из условия

F(a) F(b) : f (a) g(a) g(b) g(b)

f (b) f (a) (g(b) g(a))

f (b) f (a) g(b) g(a)

Для функции F(x) выполнены условия теоремы Ролля. Формулировка теоремы Ролля

: F '( ) 0
F '( ) f '( ) g'( ) 0		f '( )	g'( ) Сравнивания формулы для , получим
утверждение теоремы.
Следствие.
Теорема Лангранжа. Если	g'(x) 0		,то	f (b) f (a)	f '( )	.
Теорема Лангранжа. Если	g'(x) 0		,то	b a	1	.
				b a	1

Формула Тейлора. Единственность разложения функции по формуле Тейлора. Остаточный член в формуле Пьяно.

Пусть функция

(x)

дифференцируема в точке

x	0

, тогда

(x)

, где

y y y	; x x x	;
0	0

'(x	0	); (x)
	0

-бесконечно малая более высокого порядка чем

x .

y y

y	0	f '(x	0	)(x

P (x) (x)
1

x	0	)
	0

(x)

, где

P1 (x)

линейная функция, причем P (x	0	) y	0	.
1	0		0

Можно расписать, что	y(x)	1 (x) o(x x0 ) , т.е в окрестности точки	x	0	функция f(x)
		P	x

ведет себя как линейная. Поставим более общую задачу: для функции y=f(x) найти многочлен порядка n, который обладает следующими свойствами:

f (x	) P (
0	n

Многочлен

x	0	), f '
	0

Pn (x)

) P

'(x

), f ''(x

) P

''(x

), f

(n)

) P

(n)

)

будем писать в виде

P (x) a										a					(x x							) a		(x x		)	2
P (x) a									0	a					(x x						0	) a	2	(x x	0	)
n									0				1								0		2		0
P (x			0		) a					0				f (x			0	)
n			0							0							0
P	'(x			0			) a								f	'(x		0	)
n				0						1								0
P	''(x					0		) a				2			f ''(x						0	)
n						0						2									0
P	n	(x						) a							f	n	(x					)
P		(x			0			) a			n				f		(x			0		)
n					0						n									0

дифференцирования формулы для требуемые свойства an ( fn (x0

... a	n	(x x	0	)
	n		0

первые равенства получаются путем

Pn (x) и подстановки x x0 . Вторые равенства - это ))n!.f(x) у которого существует производная до n

порядка включительно можно найти коэффициенты

		f	(k )	(x		)
a		f		(x	0	)	, k 0,1,2..
					0
	k		k!
	k

f (k ) (x0 )

Многочлен Pn (x) , ak

(x) ax (x x0 )

многочлен Тейлора для

k 0

функции f(x).

)

f (x

) P (x

) 0

Обозначим

r (x) f (x) P (x)

'(x

)

'(x

) P

'(x

) 0

(n)

)

(n)

)

(n)

) 0

Рассмотрим функцию

(x) (x x0 )

и вычислим

(x)

rn (x)

rn '(x)

rn ''(x)

lim

...

n 1

n 2

(x)

(x x0 )

x x0 n(x x0 )

n(n

1)(x x0 )

x x0

r (n) (x)

r n (x

)

r (x)

)n )

lim

0 lim

r (x) o((x x

x x0

x x0 (x x

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
31.03.201545.87 Кб10lr1.docx
#
31.03.2015962.92 Кб36LU-разложение матрицы.pdf
#
31.03.201543.44 Кб59makro.docx
#
31.03.20156.69 Mб9Manual_po_World_of_Warcraft_v_3_3_5__1.pdf
#
31.03.20156.8 Mб25Manual_Zhen_Kostyum_13v_1.pdf
#
31.03.20151.23 Mб18matan1.pdf
#
31.03.2015113.44 Кб18Matan2.pdf
#
13.03.20164.88 Mб202MatecoLab.doc
#
13.03.20161.85 Mб74Matematicheskaya_ekonomika.doc
#
13.03.20164.98 Mб54Materialy_k_lektsiam_po_kursu_MMETO.docx
#
31.03.2015524.29 Кб73mech10.pdf