Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

matan1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

31.03.2015

Размер:

1.23 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 55

Q	(x) b	(x	)(x	2
m	m	1		2

произведение 1 раз. Если

)(x

3 ) .Если корень -прямой, то скобка (x- -кратный, то скобка (x- ) входит k раз. Если

) входит в

j i -

комплексный, то Вычислим

j i

тоже корень(т.к. коэффициенты многочлена веществены).

(x )(x ) x				2	x x x				2	x( ) x			2	x( j i j i ) j			2	2

D 4 j	2	4( j	2		2	) 4	2	0 (x )(x ) x			2	px q, г деD p			2	4q 0

-неприводимый трехчлен. Если							имеет кратность
имеет кратность n, то и			имеет кратность n.
Многочлен Qm (x) записан в виде
R	(x) b	(x )(x		)(x		).....(x		)	k	(x
R	(x) b	(x )(x		)(x		).....(x		)	1	(x
									1
m	m	1	2		3		1				2

1, то и

)

...(x

2

имеет кратность 1. Если

p x q )		b	(x	2	p x q		)	b
p x q )		1	(x		p x q		)	2
		1						2
1	1				2	2

Теорема. Всякая правильная рациональная дробь может быть разложена на простейшие дроби.

1.A 2.

x a

A
( x a)	2
( x a)

3.	Mx

x	2

N Mx N

px a x 2 a 2

4.	Mx N
		2		2
	( x		a

Если в знаменатели скобка (x- )-то в разложение

скобка (x )	k	- то в разложение k дробей	C
скобка (x )		- то в разложение k дробей	1
			1
			x

1 дроби			B . Если в знаменателе
			x a
C	2		...	C	k
	2				k
(x )		2		(x )		k
		2				k

Если в знаменателе x												2	a			2	, то в разложение 1 дроби																2x F				. Если в знаменателе
Если в знаменателе x													a				, то в разложение 1 дроби															x			a		. Если в знаменателе

																																		2		2
																																		2		2
(x2 a2 ) , то в разложение k дробей																								E1 x C1						E2 x C2					.......		Ek x Ck						.
(x2 a2 ) , то в разложение k дробей																								x 2 a 2						(x2 a2 )2					.......		(x2		a 2 )k				.
																								x 2 a 2						(x2 a2 )2							(x2		a 2 )k
Пример.
								1													A					B				B					B					Cx F				E X D
																											1				2					3								1		1
																											1				2					3								1		1
(x 1)(x 4)						3	(x		2	7)(x			7	3)				5			x 1				(x 4)					(x	4)	2			(x		4)	3		x	2	7		x	2	3
(x 1)(x 4)							(x			7)(x				3)							x 1				(x 4)					(x	4)				(x		4)			x		7		x		3
	E X D							E X D							E X D										E X D
	2				2				3			3					4						4		5				5
	2				2				3			3					4						4		5				5
	(x	2	3)	2				(x		2	3)	3				(x			2	3)		4			(x		2	3)	5
	(x		3)					(x			3)					(x				3)					(x			3)
Здесь			A, Bi ,C, F, Ei , Di									- неопределенные коэффициенты. Для того чтобы их найти нужно

привести правую часть к общему знаменателю и используя равенство многочленов найти соотношение коэффициентов.

Пример.

1	A	Bx C
(x 1)(x2 4)	x 1	x2 4


(x		2	4) A (Bx c)(x 1) 1
(x			4) A (Bx c)(x 1) 1
1			Ax			2	4 A Bx		2	Bx Cx	C
1			Ax				4 A Bx			Bx Cx	C
1 x				2	( A B)			x(C b) 4 A			C
1 x					( A B)			x(C b) 4 A			C
x	2	: 0 A B
x		: 0 A B
x : 0 C B
x	0	:1 4 A C
x		:1 4 A C

A B			1/ 5	1/ 5x 1/ 5
C B		B 1/ 5; A 1/ 5;C 1/ 5
			x 1	x	2	4


1 4 A C
	Остаток нахождения интеграла практическая форма.

1. x a		ln(x a) c	2. ( x a)k		(x a)1 k
1. x a		ln(x a) c	2. ( x a)k			c
	dx			dx
					1 k

Mx N

xdx

d (x

)

2 dx M

2 M

ln x

arctg

замечание.

D 0

x p / 2 t

q (x

p / 2)

q p

/ 4 4q t

1 a

2 x2 x2

x2 dx

(x2 a2 )n

a2 (x2 a2 )n

(x2 a2 )n 1

a2 (x2 a 2 )n

n 1

2 2n 1

2n 3

, n 2,3...

n 1

a2 )n 1

n 1

a2 )n 1

2(1 n)

2a2 (n 1)(x2

(2n 2)a2

2a2 (n 1)(x2

рекуррентная формула.

I1 x2 a2 3тип

Замечание.

Если корни многочлена простые действительные, то

1 (x 1)(x 2)(x 3) 1 A(x 1)(x 3) x 1;1 A( 1)( 2) x 2;1 B(1)( 1) x 3;1 C(2)(1)

	A	B	C
	x 1	x 2	x 3

B(x 1)(x 3) C(x 1)(x 2)

Опр. что

Асимптоты к графику функций.

Пусть функция f(x) определена при x>a (x<a), если f (x) kx b (x) , где (x) 0 при x (x

существуют числа k и b такие, ) ,то прямая y=kx+b называется

асимптотой к графику функции y=f(x). Геометрически это означает, что при

x (x ) график функции мало отличается от графика линейной функций. Теорема. Для того, чтобы прямая y=kx+b была асимптотой к графику функции y=f(x)

необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы	lim	f (x)	k	,
	lim	x	k	,
	x	x
lim( f (x) kx) b .
x

Доказательство. 1) Необходимость y=kx+b – асимптота f (x) kx b (x) или

f (x) kx b (x) . Вычислить lim		f (x)	lim	kx b (x)	k lim	b	lim	(x)	k .
f (x) kx b (x) . Вычислить lim			lim		k lim		lim		k .
	x	x	x	x	x x		x	x
Вычислить lim( f (x) kx) lim(b (x)) b .
x	x

2) Достаточность. Пусть существуют конечные пределы. f (x) kx b (x) (то существует предел).

(1)Была теорема о связи бесконечно малой и сходящийся последовательности lim xn a xn a n .

(2)Определение предела функции по Гейна.

(3)Можно сформулировать теорему (критерий) существования предела функции, а это, по определению, означает, что y=kx+b – асимптота. k 0 -асимптота называется наклонной; k=0 y=b-горизонтальная асимптота. Один из пределов бесконеченасимптоты нет.

неопределенный интеграл.

В дифференцируемости исчисляем по данной функции мы находим ее производную. В интегральном исчисление необходимо восстановить функцию по ее производной.

Опр. Функция F(x) называется первообразной функции f(x), если ( F'(x)		f (x) ), т.е она
является производной, для функции f(x).
Пример.
f (x) cos x
F (x) sin x	F1 (x)иF(x) является первообразной для f(x),C-const.
F (x) sin x C
1

Справедлива теорема.

Если	F1 (x)иF2 (x) первообразные для функции f(x),
F (x) F		(x) C
1	2

то они отличаются на const

		R(x) F (x) F		(x)
Доказательство. Рассмотрим функции		1	2
Доказательство. Рассмотрим функции		R'(x) F	'(x) F '(x)		f (x) f (x) 0
		R'(x) F	'(x) F '(x)		f (x) f (x) 0
		1		2
Пусть X0-производная(1 из области определения R(x)).
R(x) R(x0 ) R'( )(x x0 ) , где	лежит между точкой X0 и X следовательно

R(x) R(x0 ) 0 R(x) const F1 (x) F2 (x) C . Совокупность всех первообразных

Функции f(x) и обозначается

f (x)dx

F(x) C

, где f(x)-подынтегральная функция,

f(x)dx-подынтегральное выражение. Таблица.

1		0dx C

2. 1dx 1 C

10.		shxdx chx C
11.		chxdx shx C
11.		chxdx shx C

3.

			x	n 1
x	n	dx	x		C, n 1
	n
			n 1

12.

		dx		1	arctg	x	C
x	2	a	2	a		a

| x | C

13.

arcsin

x a

14.

x a

ln a

dx e

sin xdx cos x C

15.

ln(x

) C

cos x sin x C

tgx C

cos

ctgx C

sin

1-3,5-11-следствие таблицы производных.

(tgx)'

tgx C

cos 2

cos 2 x

если x>0, то

ln x C , если x<0, то |x|=-x (ln | x |)'

(ln( x))'

( 1)

формула 4 записывается в виде

ln | x | C .

12.

dx	arctgx C
1 x	arctgx C
2

13.

	dx
	1	x
		2

arcsin

Т.к.

(

операции дифференцирования и интегрирования взаимно обратны , то

(x)dx)'	f (x)		f '(x)dx	f (x)

Основные правила интегрирования.

1. Интеграл от суммы нескольких функций равен сумме интегралов от этих функций


	( )dx		dx	dx		dx

Доказательство. Левая часть представляет собой первообразную от функции . Найдѐм первообразную правой части.

( dx dx dx)' ( dx)' ( dx)' ( dx)' , т.е. правая часть

представляет собой первообразную функции . Т.к. две первообразные отличаются друг от друга на постоянную, то равенство верное.

Замечание. Константа содержится ухе в знаке интеграла.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

kf (x)dx k f (x)dx

Доказательство. Левая часть первообразная функции f(x),

первообразная той же функции. (k		f (x)dx)' k(		f (x)dx)'

покажем, что правая частьkf (x) ,т.е. правая часть

представляет собой первообразную функции kf(x), т.к. две первообразные отличаются друг от друга на постоянную, то равенство верное.

1 и 2 линейностью.


	( )dx				dx	dx	dx
3. Вид формулы интегрирования не измениться , если вместо независимой
	переменной x будет дифференцируемая функция x=x(t).
		f (x)dx	f (x(t))x'(t)dt			g(t)dt инвариантность.
		f (x)dx	f (x(t))x'(t)dt			g(t)dt инвариантность.
Доказательство.				f (x)dx F(x) C здесь F(x) – первообразная функции f(x).
Доказательство.				f (x)dx F(x) C здесь F(x) – первообразная функции f(x).
	f (x(t))dx F(x(t)) C				. Вычисляем (F(x(t)))' F' x'(t) f (x)x '(t) f (x(t))x'(t) , т.е.
	f (x(t))x'(t)dt - множество первообразных функции f(x(t)), которую мы обозначали

ранее F(x(t)) следовательно формула верна. Примеры.

1.

2.

				(x					x	3			x	2
(x 2)	2	dx			2	4x 4)dx			x		4		x		4x C
	2				2
									3				2
									3				2
				x 2 t			t				t	2005				(x	2)	2005
(x 2)	2004		dx	x 2 t				2004			t		C			(x	2)		C
(x 2)			dx	dx dt				dt					C						C
				dx dt							2005					2005

3.(12)

adt

x at

arctgt C

arctg

((

)

dx adt

2x t

4.а) sin 2xdx x	t		1	sin tdt	1	cos t C	1	cos 2x C
4.а) sin 2xdx x				sin tdt		cos t C		cos 2x C
2			2		2		2
dx		dt
dx
2

sin x t

б)

sin 2xdx

2sin x cos xdx

tdt 2

C t

C sin

x C1

cos xdx

в)

cos x t

sin 2xdx 2sin x cos xdx

2 tdt 2

C t

C cos

x C2

sin xdx dt

Это три первообразные одной и той же функции.

	dx			1	(x 2) (x 3)				dx		1	dx	1	dx
(x 2)(x					(x 2)(x				dx			x 3		x
(x 2)(x		3)		5	(x 2)(x			3)			5	x 3	5	x	2
1	ln x 3	1	ln x		2 C	1	ln	x 3		C
5	ln x 3	5	ln x		2 C	5	ln	x 2		C
5		5				5		x 2

	dx		dx				x	1	t			dt		1			t			2		2(x	1/ 2)
																arctg			C		arctg			C
								2
x2 x 1			1			3							3
					2						2			3			3	3			3
					2						2			3			3	3			3
		(x		)			dx dt			t					4			4
		(x	2	)		4	dx dt			t			4

7.
7.
8.
8.
9.

tgxdx

ctgxdx

sin xdx		cos x t
	cos x	sin xdx

	cos xdx		sin x t
	sin x		cos xdx

		dt		ln t C ln cos x C

dt			t
	dt		ln t C ln sin x C

dt	t

(sin

x / 2 cos

x / 2)dx

sin x

2sin x / 2 cos x / 2

ln cos t ln

| sin t | C ln | tgt | C

10.

ln | tg (

cos x

sin(x

)

	x				1		x		x	t		1		1
tg	x	dx			1	ctg	x	dx	2	t		1	tgtdt	1	ctgtdt
tg	2	dx			2	ctg	2	dx	2			2	tgtdt	2	ctgtdt
	2				2		2		dx		2dt	2		2
									dx		2dt
ln \| tg			x	\| C
ln \| tg			2	\| C
			2

) | C 4

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 55

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
31.03.201545.87 Кб10lr1.docx
#
31.03.2015962.92 Кб36LU-разложение матрицы.pdf
#
31.03.201543.44 Кб59makro.docx
#
31.03.20156.69 Mб9Manual_po_World_of_Warcraft_v_3_3_5__1.pdf
#
31.03.20156.8 Mб25Manual_Zhen_Kostyum_13v_1.pdf
#
31.03.20151.23 Mб18matan1.pdf
#
31.03.2015113.44 Кб18Matan2.pdf
#
13.03.20164.88 Mб202MatecoLab.doc
#
13.03.20161.85 Mб74Matematicheskaya_ekonomika.doc
#
13.03.20164.98 Mб54Materialy_k_lektsiam_po_kursu_MMETO.docx
#
31.03.2015524.29 Кб73mech10.pdf