Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

matan1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

31.03.2015

Размер:

1.23 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Т.о получим

f (x)

Pn (x) o((x

x		)	n	)
	0

, rn (x)

остаточный член формулы Тейлора.

Пусть функцияf(x) определена на интервале (a,b) и в каждой точке x0 принадлежащей интервалу (a,b) имеем производную до n порядка включительно, тогда

(k )

)

f (x) Pn (x) o((x x0 )

) , где

(x) ak

(x x0 )

, ak

k 0

Единственность многочлена Тейлора.

Пусть функция f (x) представлена в окрестности точки x0 многочлена вида

x x

(k )

)

, тог да b

k 0

Доказательство.

(k )

)

Если

f (x) ak (x x0 )k ,

где ak

еѐ многочлен Тейлора и есть у нас

k 0

другой многочлен bk (x x0 )

ak (x x0 )

(x x0 )

надо показать, что

k 0

коэффициенты одинаковы

a	0	a
	0	1

Пусть

a	a	2
1		2

на x

(x x		) a		(x x		)	2	..... a		(x x		)	n	b	b (x x		) b	(x x		)	2
	0		2		0				n		0					0			0
														0	1		2

x x0 a0

сократим на

x x0

(x x0 ) ... an (x x0 )

n 1

..... bn (x x0 )

n 1

. пусть

x x0

и т.д. a

многочлен Тейлора единственен.

Остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа.

.....

b	(x x		)	n
		0
n

сократим

f (x) P (x) r		(x)
n	n

Pn (x) ak (x x0 )k

k 0

		f	(k )	(x		)
a		f		(x	0	)
					0
	k		k!
	k

p	n	(x	0	)
	n		0

ищем многочлен

	f (x	0	)
		0

Pn (x) ,который удовлетворяет следующим условиям:

можно записать в виде rn (x0 ) rn '(x0 ) ...rn	(n)	(x0 ) 0

P	'(x		0		) f	'(
n			0
P	n	(x			) a
P		(x		0	) a	n
n				0		n

рассмотрим

x0 )				эти условия
f	n	(x		)
f		(x	0	)
			0

функцию

(x) (x x0 )n 1 , (k ) (x0 ) 0k 0,1,2,...n

(n 1) (x0 ) (n 1)!

Рассмотрим отношение

(x)

(x) r

)

'(x

)

'(x

) r

'(x

)

''(x

)

(n 1)

)

(тКоши)

....

n 1

(x)

(x) (x

)

'(x

)

'(x

) '(x

)

''(x

)

(n 1)!

rn	(x)	(x)r (n 1) (x	n	1)

		(n 1)!

(x) (x x

)(n 1)

где C (x, x

) остаточный член в

r (n 1) (x

1) f (n 1)

1) r (x)

(x x

)n 1 f n 1

(c)

(n 1)!

форме Лангранжа.

Формула Тейлора.

f (x) Pn (x)

(x x

)n 1 f (n 1) (C)

1)!

Следствие. Если

f (x) Qn (x) произвольный многочлен степени n, то rn (x)

(x) x

2x 1

разложим по степени (x-1).

f (x) x

2x 1 |

x 1

'(x) 3x

2 |

''(x) 6x 6 |

x 1

'''(x) 6

2x 1

(x 1)

Проверка

2x 1 (x 1)

3x 1 3x

2x 1 (x 1)

5x 2 (x

12x 6 5x 2 (x 1)

6(x 1)

4 (x 1)

6(x 1)

7(x 1) 3

Справедлива теорема. Пусть функция y=f(x) имеет в окрестности точки

(x x

)n 1 f (n 1) (C)

f (x) P (x)

где С лежит между xиx

P (x)

(n 1)!

k 0

(k )

)

1)3 6(x 1)2

x0 )k

Замечание№1 если	x0	=0,то формула Тейлора называется формулой Маклорена.
Замечание№2 т.к f	(k 1)		(x) непреравна, то	f	(n 1)	(c)	M	ограничена lim rn (x)
	(k 1)				(n 1)

								n
								n

Формула Маклорена для функции e x

(ex )(k ) ex

e x ak

k 0

f (k ) (0)

...

Выражение

k 0

xk rn (x), an ?, rn ?

rn (x) 0(xn )

xn o(xn ) n!

ряд Маклорена.

		n	x	k
e	x		x		o(x	n	)
e					o(x		)

		k 0	k!
		k 0

Формула Маклорена для функции sin(x).

(sin x)	(k )	sin(x	k	)

			2

K=0	Sinx	\|	0	0
			0

K=1	Cosx	\|	0	1
			0

K=2	-sinx	\|	0	0
			0

K=3	-cosx	\|	0	1
			0

K=4	sinx	\|0 0

(k )

(0)

k-четное

4k 3

1)!

(4k 3)!

(4k

sin x

0x2

1x3

0x4

1x5

...

2n 1

n 1

2n 1

sin x x

....

( 1)

o(x

)

(2n 1)!

Формула Маклорена для функции cos(x).

(cos x)(n) sin(x			n	)	a		f (k ) (0)
(cos x)(n) sin(x			2	)	a	k	k!
						k

N=0	Cosx	\|0 0

N=1

-sinx

2n 2

N=2

-cosx

cos x 1 0x

....

( 1)

n 1

o(x

2n 2

)

(2n 2)!

N=3

Sinx

n=4

cosx

cos x 1 x2

....

x2n 2

( 1)n 1

o(x2n 2 )

(2n 2)!

Формула Маклорена для функции

(1 )
(1 )

((1 x)

)

(k )

( 1)......( k 1)(1 )

(k )

(0) ( 1)....( k 1)

( 1)......( k 1)

(1 x)

0(x

)

k 0

1 x

... ( 1)

o(x

n 1

)

1 x

y=ln(1+x)

(n 1)

[ln(1 x)]

(n)

( 1)

n 1

(n 1)'

x 1

( f

(k )

) ( 1)

(k 1)!

( 1)

k 1

, k 1,2,..n

ln(1 x) x

.... ( 1)

n 1

o(x

)

f (0) ln(1 0) 0

Пример. Написать формулу Маклорена для функции

y cos

y cos t 1

t 2

t 4

t 6

....

t 2n

( 1)n 1

(t)

(2n)!

. Решение: обозначим

t=x/3 ,		x	2	x	4	x	6		x	2n
														x

	1	3		3		3		....	3		( 1)	n 1	r


		2!		4!		6!			(2n)!				n		3

Пример

y cos(2x 3)

формула Маклорена по степеням x

(2x)

cos(2x 3) cos 2x cos 3 sin 2x sin 3 cos 3(1

...) sin 3*

(2x)

* (2x

...)

Исследование поведения функции. Признак монотонности функции.

Теорема.

Пусть функция

f (x)

дифференцируема на интервале (a,b). Тогда если f '(x) 0 то

функция возрастает, если P'(x) 0 , то функция убывает. Доказательство.


Пусть	a x1 x2		b	по формуле Лангранжа, имеем f (x2 ) f (x1 ) f '( )(x2 x1 )
x1 x2 , т.к x2			x1	0 , то
1)	если	f '( ) 0, тоf (x2 ) f (x1 ) 0
2)	если	f '( ) 0, тоf (x2 ) f (x1 ) 0 т.е в1) f(x) возрастает, в 2) f(x) убывает;
f(x) возрастает , если x1 x2 , f (x1 ) f (x2 ), f (x) убывает, если для x1 x2 ,						f (x1 )
данные условие достаточное условие, но не является необходимым. y x					3	всюду
						всюду

возрастает, но y’(0)=0.

, где

f (x	2	)
	2

Наибольшее и наименьшее значение функции.

Было

Точка x0 называется максимумом(минимумом) функции f(x), если

U (x		) : x U (x			) f (x	) f (x)( f (x	) f (x))
	0			0	0	0
U (x	) U (x		) \ x	0
0		0		0

Точка x0 называется максимумом(минимумом) функции f(x),

если

: x :

выполняется

неравенство

f (x

x) f (x

)( f (x

x) f (x

))

Обозначим f

f (x0 x) f (x0 )

Если точка x0

точка максимума, то

<0.

Если точка х0

точка минимума, то

f >0.

При переходе через точки экстремума f не меняет знак.

Исследование поведения функции.

Теорема 1. Необходимое условие экстремума. Пусть точка х0 является точка экстремума для функции f(x). Тогда, если существует f’(x0), то f’(x0)=0, либо f’(x0) не существует.

В точке х1 – min; в точке х2 – max.

Теорема 2. Достаточное условие строгого extr в терминах первой производной. Пусть f(x) дифференцируема в некой окрестности точки х0, и в точке х0 f(x) непрерывна. Если f’(x) при переходе через точку х0 меняет знак, то точка х0 является точкой строгого

экстремума, при этом 1)если при x0 x x0 , f '(x) 0 , а при x0	x x0	, f '(x) 0
то в точке х0 – минимум. 2)если при x0 x x0 , f '(x) 0 , а при
x0 x x0 , f '(x) 0 то в точке х0 максимум.
Доказательство. Докажем 1) f (x) f '( )( x) .Теорема Лангранжа
f (x) f (x0 ) f '( )(x x0 ) . а) Если х-х0>0 и f '( ) 0, тоf (x) f (x0 ) f		0 . б) если х-

х0<0 и f '( ) 0, тоf (x) f (x0 ) f 0 , т.е при переходе через точку х0	f
свой знак: f >0, т.е точка х0-точка минимума.

2)Доказательство аналогично.

Достаточное условие строгого экстремума в терминах старшей производной. Пусть в точке х0 у функции f(x) существует n производных, причѐм

не меняет

f '(x		) f ''(x		) ... f	(n 1)	(x		) 0,	f	(n)	(x		)
	0		0				0					0

экстремум, и если f (n) (x0 ) 0 min . f (n) (x0 )

Тогда, если n=2k, то в точке х0

0 max . Если n=2k+1 в точке х0 нет

экстремума и точка х0 точка возрастания. Если

(n)

(x	0	) 0
	0

и точка убывания,

если

(n)

(x	0	)
	0


Следствие. Если в точке х0 у функции f(x) существует f			(k )	(x0 )

точке х0 минимум, f	(k )	(x0 ) <0,то в точке х0 максимум (k=1).

Доказательство. Разложим функцию f(x) в ряд Тейлора.

, то, если

(k )		)
(x	0	)
	0

>0, то в

f (n) (x0 )

f f (n) (x

0 ) (x)n

o(x)n знак

f (x) f (x

)

(x x

)n o(x x

)n или

f определяется первым слагаемым, если n – четное, то знак

f зависит от знака

(n)

(x0 )((x)

(n)

. По этому, если

(n)

(x0 ) 0

то f >0 – минимум.

(n)

(x0 ) 0 то

f <0 – максимум. Если n – нечетное, то знак f

зависит от

x и f

(n)

(x0 ) , т.е. при

переходе через точку х0 знак

f меняется, следовательно в точке х0 экстремума нет.

Следствие.

f ''(x

)

(x)

o(x)

. f’’(x0)>0,

f >0 – минимум; f’’(x0)<0, f <0 –

максимум.

Выпуклости функции. Точка перегиба.

Опр. Функция f(x) на интервале (a,b) называется выпуклой вверх (выпуклой вниз), если

x	, x	2	(a,b)
1		2

x		x	2
f	1		2
f
		2

f (x1 ) f (x2 )

(

x		x
f	1		2
	1		2
		2

f (x	)
1
	2

(x	2	)
	2

)

Геометрически это означает что кривая y=f(x) лежит выше(ниже) прямой.

Достаточное условие строго выпуклости.

Теорема. Если на интервале (a,b) f’’(x)>0, то f(x) выпукло вниз, если f’’(x)<0, то f(x) выпукло вверх.

Доказательство

Рассмотрим разность

																					x		x		2	)					f (x							x	x			2	)
		x										)							2 f (			1			2			f (x		)			)		f (			1				2			f (x			)
x									f (x					f (x			)		2 f (									f (x		)			)		f (										f (x			)
x					2				f (x					f (x		2	)	x					2						1			2							2								1
f	1				2					1						2							2																2
f
			2										2													2																2
f (x		)			f (		x	x			)												f	'( )(			x		x		x )			f	'()(x							x		x			)
f (x		)			f (		1			2	)												f	'( )(				1		2	x )			f	'()(x								1			2	)
							1			2																		1		2													1			2
	2								2				Т.Ланг ранжа																2		1								2					2
									2																				2															2
					2																								2											2
					2																								2											2
f '( )			(x			x			)		f		'()		(x		x		)	(x			x		)	( f '		( )			f '())			(x			x			)	f		''	( )( ), г де ( ,)
			(x			x			)						(x		x		)			2		1		( f '		( )			f '())					2			1		f		''	( )( ), г де ( ,)
																						2		1												2			1
4				2				1					4			2		1					4														4
4													4										4														4

х2-х1>0

а)Если

б) Если

x		x
f ''( ) 0, тоf	1		2
	1		2
		2
x		x
f ''( ) 0, тоf	1			2
	1			2
		2

f (x	)		f (x	2	)
1				2
		2
f (x		)	f (x		2	)
	1				2
		2

выпукла вниз.

выпукла вверх.

Опр. Точка х0 для функции f(x) называется точкой перегиба, если она является концом интервала выпуклота вверх(вниз) и началом интервала выпуклота вниз(вверх)

Необходимое условие точек перегиба.

Если функция дважды непрерывна, дифференцируема в точке х0 и если точка х0 является точкой перегиба, то f’’(x0) = 0

Доказательство. Если бы f’’(x0)>0 то в некоторой окрестности точке х0 f(x) была выпукла вниз. Если бы f’’(x0)<0 то в некоторой окрестности точке х0 f(x) была выпукла вверх. Но это противоречит определению точке перегиба: точка перегиба не принадлежит ни какому интервалу выпуклости.

Достаточное условие точки перегиба.

Если функция f(x) дважды дифференцируема в некоторой окрестности точке х0 кроме, быть может, самой точки х0, но f(x) непрерывна в точке х0 и ее производная меняет знак при переходе через точку х0, то в точке х0 – точка перегиба.

Доказательство.

1) : x (x0 , x0 ) f ''(x) 0x (x0 , x0 ) f ''(x) 0

либо

2) : x (x0 , x0 ) f ''(x) 0

x (x0 , x0 ) f ''(x) 0

Т.е. в случае (1) точка х0 является концом интервала выпуклости вверх и началом интервала выпуклости вниз, следовательно точка х0 точка перегиба. В случае (2) точка х0 является концом интервала выпуклости вниз и началом интервала выпуклости вверх, следовательно х0 точка перегиба.

Замечание. Заметим, что если функция y=f(x) выпукла вниз, то ее график лежит выше касательной, если функция y=f(x) выпукла вверх, то ее график лежит ниже касательной.

Теорема. Пусть функция f(x) обладает следующим условием
f ''(x	0	) .... f (n) (x	0	) 0, f (n 1) (x	0	)	непрерывна в точке x0 и	f (n 1)	(x	0	) 0	.n-четное y= f(x)
	0		0		0					0

выпукла вверх, если

точка перегиба. Доказательство.

f	(n 1)

и выпукла вниз, если

f	(n 1)

, n+1-нечетное- точка x0-

																	f	(n 1)	(x		)
f (x)	f (x			) f '(x					)(x x					)			f		(x	0	)	(x x					)	n 1	o((x x		)	n 1	)
																				0								n 1				n 1
			0					0					0				(n 1)!									0				0
			0					0					0													0				0

					f	(n 1)	(x				)
f (x) y					f		(x			0	)	(x x				)	n 1	0((x x						)	(n 1)			)
										0							n 1								(n 1)
		кас				(n 1)!									0								0
		кас													0								0

n+1- четное следовательно положение функции у нас зависит только от производной

f (n 1) (x0 ) . N-нечетное y(x)>y(кас), если f (n 1) 0 . y(x)<y(кас), если f (n 1)		0 , точка X0-
точка перегиба.
Теорема Ферма (необходимое условие extr).
Пусть f (x) определена на интервале (a,b) и точка (a,b).если в точке		функция f(x)
достигает max или min значения и в точке существует производная, то f’( )=0.
Доказательство.
Пусть для определенности в точке	f (x) принимает max значение, т.е

f ( )

тогда

(x) x

	'( )uf		'

(a,b) . В точке существует производная	f '( ) lim	f (x )
		x
	x 0
( ) (правая и левая производная).Распишем отношение

f ( )

		x 0,	f (x ) f ( )	0
f (x ) f ( )		x 0,	x	0
f (x ) f ( )				переходя в этих интервалах к пределу,

x			f (x ) f ( )
x		x 0,	f (x ) f ( )	0
		x 0,	x	0
			x
получим	f '( ) 0
получим	f '( )	0, f '( ) f '( ) f '( ) 0
	f '( )	0, f '( ) f '( ) f '( ) 0
Замечание.
Теорема носит локальный характер, т.е. точка					является локальным экстремумом.

Геометрический смысл теоремы.

В предположение теоремы всегда существует точка, в которой касательная к графику функции параллельная OX.

Теорема Ролля.

Пусть функция y= f (x) :

1)непрерывна на отрезке [a,b];

2)дифференцируема (a,b);

3)f(a)=f(b), тогда : f '( ) 0.

Доказательство.

Функция f(x), непрерывна на [a,b] достигает на нем max M и min m значения, т.е m f (x) M . Возможны два случая.

1)m M f (x) c const и f '(x) 0

2)m M (m M ) ,тогда либо максимальное значение f(x) либо минимальное значения f(x) достигается внутри интервала (a,b) (не на конце отрезка [a,b]).(f(a)=f(b)).

min (a,b) : f ( ) M , тогда f (x) достигает максимального или минимального значения во внутренней точке интервала (a,b) и по теореме Ферма f '( ) 0 //

x,0 x 1
f (x)
0, x 1

f (x) \| x	\|
x [ 1,1]

f (x) x [0,1]

Все условия теоремы Роля существенные.Если выполняется, только 2 из 3(см. картинку), то не существует точка причем f '( ) 0 (касательная параллельная оси ОХ). Интегрирование подстановкой(подведение под знак дифференцирования).

	f (x)dx		f (x(t))x'(t)dt	( x'(t)dt dx ) в две стороны.

В некоторых случаях неудобно t выражать через x, и поэтому делаем замену

x (t)

			dx						dx					t x

																2
	cos x															2
	cos x						sin(x						)	dt dx
							sin(x					2	)	dt dx
												2
11.				a		2	x	2	dx		x a sin t


											dx		a cos tdt
											dx		a cos tdt
a	2	cos			2	tdt a				2		1 cos 2t			dt
	2				2					2
													2
													2

...

sin t

sin

ta cos tdt a

1 sin

ta cos tdt

sin t

sin 2t

C t arcsin

sin 2t 2 sin t cos t 2

(arcsin

) / 2) C

arcsin

Если интеграл содержит Если интеграл содержит

тождестве 1 tg					2	t	1
					2
							cos	2
								2

1		1 tg	2	t	и т.д.
			2
	2
cos	2	t
cos		t

x	2

,1
t

x2 , то либо x=asint,

a2 , то замена такая

ctg	2	t	1		ch	2	t

				2
			sin		t

либо x=acost (оси на cos					2	t	sin	2	t 1 ).

x	a	, x	a	, x arht			основано на

	cos t		sin t
2	t 1	(каждое надо записать в виде)
sh

Если интеграл содержит x2 a2 , то замена либо x=a*tgt, x=a*ctgt, x=a*sht. 12

x t

t 2

x 1

t 1

dx x t

2tdt 2

dt 2

t 2

dt 2(

2t 2 ln(t 1)) C

t 1

x 1

dx 2tdt

t 1

x 2 ln

x 1 C).

13.				2	dx	2
			(x	2	a	2


1		(1 cos
2a	3	(1 cos
2a

x atgt

adt

cos

tdt

)

dx a

cos

t(a

t a

)

cos

2t)dt

sin 2t

) C

2sin t cos t

) C

tgt

) C

2(sin

cos

t 1

1		(arctg	x			a		) C
2a	3	(arctg	a		x		2	) C
2a			a		x		2	1

				(	a	)
					a

1
2a	3
2a

(arctg

x a

		ax		) C
a	2	x	2	) C
a		x

Пусть

Интегрирование по частям.

и -2 заданные функции, которые являются дифференцируемыми, тогда

d( ) d d .


	d ( )		d	d	или		d	d

Применяется для вычисления интегралов.

				ax
				ax
							P (x) , : dx d
	P (x)		sin ax			dx	P (x) , : dx d
	n							n

			cos ax

				arcsin x

				arccos x

								: , dx d
2.		Pn (x) arctgx					dx	: , dx d
					arcctgx
					arcctgx

				ln x

или


	d

Замечание. функции{} у которых есть алгебраическая производная.

3.

	arcsin x
P (x)		arctgx	dx
P (x)		arctgx	dx
n

	ln x

(arcsin x arccos x		, arctg arcctg		)
(arcsin x arccos x	2	, arctg arcctg	2	)
:	2		2
:
P (x) dx d
n

4.	x	cos bx			формула интегрирования по частям применяется два раза либо
	x			dx
				dx
		sin bx

Оба раза, либо					-тригонометрическая функция оба раза.Получаем???? уравнение,
которое далее решаем.
14.
			x
x sin xdx			sin xdx d			x( cos x c)	(c cos x)dx x cos x xc cx
x sin xdx			d dx			x( cos x c)	x cos x sin x C
			d dx				x cos x sin x C
			sin dx cos x c

замечание. произвольную постоянную писать не надо.

-??????

sin x C

15.

arctgx
dx d					xdx			1
arctgxdx	dx		xarctgx		xdx		xarctgx	1	ln(1 x	2	) C
										2
					x	2
d	x	2		1	x			2
1	x

x

16.

				ln		2		x
				ln				x
				x	2		dx		d
				x			dx		d
									2 ln xdx	x	3			x	x	3	2 ln x		x	3				2	x
x	2	ln	2	xdx d						x		ln	2		x		2 ln x	dx	x		ln	2	x	2		2	ln xdx
	2		2										2									2				2
									x	3					3		x		3					3
										3					3		x		3					3

ln x

x 2 / 3(

ln x

)

ln x

9 * 3

17.

cos bx

dx d

cos bx

(b sin bx)dx

sin bxdx

cos bxdx d b sin bxdx

sin bx

cos bx

(

sin bx

b cos bxdx)

sin bx

d b cos bxdx

I (1

)

(a cos bx b sin bx).

Интегрирование рациональных дробей.

P (x) a	0
n	0

дробь. Если правильной.

a1 x ...... an x	n		0 ). R(x)	P (x)
		-многочлен степени n ( an		n			-рациональная
				Q		(x)
					m

n>=m, то дробь называется неправильной. Если n<m, то дробь называется Если R(x)-неправильная рациональная дробь, то разделим уголком

числитель на знаменатель, обозначим q(x)-частное,r(x)-остаток.

R(x) q(x)	r(x)
	Q		(x)
		m

правильная дробь. q(x)-многочлен - легко интегрируется, надо научится интегрировать правильную рациональную дробь.

Q (x) b		b x ...... b xm		b 0	***********************
m	0	1	m	m

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
31.03.201545.87 Кб10lr1.docx
#
31.03.2015962.92 Кб36LU-разложение матрицы.pdf
#
31.03.201543.44 Кб59makro.docx
#
31.03.20156.69 Mб9Manual_po_World_of_Warcraft_v_3_3_5__1.pdf
#
31.03.20156.8 Mб25Manual_Zhen_Kostyum_13v_1.pdf
#
31.03.20151.23 Mб18matan1.pdf
#
31.03.2015113.44 Кб18Matan2.pdf
#
13.03.20164.88 Mб202MatecoLab.doc
#
13.03.20161.85 Mб74Matematicheskaya_ekonomika.doc
#
13.03.20164.98 Mб54Materialy_k_lektsiam_po_kursu_MMETO.docx
#
31.03.2015524.29 Кб73mech10.pdf