matan1

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

, f (c), f (b) содержи точку С. Отрезок a

разделяет c

f (a) C, то через a2 ,b2 обозначим ту часть

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

31.03.2015

Размер:

1.23 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

20.Свойтва функций,имеющих предел.Теорема о сохранении знака функций,имеющих предел.Ограниченность функции,имеющей предел.

1Если для		x : a x b выполнено неравенство			f (x) (x) (x)	за исключением,быть может
точки	x0 и lim f (x) lim (x) A ,то lim (x) A
		x x0	x x0	x x0
2Если f(x)=c, то lim			f (x) c (c-const)
		x x0
3Если	lim	f (x) и	lim g(x) .то
	x x		x x
	0		0

lim ( f (x) g(x))

x x0

lim

f (x) * g(x)( lim c * f (x) c * lim f (x), c)

x x0

lim

f (x) / g(x), g(x) 0, lim g(x) 0

x x0

f (x)

lim f (x)

Доказательство: lim

x x0

g(x)

lim g(x)

x x0

Пусть

lim

f (x) A

lim g(x) B

это означает,что

для

любой

последовательности

x x

xn : xn x0

последовательность

f (xn ) A, g(xn ) B

f (x

)

(св-во послед)

g(x

)

По

определению

предела

функции xn : xn

f (x

)

это

значит

g(x

)

f (x)

lim

f (x)

lim

x x

x x0

g(x)

lim g(x)

x x

4Если а(ч) определена на интервале (a,b) за исключением, быть может, точки x0 ,и

тогда f(x) ограничена в некоторой окрестности точки	x0 .
Доказательство:

lim x x0

(x)

Пусть lim f (x) A .Это			означает,что 0 ( ) : x : x x0 f (x) a . Возьмем
x x0
1 , тогда x : x x0 1 f (x) a 1 или -1+А<f(x)<A+1.Обозначим k=max{ A 1, A 1},
тогда для x :	x x0	1 ,		f (x)	k , т е f(x) ограничена в окрестности точки x0 ,за исключением,

быть может, самой		x0 .

5Если	lim	f (x) A
	x x
	0

знаком числа A. Доказательство:

и A 0 ,то сущетует окрестность точки

x	0

такая , что знак f(x) совпадает со

0 ( ) : x : x x0 f (x) a или	a f (x) a , т к		A 0
случая
A 0 A, A A f (x) A A 0 f (x) 2A, x : x x0		( A)
1		т е знак сохр
A 0 A, 2A f (x) 0, x : x x0 ( A)

21.Теорема о замене переменной для предела функции.

возможны два

Пусть

lim	f (x) y	0
x x		0
x x
0

lim y y0

( y)

, причем

f (x) y	0

при

x	0

, тогда существует окрестность

точки x0 , в которой существует сложная функция F(f(x)) и lim F( f (x)) lim

f ( y) .

x x

y y

Доказательсьво:

Функции f(x) и f(y) определены

в некоторых окрестностях точек

и y

0 соответственно, за

исключением, быть может, точек

x0 и y0 (это следует из существования пределов).

Пусть f(y)

определена

некоторой

окрестности

точки

y0 ,

тогда

из

lim f (x) y0

найдется

x x

: x : x x0

f (x) y0 , т к по условию

f (x) y0 при

x x0 , то можем определить в

окрестности

x x0

функцию

F(f( x0 )).

Пусть

xn -

произвольная последовательность :

xn x0 ,Из

существования

lim f (x) y0

последовательность

f (xn ) y0 .

Обозначим

x x

lim f ( y) =A.Он по условию теоремы существует, т е для любой последовательности

y y

имеем

lim f ( yn ) A , но тогда и

lim F( f (xn )) A ,

что означает ,

что lim F( f (x)) A ,

таким

x x

образом доказали,что lim F( f (x)) A lim f ( y) .

x x0

y y0

22.Бесконечно большие и бесконечно малые функции.Их свойства.

Определение: Функция

(x) называется бесконечно малой при x x0

,если

lim (x) 0 .

x x

Теорема:Для того,чтобы

lim

f (x) a необходимо и достаточно,чтобы функция

(x)

f (x) a

x x

была бесконечно малой.

Доказательство:

1Пусть

lim

f (x) a lim ( f (x) a) 0 (x)

f (x) a -бесконечно малая.

x x

2Пусть

f (x) a (x) -бесконечно малая lim ( f (x) a) 0 lim f (x) a .

x x

Определение:Функция

(x)

называется

бесконечно

большой

при

x x0 ,

если

0 : x : x x0

f (x)

при этом пишут lim

f (x)

x x0

Если выполняется неравенство

f (x)

,то пишут

lim

f (x)

x x

Если выполняется неравенство

f (x)

,то пишут

lim

f (x)

x x

23.Первый замечательный предел.Следствия первого замечательного предела.

O x

lim	sin x	1
	x
x 0

Рассмотрим окружность R=1 OA-неподвижный радиус,OB-подвижный.

AOB

.Востановим из точки A перпендикуляр до

пересечения с OB.Соединим AB. S			OA* OB	* sin x	sin x
	OBA
		2		2

SсектораOBA

OB * OA* x

, SOCA

OA* AC

tgx

, SOBA

SсектораOBA SOCA

или

sin x

tgx

. Рассмотрим случай

0 x

и разделим неравенство на

или cos x

sin x

cos x

sin x 2

, получим

lim cos x 1(cos x

x 0

1.lim	tgx	1
	x
x 0
2.lim	arcsin x				1
		x
x 0
3.lim	arctgx			0
		x
x 0
4.lim	1 cos x				1
		x	2
x 0

в точке x=0 непрерывна lim cos x cos 0 1)

x 0

Следствия:

lim1 1 lim		sin x	1
		x
x 0	x 0

Доказательство:

1.lim

tgx

lim

sin x

1*1 1

x 0

cos x

2.lim

arcsin x

x sin y

lim

sin y

x 0

y 0

3.аналог ично

2 sin

sin

1 cos x

4.lim

lim

1*1

x 0

Замечание: тк функции sinx/x и cosx четные, то утверждение справедливо для

x 0

24.Второй замечательный предел и его следствия.

lim 1 x

x 0

1 n

Ра нее доказали,что

lim 1

e .Это означает,что для

любой

подпоследовательности

1 nk

натуральных чисел таких,что

справедливо равенство

lim

e .

n	k
	k

Пусть

-последовательность

такая,что

0 , xn

.Тогда существует

nk 1 ( xn

-бесконечно малая, 1/ xn -бесконечно большая) и

k 1

всем частям неравенства 1.

1 xn 1

1 и возведем в степень

k 1

такое,что

. Прибавим ко

k 1

1 xn

три

последовательности.

nk 1

lim

e *1 e

e lim 1 x

lim

/ 1

nk 1

(Теорема

сжатой

переменной).

xn -произвольная

последовательность

x	n

Вычислим

,то по

определению предела функции имеем

lim 1 x

x 0

Пусть

xn -последовательность, такая,что

lim xn

lim(1 x

)

lim(1 y

)

lim

1 y

1 yn

lim

можем считать,что yn

1= e

Следствия

x	n	0
	n
		1
1 y			n
			n

. Обозначим

1 limn

y	n

1

x			n
			n
y
	n
1 y
1 y		n
		n

1
y
n

	a		x	1
			x
1.lim				x			ln a
x 0		e		x
		e	x	1
			x
2.lim				x			1
x 0				x		1 x
3.lim		log			a	1 x
					a
						x
x 0						x
4.lim		ln(1 x)						1
4.lim					x			1
x 0					x
Доказательство
4.lim		log a				(1 x)
4.lim						x
x 0						x
3.a e
	a x			1
1.lim							a x 1
1.lim							a x 1
x 0				x
				x

2.a e

1 ln a

lim log

(1 x) x

log

ln a

x 0

log

y, a x

1 y, x

lim

ln a

1 y

y 0

log a (1 y)

25. Сравнение бесконечно-малых функций. Вычисление пределов с помощью эквивалентных бесконечно малых функций.

Теорема: Если

f 1

f 2 и 1 2 при х→xo и lim

f 1

то lim

f 2

lim

f 1

;

Здесь

f 1,

x 0

x x0 2

x x0

бесконечно малые.

Док-во:

lim

f 1

lim

f 1

f 2

lim

f 1

* lim

f 2

* lim

1* lim

f 2

lim

f 2

;

f 2

x x0

ч.т.д

Следствие: Если

f 1

f 2

и для любой функции f ((x))

lim

f ((x)) то

x x0

lim

f 2() lim

f 1()

x x0

Правило: Бесконечно малую функцию, которая стоит в мулбтиприкативном множестве, на эквивалентную. Если есть разность бесконечно-малых функций, то заменять нельзя!

Пример: lim	sin(x) tg(x)		lim	x x		!
	x	3		x	3
x 0			x 0

sin(x)

tg(x)

x ln a

1 cos(x)

ln(1

arcsin x

log

(1 x)

ln a

arc tg(x)

(1 x)

2,1, 2

заменяют

Все бесконечно-малые участвующие в таблице – одного порядка.

Теорема: Если (x) и (x) бесконечно-малые одного порядка, то (x) (x) (x) бесконечномалая более высокого порядка и наоборот.

Доказательство:

lim

(x) (x)

lim (1

(x)

) 11 0; т.е. порядок у

(x) (x) выше.

(x)

x x0

Обратно: lim

(x) (x)

0 lim (

(x)

1) 0 lim (

(x)

) 1;

(x)

x x0

(x)

x x0

26. Непрерывные функции. Определения. Примеры.

Непрерывные функции

Опр1. Функция f (x)

определенная на интервале (a,b)

называется непрерывной в точке

x (a,b)

если lim f (x) f (x0 ) .

x x0

Опр2. Функция f (x)

называется непрерывной в точке

, если для любой посл. {xn}: xn

посл.

f (x) сходиться к f (x0 ) .

Опр3. Функция f (x)

называется непрерывной в точке

, если

0 ( ) : x : x x

f (x) f (x

)

Обозначим x x0

x - приращение аргумента, тогда

f (x) f (x0 ) f (x x) f (x0 ) f (x0 ) -

приращение функции.

Опр3’. Функция f (x)

называется непрерывной в точке

x0 , если 0

( ) : x : x f (x0 )

Опр4. Функция f (x)

называется непрерывной в точке

, если lim y 0

x 0

Опр5. Функция f (x)

называется непрерывной в точке x0 , если

f (x 0) f (x 0) f (x0 ) .

Пример: xn непрерывна на области определения.

lim ((x
x 0		0

где x0	n	/

x) *n

n	x	n	) lim
	x		) lim
	0		x 0
			x 0

-ограничена,


n



x

	x	n						x
		n
1			1	lim (x		n	*		* n) 0
1			1	lim (x			*		* n) 0

	x			x 0	0			x
	x			x 0				x
	0							0

- бесконечно малая

27. Точки разрыва. Классификация точек разрыва.

Опр.1 Точка

, в которой функция

f (x) не является непрерывной, называется точкой разрыва

функции

f (x)

sin(x)

в точке x0 f (x) не определенною

Опр.2 Если точка

- точка разрыва функции и существуют конечные пределы

f (x0 0) lim

( f (x))

f (x0 0)

lim ( f (x)) то точка x0 называется точкой разрыва 1го рода.

x x 0

Если, при этом

f (x0

0) f (x0 0)

то точка x0 называется точкой устранимого разрыва.

f (x)

sin(x)

, x

0 - устранимый разрыв. Логично доопределить функцию в точке до

непрерывности.

f *(x)

sin(x)

если

x 0

и f *(x) 1 если x 0 f *(x) - непрерывна.

Опр.3 Точка

в которой

f (x) не является непрерывной и она не является точкой разрыва 1го

рода, называется точкой разрыва 2го рода.

Пример:

y sin(

) ,

lim(

) не существует x0 =0 – точка разрыва 2го рода!

x 0

Опр.4 Если f (x) определена на полуинтервале (a, x0 ] [x0 , b) и f (x0 0) f (x0 )

f (x0 )

f (x0

0) то функция f (x)

называется непрерывной слева (справа).

Опр.6

f (x) называется непрерывной функцией в точке x0 если f (x) непрерывна в точке

x0 слева

и справа. Шпаргалка:

1)f (x0 0) f (x0 0) f (x0 ) - непрерывность

2)f (x0 0) f (x0 0) f (x0 ) -устранимый разрыв

3)f (x0 0) f (x0 ) f (x0 0) - непрерывность справа

4)f (x0 0) f (x0 ) f (x0 0) – непрерывность слева

5) f (x0 0) f (x0 0) - разрыв 1го рода

	f (x0 0) f (x0 0) - скачок			f (x) в точке x0
6) Один из пределов f (x0 0), f (x0 0) не существует или бесконечен, разрыв второго рода.

28. Свойства непрерывных функций. Действия с непрерывными функциями. Непрерывность
сложной функции.
Теорема: Если функции f (x)				и g(x)	непрерывны в точке	x0 , то функции	f (x) * g(x) f (x) g(x) ,
	f (x)	,	y(x ) 0 непрерывны в точке		x .
		,	y(x ) 0 непрерывны в точке		x .
	g(x)		0		0
	g(x)

Док-во:	lim( f (x)* g(x)) lim		f (x)* lim g(x) f (x0 )* g(x0 )
	x x	x x	x x
	0	0	0
Теорема непрерывности сложных функций: Пусть				y (x)
Док-во:	1) f ( y)	непрерывна в точке x0 .

(считаем, что

f (x0 ),

непрерывна в точке

g(x	)
0
x0 .

-конечные).

( ) : y : y y		f ( y)
0

f ( y	)
0

. Для найденного

( )

найдем

()

x : x x0	: (x) (x0 )				это означает, что x : x x0			определена сложная функция
f ((x)) .
Заменяя в неравенстве f ( y) f ( y0 ) y (x) ,						y0 (x0 ) ,		получим f ( (x)) f ( (x0 )) ,
как только		x x0	, а это означает, что функция			f ((x))	непрерывна в точке x0 .
как только		x x0	, а это означает, что функция			f ((x))	непрерывна в точке x0 .
Замечание: теорему можно записать в виде: lim( f ((x)))							f (lim((x)))
					x x			x x
					0			0
Операция предельного перехода: и взятия непрерывной функции, перестановочны.
lim( f ((x))) y f (x); y				(x	) lim ( f ( y))
x x	0			0	y y
0					0

29. Свойства функций непрерывных на отрезке. Первая и вторая теоремы Вейерштрасса.

Опр.1 Функция f (x) определенная на отрезке (a,b) называется непрерывной на данном отрезке, если она непрерывна в каждой точке этого отрезка.

Теорема Вейерштрасса 1: Если функция		f (x) непрерывна на отрезке a, b , то она ограничена на
нем.		неограниченна на отрезке a, b , это значит что
Док-во: Предположим что функция	f (x)
n xn a,b : f (xn ) n точки xn	образуют последовательность, xn a,b n
По теореме Бальзано-Вейерштрасса можно выделить сходящуюся последовательность
xnk : xnk c, c a,b , но тогда, т.к.	f (x) - непрерывная функция, последовательность f (xnk )

сходиться к числу	f (c) , но это противоречит предположению, что	f (xnk ) nk	предположение
неверно.

Теорема Вейерштрасса 2: Если функция f (x) непрерывна на отрезке a, b , то она достигает min и

max. x, x1 a,b и x2 a, b , f (x1 ) max( f (x)); f (x2 ) min( f (x)). Существует хотя бы одна точка максимума и одна точка минимума.

30. Теорема о промежуточном значении непрерывной функции.

Пусть функция	f (x) непрерывна на отрезке a, b ,	A f (a) , B f
C : A C B	a,b : f ( ) C

Док-во: Разделим отрезок a, b пополам точкой. Если f (c) C , то Если f (c) C , то через a1,b1 обозначим ту часть отрезка a,b

(b) и пусть
z c;
f a, c	c,

для которой

отрезок f

f (c1 ) C,a1,b1 для

(a), f (c)

то z a . которой

отрезок f (a1 ), f (c1 ) , f (c1), f (b1) содержит точку С, продолжая этот процесс,

получим систему вложения отрезков a1		,b1 a2 ,b2 an ,bn . Причем		an ,bn	b a		0
					2	n

единственная точка, общая для этих отрезков: Z an z bn n т.к. f (x)				непрерывна, то
f (a ) f (z) f (b ) , но по построению		f (a	) C, f (b ) C f (z) C;
n	n	n	n
Следствие: теорема о нуле непрерывной функции.
Если	f (x) непрерывна на отрезке a, b и принимает на концах значения разных знаков, то

существует хотя бы одна точка, в которой функция обращается в 0.

f (a) A 0, f (b) B 0, A B z : f (x) 0, A 0 B

31. Обратная функций. Непрерывность и монотонность обратной функции.

Опр. Функция f (x) определенная множестве E , называется строго возрастающей, если

f (x1 ) f (x2 ) и строго убывающей для f (x1 )

f (x2 )

y cos(x)

на 0, - строго убывающая.

y sin x на

;

- строго возрастающая

Лемма: Пусть

f (x)

строго монотонно возрастающая функция на некотором множестве, тогда

обратная функция строго монотонно возрастает.

Док-во: Предположим противное.

Множество

f 1 ( y)

содержит хотя бы два значения x1

x2 по

f (x1 ) f (x2 )

Для чисел x

возможны три ситуации

В силу строгой монотонности в первом случае

f (x1 ) f (x2 ) ,

а в третьем случае f (x1 ) f (x2 )

появляется преп.

f (x1 ) f (x2 ) следовательно x1 x2

f (x)

однозначная функция строго

монотонная.

, что

Дифференциальное исчисление функции одной переменной.

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x0			и пусть точка x
принадлежит этой окрестности.Рассмотрим отношение	f (x) f (x		0	)	.Если существует

	x x
		0

предел данного отношения при стремлении точки x к точке

x	0

,то говорят,что определена

производная функции f(x) в точке x0 и обознается					f (x0 ) lim	f (x) f (x0 )
производная функции f(x) в точке x0 и обознается					f (x0 ) lim	x x0
					x x0	x x0
					x x0
Если ввести	x x x0 -приращение аргумента,			y f (x0 x) f (x0 ) -приращение
функции,то		y	.

	f (x0 ) lim	x
	x 0	x

Производная-предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда

приращение аргумента стремится к 0.Если данный предел равен		то говорят,что
функция в точке x0 имеет бесконечную производную.

Если существует

и их обозначают

lim	y
x 0	x
f (x	0	)
пр

lim

x 0

f	(x	0
лев		0

,то говорят,что существует правая(левая) производная

x ) .

Если существут

f (x	0	), то f	(x	0	)и f	(x	0	)
	0	пр		0	лев		0

и они равны.Если

f	(x	0	) f	(x	0	), то f (x	0	)
пр		0	лев		0		0

и она равна их общему значению.

Производные элементарных функций.Вывод таблицы.

1.y c(c const)

y c c 0

lim

x 0

c 0

2.y

)

y (x

((1

)

lim

n 1

x 0

3.y a

)

x x

x ln a

lim

ln a

x 0

4.y sin x

2 sin

sin(x x) sin x

cos x

lim

cos x

x 0

5.y cos x

2 sin

cos(x x) cos x

sin x

lim

sin x

x 0

Дифференциал функций.Критерий дифференцируемости.связь между непрерывностью и дифференцируемостью.

Определение: Пусть функция f(x) определена в окрестности точки

.Если ее приращение

f (x) можно представить в виде f (x) дифференцируема в точке x0 (иногда пишут

* xf (

(x) ,то говорят x) * x (x),

,что f(x)

где (x)

-величина

более высокого порядка, чем x, т.е. lim	( x)	0	а это означает,	что x x )
более высокого порядка, чем x, т.е. lim	x	0	а это означает,	что x x )
x 0	x
* x -линейная функция от x .Она называется диффернциалом функции f(x) и
обозначается df (x) * dx
Пример:
y x2
y x x 2 x2 x2 2x x x2 x2 2x x x2
dx2 2xdx
Критерий дифференцируемости:
Для того, чтобы функция y=f(x) была дифференцируема в точке x0				необходимо и
достаточно, чтобы существовала производная в этой точке.
Доказательство:
1.Необходимость. f(x) дифференцируема в точке x0			это означает f (x) * x ( x) .

Разделим это равенство на x и перейдем к пределу x 0

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
31.03.201545.87 Кб10lr1.docx
#
31.03.2015962.92 Кб36LU-разложение матрицы.pdf
#
31.03.201543.44 Кб59makro.docx
#
31.03.20156.69 Mб9Manual_po_World_of_Warcraft_v_3_3_5__1.pdf
#
31.03.20156.8 Mб25Manual_Zhen_Kostyum_13v_1.pdf
#
31.03.20151.23 Mб18matan1.pdf
#
31.03.2015113.44 Кб18Matan2.pdf
#
13.03.20164.88 Mб202MatecoLab.doc
#
13.03.20161.85 Mб74Matematicheskaya_ekonomika.doc
#
13.03.20164.98 Mб54Materialy_k_lektsiam_po_kursu_MMETO.docx
#
31.03.2015524.29 Кб73mech10.pdf