5. Применение программы «mathcad» для выполнения заданий

Общение пользователя с «MathCad» происходит на математически ориентированном языке визуального программирования, который настолько приближен к обычному математическому языку описания вычислительных задач, что практически не требует специального освоения. Многие математические записи на этом языке производятся выводом на экран соответствующих шаблонов операторов и функций. Простейшие знаки основных операций можно набирать и с клавиатуры.

Для получения справки в «MathCad» в меню есть пункт «Help(?)». При выборе этой команды на экране появляется окно интерактивной справки. Этот же результат можно получить быстрее, нажав клавишу «F1». Контекстно-зависимую справку можно получить, поместив указатель мыши на нужный элемент документа или меню «MathCad». Если поместить указатель на кнопку панели инструментов, то через некоторое время появится окно с названием кнопки, а на строке состояния (так же, как и при выборе элемента меню) появится поясняющий текст.

Команда «Resource Center» меню «Help(?)» открывает доступ к огромной библиотеке систематизированных ресурсов «MathCad».

Команда «Open Book» («Открыть справочник») открывает электронный справочник, с помощью которого можно составить представление о возможностях «MathCad» [18–23].

Для создания нового документа «MathCad» надо выбрать команду «New» («Новый») из меню «File» («Файл») (комбинация клавиш Ctrl+N).

Курсор-крестик может быть преобразован в рамку для текста нажатием клавиши «"». При этом будет открыта окруженная черной рамкой текстовая область, которая останется открытой до тех пор, пока курсор щелчком мыши не будет перемещен на свободный участок документа. В текстовой области курсор имеет вид вертикальной черты. После создания области текста можно ввести заголовок. По умолчанию он будет представлен шрифтом «Arial». Если вводится текст без создания текстовой области, для «MathCad» это означает, что вводится формула (шрифт «Times New Roman»). Для устранения подобной ошибки достаточно нажать клавишу пробела, чтобы «MathCad» преобразовал формулу в текст. Преобразование в обратном направлении невозможно.

Набор формул начинается с места, указываемого визиром (красным крестиком), положение которого определяется щелчком левой кнопки «мыши». В области формулы визир превращается в синий уголок, указывающий место ввода, а в текстовой области, которую можно ввести в документ командами главного меню («Вставка» – «Текстовая область»), визир превращается в вертикальную линию (маркер ввода). Управление визиром осуществляется как мышью, так и стрелками клавиатуры.

Для ввода формулы устанавливаем визир в место ввода и вводим определенную последовательность символов, например: «а:1».

«MathCad» автоматически преобразует этот текст в формулу – определение переменной: «» (a = 1). «MathCad» различает прописные и строчные символы, поэтому переменные х и Х различаются между собой.

Переменные в языке «MathCad» задаются идентификаторами, которые могут быть любой длины, содержать латинские, греческие буквы и цифры, но при этом должны начинаться с буквы и быть слитными.

При работе с переменными часто используется операция присвоения. Для этого на экране используется знак «:=» (например, «С1:=2.3» соответствует присвоению переменной С₁ значения 2,3), вводимый Shift + «двоеточие» с клавиатуры. Знак «равенство» на клавиатуре используется для вычисления переменной. Таким образом, для вычисления выражения необходимо сначала присвоить значения всем его переменным, затем присвоить какой-то переменной само выражение, набрав его после знака присваивания. Тогда для вычисления значения переменной достаточно набрать с клавиатуры эту букву и знак равенства.

Для набора специальных операций (знак корня или степени) используется панель арифметических операторов.

Введем интервал изменения переменной х от – Х (начальное значение) до Х (конечное значение) с шагом 0,02 : «х:-Х,-Х+.02;Х».

Введенный текст будет преобразован «MathCad»: точка с запятой будет преобразована в две точки, но при этом смысл определения вводимого интервала будет правильно интерпретирован «MathCad».

Теперь введем определение функции, например :

«».

«MathCad» преобразует символ «*» («звездочка») в привычный знак умножения «·», а символ «/» («косая черта») сразу преобразуется в общепринятое обозначение дроби.

Каждое математическое выражение (график или текстовая область с комментариями) образует блоки. Они имеют невидимые прямоугольные границы, которые становятся видимыми, если выделить выражение (щелкнуть на выражении левой кнопкой «мыши»). Левой кнопкой «мыши» можно перемещать блоки.

Основной принцип работы «MathCad» – блоки выполняются строго поочередно с просмотром их слева направо и сверху вниз. В системе по умолчанию задан режим автоматического вычисления всех выражений по мере их ввода или после каждого редактирования документа. Стоит вывести визир за пределы выражения, как все результаты вычислений обновляются. Это происходит быстро, но если вычисления занимают некоторое время, то используется специальное выделение вычисляемых в данный момент выражений – прямоугольником из зеленых линий.

При необходимости можно сделатьневычисляемыми отдельные выражения документа. Для этого надо выделить выражение, затем в контекстно-зависимом меню, вызываемом правой кнопкой «мыши», использовать команду «Отменить вычисления». Невычисляемое выражение будет отмечено черным квадратом.

В качестве примера, рассмотрим некоторые этапы вычисления, характерные для задания № 2. Определим номиналы элементов схемы при f_рез = 84 Гц и ₀ = 0,45 и найдем характеристики для электрической цепи, схема которой представлена на рисунке 5.1.

Найдем ПФ для данной схемы:

(5.1)

Приведем (5.1) к стандартному виду для колебательного звена

(5.2)

где , .

Определим номиналы элементов схемы :

, откуда ; . (5.3)

_{Имеем систему из двух уравнений с неизвестными L1, C1, R1, R2.}.

С помощью «MathCad» определим возможные значения L₁ и С₁.

С учетом значений ряда Е24 примем такие номиналы элементов:

С₁ = 20 мФ, L₁ = 1/(4²·84²·2·10^-4) = 18 мГн.

Резистор R₁ должен быть намного меньше сопротивления конденсатора С₁ (или L₁) на f_рез : R₁ << 1/(2·f_рез·С₁) = 1/(2·84·2·10^-4) = Z_C1 = 9,5 Ом.

На рисунке 5.2 приведена копия части экрана из «MathCad».

Примем R₁ = 2,0 Ом, тогда, решая (5.3), получим R₂ = 6,2 Ом.

(Для решения уравнений и систем уравнений удобно воспользоваться блоком функций «Given» – «Find» [18–23]).

Изменяя сопротивление R₁ или R₂ , можно регулировать . Для удобства анализа построим график зависимости  от номинала R₂.

Построение графиков в «MathCad» осуществляется с помощью шаблонов, перечень которых содержится в меню «Вставка» – «Graph» («График»). Используем шаблон для построения двумерных графиков «Х-Y Plot». После вызова шаблона графика на экран необходимо ввести имя переменной по оси x и имена одной или нескольких переменных (разделенных запятыми) по оси y в соответствующие шаблоны – черные квадратики в средней части осей. В крайние черные квадратики осей вносятся значения пределов изменения переменных по осям. Если эти значения не введены, то в этом случае «MathCad» сам выберет пределы, исходя из максимальных значений отображаемых переменных. После щелчка «мышью» вне шаблона график будет построен. График является блоком «MathCad» и, как любой блок «MathCad», может переноситься по экрану и редактироваться. Кроме изменения размеров, редактирование графика можно осуществлять командами меню «Format» («Формат») – «Graph» («График»). Например, опция «Трассировка» позволяет точно определять значения x и y в любой точке графика, а опция «Zoom» позволяет выбрать любой фрагмент графика с помощью прямоугольника из пунктирных линий, а затем увеличить масштаб этого фрагмента графика.

Если какие-то ячейки оказались незаполненными (выделенными красным цветом), на экране появится сообщение об ошибке: «This expression is incomplete. You must fill in placeholders» («Это выражение неполное, необходимо заполнить поля»). Необходимо заполнить такие ячейки.

На рисунке 5.3. приведен график зависимости (R₂), интересующая нас область изменения  – от 0 до 1,1.

По графику видим, что значению  = 0,45 соответствует R₂ = 6,16 Ом, ближайшим значением по ряду Е24 является номинал 6,2 Ом.

Построим графики АЧХ, ФЧХ, АФЧХ, ЛАЧХ, ЛФЧХ для R₂ = 6,2 Ом.

Для построения графиков необходимо присвоить значения всем переменным, а затем задать диапазон частот (f или ω). «Мнимую единицу» можно задать напрямую , а можно использовать встроенную «мнимую единицу» «MathCad». Рекомендуется вводить в графики не само выражение вычислений, а присваивать его какой-либо функции пользователя.

Например, при заданной функции W(iω) для построения АФХЧ (годографа) по осям координат (x и y) графика в соответствующие шаблоны вводим имена переменных и , которые получены с помощью встроенных функций, определяющих действительную (Re) и мнимую (Im) части ЧПФ.

Для построения АЧХ в шаблоны для осей графика необходимо внести mW(ω) (модуль ЧПФ: mW(ω) = │W(iω)│) по оси y и ω по оси x.

Аналогично для построения ФЧХ в шаблоны необходимо ввести по оси y fz(ω) () и ω по оси x. При построении ФЧХ рекомендуется логически проверять полученный результат: из-за ограниченности области значений (90) функции arctg, применяемой для вычислений фазы, график может иметь разрывы, хотя обычно ФЧХ непрерывна.

На рисунке 5.4 приведена копия соответствующего поля экрана «MathCad».

На рисунке 5.5 приведены графики АЧХ, ФЧХ и АФХЧ (годограф).

Рекомендуется форматировать графики так, чтобы наиболее информативные участки попадали в центральную часть графика.

Для построения ЛАХЧ по оси y необходимо ввести , а для оси x через контекстное меню следует установить логарифмический масштаб только для этой оси.

Для ЛФЧХ логарифмический масштаб для оси x вводится аналогично, но по оси y остается линейный масштаб, как для ФЧХ.

На рисунке 5.6 приведены графики ЛАЧХ, ЛФЧХ. ГрафикaL(ω) показывает асимптотическую ЛАЧХ. По графикам видно, что АЧХ и ЛАЧХ при  = 0,45 имеют резонансный выброс.

Широкие возможности для анализа предоставляют операторы символьных вычислений, которые встроены в «MathCad». Для их осуществления необходимо набрать выражение, над которым необходимо провести символьное преобразование без оператора присваивания. Далее «мышкой» или стрелками клавиатуры нужно установить визир (зеленый уголок) так, чтобы он охватывал все выражения справа. После чего из палитры математических операций выбираем необходимое действие из списка операторов символьной математики (помечена «черной шапочкой») и вводим в ее шаблон имя переменной, с которой и осуществляется операция. После щелчка левой кнопки «мыши» за пределами выделенного блока выполняется сама операция, и ее результат помещается после стрелки, являющейся на экране признаком проведения символьной операции.

Определим ПХ и ИХ с помощьюсимвольного оператора обратного преобразования Лапласа из библиотеки «MathCad» – «invlaplace».

После выполнения «invlaplace» выражение, появившееся справа от стрелки, можно скопировать и присвоить новой функции, например h(t).

ИХ проще всего определяется как производная ПХ по времени, но ИХ можно найти и через «K(p) invlaplace, p».

На рисунке 5.8 приведены графики ПХh(t) и ИХ g(t).

Для получения различных видов ПХ необходимо подобрать R₂ (R₁ не изменяем), это позволяет изменять определенные значения , которые соответствуют ПХ апериодического, слабоколебательного и колебательного характера.

Воспользуемся графиком на рисунке 5.3.

Для ПХ апериодического характера  ≥ 1. Выберем R₂ = 20 Ом ( = 1,2).

ПХ слабоколебательного характера соответствует 0,707 ≤  < 1, для  = 0,74 выбираем R₂ = 12 Ом.

Сильную колебательность ПХ звено проявляет при  < 0,707, этому соответствует номинал R₂ = 2 Ом ( = 0,21).

Для каждого случая построим АЧХ, ФЧХ, ЛАЧХ, ЛФЧХ, ПХ и ИХ.

Для наглядности однотипные графики желательно выполнять вместе, а масштабы и сетку по оси x для амплитудных, фазовых и временных характеристик выбирать одинаковыми.

На рисунке 5.9 приведены графики АЧХ, ФЧХ, АФЧХ, ЛАЧХ и ЛФЧХ для всех рассмотренных выше случаев. Графики 1 построены при  = 1,2, графики 2 – при  = 0,74, графики 3 – при  = 0,21, графики 0 – при изначально заданном  = 0,45.

На рисунке 5.10 приведены аналогичные графики ПХ и ИХ.

Полученные графики можно легко скопировать из «MathCad» в текстовый документ «Word» или любой графический редактор.

С помощью маркеров, задаваемых на координатных осях, или опций «Трассировка» и «Zoom» можно с необходимой точностью определить основные параметры качества. Рекомендуется для этих целей составлять уравнения и использовать специальные встроенные функции «MathCad».

По полученному семейству характеристик можно определить параметры качества исследуемого звена.

Например, время достижения ПХ первого максимума T_max удобнее определить по первому «нулю» ИХ, так как она является производной ПХ, а в максимуме функции ее производная равна «нулю». Для этого можно воспользоваться функцией «root». Например, для определения «нуля» g₁(t) на отрезке от 1 до 5 мс набираем «root(g1(t), t, 0.001, 0.005) = », и «MathCad» возвращает значение 1,8 мс (T_max1). Аналогично находим для других :

T_max2 = 2,1 мс, T_max0 = 2,3 мс, T_max3 = 2,6 мс.

_{Для определения времени регулирования Тр надо задать допустимый уровень отклонения от установившегося значения для всех ПК.}

_{Выберем  =  0,05. Для определения Тр необходимо по графикам ПХ грубо определить интервал последнего пересечения h(t) с прямыми линиями h(t) = 0,05 и h(t) = –0,05 , после чего точное значение можно определить с помощью функции «root(h1(t)– 0.05, t, 0.01, 0.02) = », где от 0,01 до 0,02 – интервал нахождения корня функции h1(t) – 0,05.}

_{В итоге получаем Тр0 = 11 мс, Тр1 = 12 мс, Тр2 = 7 мс, Тр3 = 10,5 мс.}

Аналогично можно найти все остальные параметры качества и сравнить полученные косвенные оценки.

mW0(ω)

mW1(ω)

mW2(ω)

mW3(ω)

fz0(ω)

fz1(ω)

fz2(ω)

fz3(ω)

reW0(ω),reW1(ω), reW2(ω), reW3(ω)

imW0(ω)

imW1(ω)

imW2(ω)

imW3(ω)

Проведеманализ устойчивости для РАС (задание № 4).

Т₀ = 4,7 мс, Т₁ = 0,1 с, Т₂ = 5 мс, Т₃ = 0. ξ₀ = 0, λ₀ = 1, λ₁ = 0,1 , λ₂ = 0.

S_д = 0,4 , k_ф = 20, k_доп = 1, k_р = 25, v_ф = 0, v_р = 1, N(0) = 0,001.

Варьируемый параметр – Т₀ . Критерий устойчивости Михайлова.

Получим ПФ разомкнутой системы ().

. (5.4)

ПФ по ошибке

=

= . (5.5)

Найдем ПФ замкнутой системы

= = . (5.6)

Характеристическое уравнение (замкнутой системы) имеет вид

. (5.7)

Для приведения (5.6) к стандартному виду (5.7) удобно использовать команду «MathCad» «collect» (рис. 5.11).

Спомощью «MathCad» проще всего устойчивость анализируется непосредственным вычислением корней характеристического полинома (5.7) с помощью функции «polyroots». Коэффициенты D(p) (от младшего до старшего) вводятся в виде вектора d (сверху вниз), для которого «polyroots(d) = » возвращает столбец корней (рис. 5.12).

Таким образом, при k₀ = 200, Т₂ = 4,7 мс D(p) имеет такие корни: р₁ = – 200,6; р_2,3 = – 4,7  i44,4. Система устойчива. По виду корней очевидно, что переходный процесс будет иметь колебательный характер.

Для анализа устойчивости РАС покритерию Михайлова от D(p) (5.7) перейдем к G(iω) (U(ω) и iV(ω) – действительная и мнимая части G(iω)):

G(iω) = U(ω) + iV(ω); U(ω) = a₀ – ω²a₂ = ,

V(ω) = ω(a₁ – a₃ ω²) = . (5.8)

На рисунке 5.13 приведены годографы РАС. Оба графика соответствуют устойчивым РАС.

График 1 построен при Т₀ = 4,7 мс (анализируя влияние варьируемого параметра Т₀, определяем, что при Т₀ = 4,76 мс ). Для этого случая k_кр = 1,610⁴ (84,1 дБ).

График 2 построен при Т₀ = 0. В этом случае k_кр = 210 (46,4 дБ), запас устойчивости мал (менее 0,5 дБ), и годограф проходит очень близко к критической точке (0,0).

Запасы устойчивости РАС удобно оценивать по ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы. Анализ показывает, что запасы устойчивости по фазе при заданных условиях малы (менее 15), и необходима коррекция.

Недостаток запаса по фазе приведет к колебательной форме ПХ со значительным перерегулированием и длительным Т_р .

Определим ошибку РАС при заданном воздействии λ(t) = (1 + 0,1t)1(t) при отсутствии возмущения ξ. Подставляя коэффициенты полиномов в формулы (П.4) – (П.8) прил. 5, определим коэффициенты ошибок:

, (С₂ и т. д. определять не надо, так как λ″(t) = 0). (5.9)

Найдем первые производные λ(t):

λ′(t) = λ₁ = 0,1 , λ″(t) = 0. (5.10)

В результате из (5.11) получаем

, (5.11)

что после подстановки дает Х_уст = 0,1/200 = 510^–4 = m_x.

Определим СКО РАС.

Возмущение ξ представляет собой белый шум с амплитудой N₀ .

Для ПФ ошибки по возмущению из формулы (4.4) после замены переменных р  iω получим (К₁ = S_д , k₀ = k₁S_д , k₁ = k_фk_доп k_р):

, (5.12)

После подстановки формулы (5.12) в (П.1) получим

. (5.13)

Сравнивая (5.13) с выражением (П.1) – (П.2) прил. 3, определяем порядок и коэффициенты полиномов (5.13): n = 3, b₂ = 0, b₁ = –(T₀)², b₀ = 1; a₃ = T₁T₂ , a₂ = T₁ + T₂ , a₁ = 1+k₀T₀ , a₀ = k₀.

После подстановки в формулу (П.2) и преобразований получим

(5.14)

После подстановки численных значений получаем в результате:

D_x = 1,1–10^–3. = 0,01.

Спомощью «MathCad» можно вычислить интеграл (5.13) напрямую с помощью операций численного интегрирования. Заполнив шаблон для вычисления определенного интеграла в «MathCad», получим D_x = 0,66, что совпадает с полученным ранее значением.

На рисунке 5.14 построен график подынтегральной функции (5.13), умноженной на . Как известно, геометрическая интерпретация интеграла – площадь под графиком подынтегральной функции.

Дисперсию можно определить и с помощью эффективной шумовой полосы f_эф (прил. 4, табл. П4.1). Для графика на рисунке 5.14 эквивалентная площадь S_экв образует прямоугольник по уровню 6,25 и до циклической частоты ω_эф = 829 рад/с (f_эф = 264 Гц). В этом случае D_x определяется по формуле (П.3) прил. 4 : D_x = N₀·f_эф/S_д. = 0,66.

Можно обойтись без построения графика, взяв формулу для W(p) (5.4) из таблицы прил. 4 :

. (5.15)

П

dx(T0)

роведемоптимизацию по параметру Т₀ с целью получения минимума СКО и Т_р. На рисунке 5.15 представлен график зависимости дисперсии от Т₀, построенный по формуле (5.14). Штриховой линией показано исходное значение Т₀ = 4,7 мс.

Из графика видно, что минимальное значение дисперсии D_x достигается при Т₀ = 20 – 25 мс. При этом очевидно, что и в этом случае вкладом математического ожидания m_x в СКО можно пренебречь.

Уточним значения дисперсии D_x (а значит, и СКО) с помощью рассмотренного выше арсенала функций и команд «MathCad»: минимум D_x (D_x = 0,27) достигается при Т₀ = 22 мс, при Т₀ = 20 мс и при Т₀ = 25 мс D_x = 0,272 , а при Т₀ = 30 мс D_x = 0,28 .

Проанализируем теперь, как влияет изменение варьируемого параметра Т₀ на время регулирования Т_р. Анализ показывает, что приемлемая форма ПХ получается при Т₀ > 21 мс.

На рисунке 5.16 приведены графики ПХ и ИХ, построенные при следующих значениях варьируемого параметра: график 1 построен при начальном значении Т₀ = 4,7 мс, график 2 – при критическом значении Т₀ = 21 мс, а график 3 – при значении Т₀ = 30 мс.

Очевидно, что форма ПХ при Т₀ = 4,7 мс (график 1) неудовлетворительна. Для существенного снижения Т_р необходимо, чтобы на критическом участке ПХ не выходила из интервала установления (0,95 < h(t) < 1,05).

Это достигается приТ₀ > 21 мс. ПХ на графике 3 имеет несколько лучшие характеристики, чем «критическая» ПХ, представленная на графике 2.

С учетом минимальных значений функции D_x (Т₀) выберем Т₀ = 25 мс. При этом (после уточнения с помощью рассмотренных выше функций и команд «MathCad») получим следующие параметры качества ПХ:

Т_р = 90 мс, Т_max1 = 51 мс, h_max = 1,25 (γ = 25 %) , Т_зап = 15 мс, Т₀₁ = 5,2 мс, Т₀₉ = 25 мс, dh(Т_зап)/dt (скорость нарастания фронта) = 40 В/с.

На рисунке 5.17 представлены графики АЧХ и ФЧХ. График 1 (штриховая линия) соответствует неоптимизированной системе (Т₀ = 4,7 мс). График 2 (сплошная линия) построен приТ₀ = 25 мс.

Аналогичные графики для ЛАЧХ и ЛФЧХ построены на рисунке 5.18.

Из рисунков 5.17 и 5.18 видно, что до оптимизации РАС имела существенный резонансный выброс (график 1 – штриховая линия) и, как следствие, сильно колебательный характер ПХ. После оптимизации величина выброса существенно уменьшилась (график 2 – сплошная линия).

На рисунке 5.18 приведены аналогичные графики ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы (переход к ЧПФ W(i) от ПФ W(p) (5.4)).

Для исходной РАС запасы устойчивости составляли по усилению А_з1 = 40 дБ и по фазе _з1 = 12. Запасы устойчивости оптимизированной РАС существенно увеличились (годограф оптимизированной РАС будет проходить еще левее графика 1 на рисунке 5.13, построенного при Т₀ = 4,7 мс).

После оптимизации РАС получились такие запасы устойчивости:

по усилению – А_з2 = 80 дБ, по фазе – _з2 = 49.

При необходимости можно было бы включить в оптимизационную задачу и другие параметры РАС (S_д, k₀ , k₂, Т₁, Т₂), что повысило бы эффективность оптимизации, хотя и существенно усложнило бы решение.

Для этих целей в «MathCad» есть группа команд оптимизации.

Следует отметить, что для успешного использования «MathCad» желательно не забывать об ограничениях численных методов.