Matem_Lisitsya_2

-2

O

2

X

Рис. 8.

Площу фігури, яка обмежена кривими y = f1 (x) , y = f 2 (x)

знаходимо за

b

формулою: S = ∫( f 2 (x) − f1 ( x))dx (див. теоретичну частину). Для

знаходження

a

2

3

5

x1 = −2 ,

x2 = 2 .

Таким

чином, площа

шуканої

фігури

S = ∫(16 −

x 2

−

x 2 )dx =

−2

2

2

2

2

= ∫(16 − 4x 2 )dx = 16x −

4

x 3

= (32 −

32

) − (−32 +

32

) =

128

.

−2

3

−2

3

3

3

IV. Розв’язати диференціальні рівняння:

а) (1 − y 2 ) ln x + xyy′ = 0 .

Це

рівняння

є

рівнянням

зі

змінними, які

відокремлюються. Перепишемо його у вигляді:

ln x dx

= −

ydy

. Проінтегруємо

1 − y 2

x

52

обидві частини отриманого

рівняння:

∫

ln x dx

= −∫

ydy

, або

∫ln x d (ln x) =

2

x

1 − y

=

1

∫

d (1 − y

2 )

. Скористаємось

таблицями

інтегралів

і остаточно отримаємо

2

1 − y

2

рішення даного диференціального рівняння: ln 2 x = ln(1 − y 2 ) + C .

б)

y′ −

2 y

= x 2 e x , y(1) = e . Дане рівняння є лінійним диференціальним рівнянням

x

вигляді:

dy

= 2

dx

. Отримуємо: ∫

dy

= 2∫

dx

. Остаточно: ln y = ln(Cx 2 ) , або y = Cx 2 .

y

y

x

x

Тепер будемо вважати, що стала C є функція змінної x , тобто C = C(x) .

Підставимо функцію

y = C( x) x 2 у дане рівняння:

C ′(x)x 2 + 2 C(x) x − 2 C(x) x =

= x 2 e x . Після скорочення подібних виразів маємо:

C ′(x)x 2 = x 2 e x , тобто C ′(x) = e x .

Таким чином C(x) = e x + C . Отримуємо рішення

y = (e x + C )x 2

. Тепер знайдемо

1

1

сталу C1 таким чином, щоб виконувалась початкова умова

y(1) = e : e = e + C1 .

Тоді C1 = 0 . Остаточно отримаємо рішення даного рівняння,

яке задовольняє

початковим умовам: y = e x x 2 .

− 2

u(x) v(x)

= x 2 e x . Функцію v(x)

знаходимо із умови: v′( x) − 2

v(x)

= 0 .

x

x

53

в)

y′′ + 6 y′ + 9 y = 2 sin 3x . Дане рівняння – лінійне рівняння другого порядку з

постійними коефіцієнтами.

Спочатку вирішуємо відповідне однорідне диференціальне рівняння (див.

теоретичну частину): y′′ + 6 y′ + 9 y = 0 . Складаємо

характеристичне рівняння:

k 2

+ 6k + 9 = 0 . Знаходимо корені цього рівняння:

k1 = k2 = −3 . Оскільки корені

рівняння має вигляд:

y = C e −3 x + C

2

xe−3 x , або

y = (C + C

2

x)e −3 x . Тепер знайдемо

1

1

частинне рішення неоднорідного рівняння у вигляді:

yч

= A sin 3x + B cos 3x . Тоді:

y′ = 3A cos 3x − 3B sin 3x ,

y′′ = −9 A sin 3x − 9B cos 3x .

Підставимо

y

ч

,

y′ ,

y′′ в дане

ч

ч

ч

ч

рівняння:

− 9 Asin 3x − 9B cos 3x + 6(3A cos 3x − 3B sin 3x) + 9( A sin 3x + B cos 3x) = 2 sin 3x .

Методом невизначених коефіцієнтів знаходимо: A = 0 ,

B = −

1

.

Таким чином

9

частинне

рішення неоднорідного

рівняння

yч = −

1

cos 3x .

Загальне рішення

9

даного рівняння має вигляд:

y = (C + C

x)e −3 x −

1

cos 3x .

2

1

9

66.

Тіло рухається прямолінійно за законом

S = 9t − t 3 .

Знайти

середню

швидкість руху за проміжок часу від t = 1 до t = 1 +

t, якщо

t = 0,1; 0,5;

1.

67.

Тіло рухається по прямій так, що його відстань S від початкового пункту

Диференціали

69. Знайти

приріст

y та

диференціал

dy функції

y = x 2 + 4x − 1

при

x = 5 і

x = 0,01;

70.

Дана

функція

y =

1

x 3 + x 2 + x +

2

. Обчислити

наближено y

при

зміні

3

3

аргументу від x0

= 1 до x1 = 1,03 та величину функції у точці x1 = 1,03 ;

71.

Обчислити диференціал функції y = 3

при x = 8 і

x = 0,03 .

x

72.

Обчислити диференціал функції y = ctgx при x =

π

і x = −

π

.

4

360

73.

Обчислити наближено arctg1,03 .

74.

Користуючись наближеною рівністю

y ≈ dy :

а ) обчислити приріст функції y = x 2 − 3x , що відповідає зміні аргументу від

x0 = 2 до x1 = 2,02 ; знайти потім точну величину

y та обчислити абсолютну і

відносну похибки;

б) те ж саме при зміні x від x0

= 3 до x1 = 3,01 ;

в ) те ж саме при зміні x від x0

= 10 до x1 = 10,1.

а)

y = x 3 − 6x 2 + 2x + 10; б)

y = x 4

− 6x 2 + 2;

в)

y = e − x

2

; г)

y =

x

;

x 2

+ 1

д)

y = arctgx; е)

y = x 3e −3 x .

85. Побудувати графіки функцій:

а) y =

1

x 3 − 2x 2 + 3x − 1; б) y =

x

3

; в) y =

1

; г)

− x2

y = xe 2 ;

x 2

3

x 2 − 4

− 1

д) y = x −

8

; е) y =

x 4 + 1

; є) y = x 4 − 2x 2 + 2; ж) y =

1

;

x 4

x 2

x

2 − 3x + 2

x

при − 4 ≤ x < 0;

x

при 0 < x < 1;

з)

y = 2 cos 3x; и)

x

2

при

0 ≤ x < 1;

і)

2

при 1 ≤ x ≤ 4;

y =

y = x

+ 3 при 1 ≤ x ≤ 2;

− x

при 4 < x < ∞;

− 2x

2

а) z = x 2 + y 2 ; б) z = x 2 − y ; в) z = x 2 − y 2 ; г) z = xy .

88.

Знайти частинні похідні

∂z

і

∂z

від функцій:

∂x

∂y

x

x − y

а)

z = x 2 − y + 1;

б) z =

; в)

z =

x 2 − y 2 ; г) z =

; д) z = sin(3x − 2 y);

y

x

2

+ y 2

е)

z = e − xy 2

;

є)

z = (3x 2 y 2

− 1)4 ;

ж)

z = ln(x 3 − cos y);

з)

z = arcsin(x

); и) z = ln tg

y

;

y

x

і) z = arctg

x + y

.

1 − xy

89. Знайти повні диференціали функцій:

y

−

x

x

а) z =

; б)

z = x 3 + y 3 − 3axy; в) z = cos(xy); г) z = e

д) z = arcsin

.

y ;

x

y

90.

Знайти

величину

повного

диференціала

функції

z = x 2 − y 2

при

x = 3, y = 2,

x = 0,02, y = −0.01.

59

Знайти

величину

повного

диференціала

функції

при

91.

z = x 2 + y − 1;

x = 3, y = 1, x = 0,03, y = 0.02 .

92.

Обчислити наближено вираз 3 (1,02)2 + (0,05)2

,

виходячи зі значення функції

z = 3 x 2 + y 2 при

x = 1, y = 0.

Обчислити

наближено

вираз

виходячи

зі

значення

93.

3

5e0,02

+ (2,03)2 ,

при

z =

5e x + y 2

x = 0, y = 2.

94.

z = y ln x . Знайти

∂2 z

,

∂ 2 z

,

∂ 2 z

.

∂x2

∂x∂y

∂y 2

95.

z = x 2 y 3 .

Знайти d 2 z .

96.

Знайти похідну функції

u = x 2 + y 2

− 3x + 2 y

у точці

M (0; 0; 0) у напрямі,

що йде від цієї точки до точки M (3; 4; 0).

97.

Знайти швидкість зміни функції

u = xyz у точці M (5; 1; − 8) у напрямі, що йде

від цієї точки до точки P(9; 4; 4).