Matem_Lisitsya_2
.pdf31
VI. Методом найменших квадратів знайти параметри лінійної залежності y = ax + b , якщо змінні задано таблицею:
х |
0,5 |
2,0 |
3,5 |
5,0 |
6,5 |
8,0 |
9,5 |
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у |
12,0 |
22,0 |
31,0 |
35,0 |
44,0 |
49,0 |
61,0 |
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Складаємо систему нормальних рівнянь для пошуку коефіцієнтів лінійної залежності (див. теоретичну частину):
n |
n |
n |
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(∑xi2 )a + (∑xi )b = ∑xi |
yi , |
238a + 35b = 1591, |
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i =1 |
i =1 |
i =1 |
, |
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||||
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n |
n |
або |
35a + 7b = 254. |
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|||
(∑xi )a + |
nb = ∑ yi |
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|||||
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||||
|
i =1 |
i =1 |
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Знаходимо |
рішення |
останньої |
системи рівнянь: a = |
107 |
, |
b = |
227 |
. Таким |
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21 |
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21 |
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||
чином, шукана лінійна |
залежність має рівняння: y = |
107 |
x + |
227 |
, або |
||||||||
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||||||||||||
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21 |
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21 |
|
107 x − 21y + 227 = 0 .
32
МОДУЛЬ 4
Програма модуля 4
1.Первісна та невизначений інтеграл. Властивості невизначеного інтегралу. Найпростіші невизначені інтеграли. Основні методи інтегрування. Інтегрування деяких класів функцій.
2.Визначений інтеграл та його властивості. Формула Ньютона-Лейбніца. Невласні інтеграли.
3.Геометричні та фізичні застосування визначеного інтегралу.
4.Комплексна площина. Дії з комплексними числами.
5.Основні поняття теорії звичайних диференціальних рівнянь. Диференціальні рівняння першого порядку, деякі інтегровні типи диференціальних рівнянь.
6.Диференціальні рівняння вищих порядків. Випадки пониження
порядку.
7.Лінійні диференціальні рівняння. Принцип суперпозиції.
8.Лінійні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами.
Зразки варіантів контрольної роботи
Варіант №1
1.Обчислити площу фігури, що обмежена лініями y = x 2 і y = −5x 2 + 6 .
2.Визначити об’єм тіла, утвореного обертанням фігури, що обмежена
лініями y 2 = x і 8 y = x 2 , навколо осі ОХ.
∞
3. Обчислити невласний інтеграл або встановити його розбіжність: ∫ lnxx dx .
2
33
Варіант №2
1.Обчислити площу фігури, що обмежена лініями y = x 2 + 4x і y = x + 4 .
2.Визначити об’єм тіла, утвореного обертанням фігури, що обмежена
лініями y = 1 x 2 і y = 1 x 3 , навколо осі ОХ.
4 |
8 |
3. Обчислити |
невласний інтеграл або встановити його розбіжність: |
∞ |
|
∫xe− x2 dx . |
|
0
Варіант №3
1.Обчислити площу фігури, що обмежена лініями y = 9 − x 2 і y = 2x + 1 .
2.Визначити об’єм тіла, утвореного обертанням фігури, що обмежена
лініями xy = 4, x = 1, x = 4, y = 0 , навколо осі ОХ.
∞
3. Обчислити невласний інтеграл або встановити його розбіжність: ∫e −2 x dx .
0
Варіант №4
1.Обчислити площу фігури, що обмежена лініями xy = 3 і x + y = 4 .
2.Визначити об’єм тіла, утвореного обертанням фігури, що обмежена лініями y = x 3 , x = 2, y = 0 , навколо осі ОХ.
∞ |
|
dx |
|
3. Обчислити невласний інтеграл або встановити його розбіжність: ∫ |
|
. |
|
|
2 |
||
4 |
x |
+ 16 |
|
|
|
|
34
Варіант №5
1. Обчислити площу фігури, що обмежена лініями y = 2x 2 + 2x і
y= −4x 2 + 2x + 6 .
2.Визначити об’єм тіла, утвореного обертанням фігури, що обмежена лініями y 2 = 4x і 32 y = x 2 , навколо осі ОХ.
3.Обчислити невласний інтеграл або встановити його розбіжність:
1 |
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2 |
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dx |
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|
. |
||
|
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||
∫ x ln x |
||||
|
||||
0 |
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Індивідуальне завдання
I. |
Обчислити невизначені інтеграли: |
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∫(x + 1) 2 cos xdx ; |
∫ |
x 5 − 2x 4 + 3x − 6 |
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∫ |
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x + 2 |
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|
dx ; ∫sin 3 x cos 2 xdx . |
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1. |
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dx ; |
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x |
2 |
+ 9 |
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|
x |
2 |
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+ 3x + 9 |
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|||||||||||||||||
2. |
∫(2x − 3) sin 2xdx ; ∫ |
|
3x 5 + 2x |
4 + x 3 + 7 |
dx ; |
|
∫ |
|
|
|
|
|
2x − 2 |
|
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|
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|
dx ; ∫sin 2 x cos 4 xdx . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
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x |
2 |
− 64 |
|
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||||||||||||||||||||||||||
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x |
2 |
− 4x |
− 9 |
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3. |
∫ x 2 e x dx ; ∫ |
2x 5 |
+ 2x 4 − 5x − 6 |
dx ; |
∫ |
|
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|
4x − 3 |
|
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|
|
dx ; ∫sin 2 2x cos 2 2xdx . |
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x |
2 |
− 9 |
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− x |
2 |
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+ 4x + 9 |
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3x 5 |
+ 2x3 + 3x 2 − 6 |
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|
2 |
x + 2 |
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4. |
∫(3x + 2)e 2 x dx ; ∫ |
dx |
; |
∫ |
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|
3 |
|
|
dx ; ∫sin 2 x cos3 xdx . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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x |
2 |
+ 9 |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||
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x |
2 |
|
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|
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+ 3x + 7 |
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||||||||||||||||||||
5. ∫ x 3 ln xdx ; ∫ |
3x |
5 |
+ 3x |
4 |
|
+ |
2x |
3 |
− 6x |
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
x + 2 |
|
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|
dx ; ∫sin 2 3x cos 2 3xdx . |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
2 |
|
− 4 |
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
x |
2 |
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
|
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+ 3x + 9 |
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|
|
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||||||||||||||||||
|
∫ x |
2 |
ln 2xdx ; ∫ |
x5 − 2x 3 + 3x 2 − 6x |
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
− 3 x + 2 |
|
|
|
|
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|
dx ; ∫sin |
3 |
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||
6. |
|
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|
dx ; |
|
|
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|
|
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|
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|
x cos |
|
xdx . |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
x 2 + 4 |
|
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
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|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
− x 2 |
− x + 10 |
|
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|
35
|
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|
|
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|
|
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|
|
|
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|
|
− |
3 |
x + 2 |
|
|
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|
|
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|
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|
|
|
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|
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|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
2x 4 + 3x |
3 − 6 |
|
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|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∫arcsin 2xdx ; ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ; ∫sin |
|
x cos |
|
xdx . |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
2 |
− 25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x |
|
|
|
|
|
+ 8x − 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
8. |
∫arctg3xdx ; |
|
∫ |
|
3x 4 + 3x − 6 |
; |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ; ∫sin 2 3x cos 2 3xdx . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
2 |
+ 25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
+ 3x + 9 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x5 + x3 − 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
∫ x |
3 |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫sin |
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9. |
|
sin xdx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
|
|
|
x cos |
|
xdx . |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
2 |
− 16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− x |
2 |
|
+ 4x |
+ 9 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
10. |
∫ x 2 cos 3xdx ; |
|
|
∫ |
|
x 5 + 3x |
2 + 6 |
|
dx ; |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− x + 7 |
|
|
|
|
dx ; |
∫sin 3 x cos 2 xdx . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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x |
2 |
|
+ 16 |
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2 |
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− 2x |
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|
+ 4x + 9 |
|
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|
|
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|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11. |
∫ln(x 2 + 1)dx ; |
∫ |
|
|
2x 5 + 3x3 − 6 |
dx ; |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
x + 2 |
|
dx ; ∫sin 3 2x cos3 2xdx . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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x |
2 |
+ 49 |
|
|
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|
x |
|
2 |
|
+ 3x + 9 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|||||||||||||||||||||||||||
12. |
∫ln(2x + 1)dx ; |
∫ |
|
|
3x 5 + 2x 2 − 6x |
|
|
|
|
; |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 3x + 2 |
|
dx ; ∫sin 2 3x cos 2 3xdx . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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dx |
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x |
2 |
|
− 49 |
|
|
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|
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|
− 3x |
2 |
|
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|
+ 6x + 9 |
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|
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|
|
∫ x 2 e2 x dx ; |
∫ |
2x 5 + 3x 4 − 6 |
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; ∫sin 3 x cos 2 xdx . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
13. |
|
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|
dx ; |
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|
dx |
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|
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x |
2 |
− 64 |
|
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|
|
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|
|
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|
|
x |
2 |
+ 3x |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
− 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∫ x 3 e x dx ; ∫ |
|
2x 4 |
|
+ 3x 3 + 6 |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
− x + 2 |
|
|
|
|
dx ; ∫sin 2 4x cos 2 4xdx . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
14. |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
dx ; |
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
x |
2 |
+ 64 |
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
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|
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|
|
|
|
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|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 3x − 9 |
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
15. |
∫arccos 3xdx ; |
∫ |
|
− 3x 5 + 2x 2 + 6 |
|
|
|
|
; |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 2 |
|
|
|
|
|
dx ; |
∫sin 3 x cos 2 xdx . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
dx |
|
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|
|
|
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|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
x |
2 |
|
+ 16 |
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
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|
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|
|
2 |
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
x |
|
|
+ 3x + 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
x 5 + 2x 4 + 3x + 6 |
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
16. |
∫arcctg 2xdx ; |
∫ |
|
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|
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|
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|
|
|
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|
dx ; ∫ |
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ; ∫sin 3 x cos3 xdx . |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
+ 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
+ 3x |
+ 9 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
|
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|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36
17. |
∫(2x + 1) sin xdx ; |
|
∫ |
|
x 5 |
− 2x 4 + 3x − 6 |
dx ; ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
dx ; ∫sin 3 2x cos 2 2xdx . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
− 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− x |
2 |
+ 3x |
+ 9 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∫(x + 2) cos 3xdx ; |
|
|
∫ |
|
x5 |
|
+ 2x 4 + 3x 2 |
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
4x + 2 |
|
|
|
|
|
dx ; ∫sin 3 x cos 4 xdx . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
18. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
− 25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− x |
|
|
− 3x + 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2x 4 + 3x − 6 |
|
|
|
|
x + 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
19. |
∫(x 2 + 1)e x dx ; ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ; ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ; ∫sin 3 3x cos3 3xdx . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
− 16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
− 3x |
+ 4 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
20. |
∫(x + 3) ln 2xdx ; |
∫ |
|
x 5 |
− 2x |
4 + 3x − 6 |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ; ∫sin 3 x cos 2 xdx . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
+ 25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2x |
2 |
|
+ 4x + 9 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
∫(x 3 + 1) ln xdx ; |
∫ |
|
2x 4 |
|
+ 3x 3 − 6 |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫sin 3 3x cos 2 3xdx . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
21. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
+ 16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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2x |
2 |
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+ 6x − 11 |
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22. |
∫(2x 2 + 1) sin xdx ; |
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∫ |
|
2x 5 + 3x3 − 6 |
; |
|
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∫ |
|
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x − 5 |
|
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dx |
; |
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∫sin 3 2x cos3 2xdx . |
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dx |
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x |
2 |
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+ 49 |
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x |
2 |
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+ 3x − 12 |
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23. |
∫(sin 2x + 3)x 2 dx ; |
|
|
∫ |
|
2x 4 + 3x 3 − 6 |
; |
|
|
∫ |
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|
x + 2 |
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dx ; |
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∫sin 3 x cos3 xdx . |
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dx |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
x |
2 |
|
|
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|
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x |
2 |
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− 25 |
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+ 3x + 9 |
|
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− |
3 |
x |
+ 2 |
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|||||||||||||||
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x 5 |
|
− 2x 3 + 3x 2 − 6x |
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25. |
∫(cos 3x + 2)xdx ; |
|
∫ |
|
|
dx |
; |
|
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|
∫ |
|
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|
2 |
|
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|
dx ; |
∫sin |
2 |
3x cos |
2 |
3xdx . |
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|
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x |
2 |
+ 4 |
|
|
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4x |
2 |
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+ 8x − 9 |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||
|
∫(e 2 x + 4)xdx ; ∫ |
2x 5 + 2x 4 − 5x − 6 |
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|
∫ |
|
|
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|
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|
2x − 2 |
|
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∫sin 3 x cos 2 xdx . |
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26. |
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dx ; |
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dx |
; |
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||||||||||||||||||||||
|
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x |
2 |
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|
x |
2 |
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|
|
− 9 |
|
|
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|
− 4x − 9 |
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∫arcsin(x + 2)dx ; |
∫ |
3x 5 + 2x 4 + x 3 + 7 |
|
|
|
|
|
|
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|
∫ |
|
|
|
|
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|
x − 5 |
|
|
|
|
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dx ; ∫sin 2 3x cos3 3xdx . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
27. |
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dx ; |
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||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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x |
2 |
− 64 |
|
|
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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|
x |
2 |
|
+ 3x |
− 12 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
28. |
∫arctg (2x − 1)dx ; |
|
|
∫ |
|
4x 5 + 3x |
3 + 6 |
dx ; ∫ |
|
|
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|
x − 5 |
|
|
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|
|
|
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|
dx ; |
|
|
∫sin 3 3x cos 2 3xdx . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
2 |
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
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|
x |
|
|
− 25 |
|
|
|
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|
x |
|
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+ 3x − 12 |
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x5 + x3 − 6 |
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− x + 7 |
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29. |
∫ln(4x + 1)xdx ; ∫ |
|
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dx ; ∫ |
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dx |
; ∫sin 3 2x cos3 2xdx . |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
x |
2 |
− 16 |
|
|
|
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|
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|
|
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|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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− |
2x |
2 |
|
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+ 4x + 9 |
|
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1 |
x + 2 |
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
2x 5 |
|
+ 3x3 − 6 |
|
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|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∫(ln 2x − 6)xdx ; |
∫ |
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
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|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫sin |
2 |
|
4 |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
30. |
|
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|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
dx ; |
|
|
|
x cos |
|
xdx . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
x |
2 |
+ 49 |
|
|
|
|
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|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
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|
− x |
2 |
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|
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+ 4x + 9 |
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II. Знайти визначені інтеграли:
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8 |
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1. |
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∫( |
2x |
+ 3 |
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x |
)dx ; |
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0 |
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8 |
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1 |
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2. |
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∫ |
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dx ; |
||||||||
|
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|
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|||||||||||
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|
|
|
|
2 |
+ 1 |
||||||||||||||||
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0 |
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|
x |
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|||||||
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3 |
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1 |
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|||
3. |
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∫ |
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|
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|
|
|
|
dx ; |
|||||
|
|
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|||||||
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||||||||
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25 − x |
2 |
|||||||||||||||||||
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0 |
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|||||||||
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6 |
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4. |
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∫ |
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x − 2dx ; |
|||||||||||||||||
|
2 |
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−3 |
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1 |
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|||||||
5. |
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∫ |
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dx ; |
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|||||||
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||||||||
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|
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|
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|
|
|
||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
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|
25 + 3x |
||||||||||||||
|
|
−3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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6. |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||
x |
2 |
|
|
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|||||||||||||||||
|
−2 |
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− 1 |
|
|
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|||||||||||
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|
|
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||||||
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|||
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|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21
7.∫ dx ;
0 1 − x 2
π
4
∫ dx .
0 1 + x + 1
5
dx
∫0 2 + 3x + 1 .
4
∫ dx .
0 1 + x
9
∫ dx .
4 x + 1
ln 3
dx
ln∫2 e x − e − x .
5 |
|
xdx |
|
|
∫ |
|
|
. |
|
|
|
|
||
|
||||
1 |
|
3x + 1 |
4
∫ xdx .
0 1 + x
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
8. |
∫tgxdx ; |
∫x |
|
x − 1dx . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
− |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
9. ∫ |
sin(ln x) |
dx ; |
|
|
∫ |
|
|
|
xdx |
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
4x + 5 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
e x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
10. ∫ctgxdx ; |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1 |
+ e |
2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
dx |
|
|
||||||||
11. |
|
|
|
∫( |
|
5x + 3 |
|
25x )dx ; |
∫ |
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
x + 1 − 2 |
|||||||||||
|
10 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|||||||||||
12. |
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
dx ; |
|
∫ |
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
2 |
− 1 |
|
6 − 2x + 1 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
37
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
16. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
− 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 + 3x + 2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xdx |
|
|
||||||||||||||||||
17. |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
4 − x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + 2x + 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
18. |
|
∫tg 2xdx ; |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3e |
x |
+ e |
− x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
3xdx |
|
|
||||||||||||||||
19. |
|
∫ |
cos(ln x) |
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 − |
|
|
2x + 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|||||||||||||
20. |
|
|
∫ctg 2xdx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 + |
|
|
5x + 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|||||||||||
21. |
∫(4 |
|
2x + 3 |
|
|
|
|
x )dx ; |
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
6 − |
|
|
3x + 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
22. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; ∫tg 2xdx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x − 3 + 1 |
|
− |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||
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||||||||
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
e |
x |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
23. |
∫ |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
5x − 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 9 + e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
||||||||||||
24. |
|
|
∫(3 |
|
|
25x + 4 |
|
5x )dx ; |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
3x − 1 + 2 |
|||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
sin(2(ln x)) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
25. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
dx . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 9 |
+ |
|
|
4x + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26. |
∫x 2 |
|
|
|
2x + 1dx ; |
|
|
|
|
|
∫ctg 2xdx . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
27. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
∫tg 3xdx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
3x + 1 − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12
38
|
8 |
1 |
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
xdx |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
ln 3 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|||||||||
13. |
∫ |
|
|
|
|
dx ; |
|
∫ |
|
|
|
|
|
. |
28. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x |
− e |
− 2 x |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
100 − x |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
2x + 1 − 2 |
|
|
0 |
1 |
+ 3x − 4 |
ln 2 e |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 3 |
|
|
dx |
|
|
|||||||||||
14. |
∫ |
|
2x − 1dx ; |
∫ |
|
|
. |
|
|
29. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
2 x |
+ e |
−2 x |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
100 − |
4x |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
x + 1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
15. |
∫ |
|
|
dx ; |
|
∫ |
|
|
|
. |
|
30. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
∫tg3xdx . |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
− x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
16 + 3x |
|
|
|
|
|
|
2x + 7 − 5 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
ln 2 |
e |
|
|
+ e |
|
|
8 |
|
|
|
|
− |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
III. Зробити рисунок та знайти площі фігур, обмежених даними кривими:
1. |
y = 2x − x 2 та y = −x . |
||
2. |
y = 4x 2 та 4 y 2 = x . |
||
3. |
y = 2x − x 2 та y = x − 2 . |
||
4. |
y = |
1 |
, y = x , x = 3 та віссю ОХ. |
|
|||
|
|
x |
|
5. |
y = 4 − x 2 та y = − x − 2 . |
6.y 3 = x , прямою у=1 та прямою х=8.
7.y = tgx , прямою x = π та віссю ОХ.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|||
8. y = x 2 та y = 3 − 2x . |
||||||||||||||
9. y = x 2 , y = |
1 |
x 2 та y = 2x . |
||||||||||||
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
10. |
y = |
1 |
x 2 , |
y = 4 − |
2 |
x 2 . |
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||
11. |
y = |
|
1 |
, y = |
1 |
x 2 . |
||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
1 + x 2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
12. |
y = e x , y = e − x |
та прямою х=1. |
||||||||||||
13. |
y = x 2 |
− 2x та y = x . |
||||||||||||
14. |
y = ctgx , |
x = |
π |
|
|
|
та віссю ОХ. |
|||||||
|
|
|
16. |
y = |
|
|
1 |
|
|
, |
y = |
1 |
|
|
|
x 2 . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
1 + x 2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
17. |
y = 2x − x 2 |
та y = −2x . |
|||||||||||||||||||||
18. |
y = e 2 x , |
y = e −2 x та прямою х=2. |
|||||||||||||||||||||
19. |
y = |
x 2 |
|
, |
y = 9 − |
3 |
x 2 . |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|||||||||
20. |
y = tg 2x , x = |
π |
|
|
та віссю ОХ. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
21. |
y = ctg3x , |
|
x = |
π |
та віссю ОХ. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
22. |
y = 2 + 2x − x 2 |
та y = 2 − x . |
|||||||||||||||||||||
23. |
y = 4x 2 + 1 |
та |
|
|
4( y − 1) 2 = x . |
||||||||||||||||||
24. |
y = 4 + 2x − x 2 та |
y = x + 2 . |
|||||||||||||||||||||
25. |
y = 4 + 2x − x 2 |
|
|
та |
|
y = x − 2 . |
|||||||||||||||||
26. |
y = x 2 − 2x |
та y = 3 − 4x . |
|||||||||||||||||||||
27. |
y = x 2 |
+ 3 , |
y = |
1 |
x 2 + 3 та y = 2x + 3 . |
||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
28. |
y = |
1 |
x 2 |
+ 4 , y = 8 − |
2 |
x 2 . |
|||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||
29. |
y = x 2 |
− 4x |
та y = 3x . |
4
39
15. y = |
1 |
|
, y = x − 1 |
, х=4 |
та віссю ОХ. |
30. y = |
2 |
, |
y = x 2 . |
|
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x − 1 |
1 + x 2 |
|||||||||
|
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IV. Розв’язати диференціальні рівняння:
1. |
а) x − y 2 x + ( y − x 2 y) y′ = 0 ; б) y′ − |
2 y |
|
= x 3e x2 |
, y(1) = e ; в) |
y′′ + 2 y′ + y = 3sin 2x . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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x |
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||
2. |
а) (1 + y)dx − (1 − x)dy = 0 ; б) y′ = |
e 2 x |
|
− |
y |
, |
|
y(1) = e 2 ; в) |
y′′ − 3y′ + 2 y = −4e x . |
|
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x |
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x |
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а) |
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|
б) |
dy |
= |
|
y |
+ x 2 e x2 |
|
|
y(1) = |
1 |
e ; в) |
|
|
|
|
|
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3. |
|
|
y 2 + 1dx = xydy ; |
, |
|
y′′ − y′ = 6x 2 + 3x . |
|
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dx |
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x |
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2 |
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4. |
а) |
xydx + ( x + 1)dy = 0 ; б) xy′ + (x + 1) y = 3x 2 e − x , |
y(1) = e ; в) |
|
y′′ − 4 y′ + 5 y = 2 cos x . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
а) sin x sin ydx + cos x cos ydy = 0 ; б) |
y′ − |
2 y |
= x 3e x2 |
, y(1) = e ; в) y′′ − 2 y′ + y = e x . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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x |
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|
6. |
а) |
|
tgy |
|
dx + |
|
tgx |
|
dy = 0 ; б) |
|
xy′ + y = ln x + 1 , y(1) = 1; в) |
y′′ − 8 y′ + 12 y = −65 cos 4x . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos2 x |
cos 2 |
|
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y |
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7. |
а) |
2xy 2 |
dx |
+ x 2 |
|
= 2 ; б) ( y′ − y)x = e x , y(1) = e ; в) |
y′′ + 4 y = 4 sin x . |
|
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|
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dy |
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||||||||
8. |
а) |
e x cos ydx + (e x |
− 1) sin ydy = 0 ; б) |
y′ − ytgx = sin 2x, |
y(π ) = |
4 |
; в) y′′ + y = cos 2x . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
3 |
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|
9. |
а) |
cos y ln xdx + xtgydy = 0 ; б) 3xy′ = x + 4 y, y(1) = 1; в) |
|
|
y′′ + 4 y′ + 4 y = 5e3 x . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10. |
|
|
|
|
а) |
|
|
|
|
|
|
y 2 dx − (2 yx + 3x)dy = 0 ; |
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
y′ = |
|
|
y |
|
+ x 2 + 4x + 5 , |
y(−1) = 0 ; |
|||||||||||||||||||||||||||
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|
x + 2 |
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||
в) y′′ − 8 y′ + 20 y = 20x 2 + 4x + 14 . |
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11. |
а) |
|
x − y 2 x + ( y − x 2 y) y ' = 0 ; |
б) x 2 y′ + xy + 1 = 0 , y(1) = 2 ; |
в) y′′ − y′ = 6x 2 |
+ 3x . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
12. |
а) (1 + y)dx − (1 − x)dy = 0 ; б) |
|
xy′ + (x + 1) y = 3x 2 e − x , y(1) = e ; в) y′′ − 4 y′ + 5 y = 2 cos x . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) y′ − |
2 y |
= x 3 e x2 |
|
|
|
|
в) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
13. |
|
|
y 2 |
+ 1dx = xydy ; |
, |
|
y(1) = e ; |
y′′ − 2 y′ + y = e x . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
x |
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|||||
14. |
а) |
|
xydx + ( x + 1)dy = 0 ; б) xy′ + y = ln x + 1 , |
y(1) = 1; в) |
y′′ + 4 y′ = 8e 4 x . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
|
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|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
15. |
а) sin x sin ydx + cos x cos ydy = 0 ; б) |
xy′ + x 2 y = x 3e − |
|
x |
|
|
, y(0) = 1; в) y′′ + 4 y = 4 sin x . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
16. |
а) |
|
|
tgy |
|
|
|
dx + |
|
tgx |
|
dy = 0 ; |
|
б) ( y′ − y)x = e x , |
y(1) = e ; в) |
|
y′′ − y = 2e x . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
cos2 |
|
|
|
|
cos 2 y |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
17. |
а) 2xy 2 |
|
dx |
+ x 2 = 2 ; б) y′ − ytgx = sin 2x, |
y(π ) = |
4 |
; в) |
y′′ + 4 y′ + 4 y = 5e3 x . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
dy |
3 |
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
40 |
18. |
|
|
|
а) |
|
e x cos ydx + (e x − 1) sin ydy = 0 ; |
|
б) |
|
|
y′ − |
2 y |
= x 2 e x , |
y(1) = e ; |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
||
в) y′′ − 8 y′ + 20 y = 20x 2 + 4x + 14 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
19. |
а) cos y ln xdx + xtgydy = 0 ; |
б) 3xy′ = x + 4 y, |
y(1) = 1; в) y′′ + 2 y′ + y = 3sin 2x . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
20. |
а) |
|
y 2 dx − (2 yx + 3x)dy = 0 ; |
б) |
y′ − |
2 y |
|
= x 3e x2 |
, y(1) = e ; в) |
y′′ − 3y′ + 2 y = −4e x . |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
21. |
а) |
2xy 2 |
|
dx |
+ x 2 = 2 ; |
б) |
xy′ + y = ln x + 1 , |
y(1) = 1; в) y′′ − y′ = 6x 2 |
+ 3x . |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
|
dy |
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
22. |
а) |
|
x − y 2 x + ( y − x 2 y) y ' |
= 0 ; |
б) |
xy′ + (x + 1) y = 3x 2 e − x , |
y(1) = e ; в) |
y′′ − 2 y′ + y = e x . |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
1 |
x 2 |
|
|
|
||
23. |
|
|
|
|
а) (1 + y)dx − (1 − x)dy = 0 ; |
б) |
|
xy′ + x 2 y = x 3 e − |
|
, |
|
y(0) = 1; |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
в) y′′ − 8 y′ + 20 y = 20x 2 + 4x + 14 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) x 2 y′ + xy + 1 = 0 , |
|
в) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
24. |
|
|
y 2 |
+ 1dx = xydy ; |
y(1) = 2 ; |
y′′ − 4 y′ + 5 y = 2 cos x . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
25. |
а) |
|
xydx + ( x + 1)dy = 0 ; |
б) ( y′ − y)x = e x , |
y(1) = e ; |
в) |
y′′ + 4 y′ = 8e 4 x . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
26. |
а) e x cos ydx + (e x − 1) sin ydy = 0 ; б) y′ − ytgx = sin 2x, |
y(π ) = |
4 |
; в) y′′ − y = 2e x . |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27. |
а) |
|
|
tgy |
|
|
dx + |
|
tgx |
|
dy = 0 ; |
б) 3xy′ = x + 4 y, |
y(1) = 1; в) y′′ + 2 y′ + y = 3sin 2x . |
|
||||||||||||||||||||||
|
cos2 |
|
|
|
cos 2 y |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
28. |
а) |
|
y 2 dx − (2 yx + 3x)dy = 0 ; |
б) |
xy′ + (x + 1) y = 3x 2 e − x , y(1) = e ; в) |
y′′ − y′ = 6x 2 + 3x . |
||||||||||||||||||||||||||||||
29. |
а) cos y ln xdx + xtgydy = 0 ; |
б) |
y′ − |
2 y |
= x 3 e x2 |
, y(1) = e ; в) |
y′′ − 3y′ + 2 y = −4e x . |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
30. |
а) |
2xy 2 |
|
+ x 2 = 2 ; |
б) |
xy′ + x 2 y = x 3 e − |
|
, y(0) = 1; в) y′′ − 2 y′ + y = e x . |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||
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Необхідні теоретичні відомості |
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Первісна та невизначений інтеграл |
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|
|
Функція |
F ( x) називається первісною від функції f ( x) на відрізку [a, b], |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
якщо в усіх точках цього відрізка виконується рівність F ′( x) = f ( x) . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
У курсі математичного аналізу доводиться, |
що коли дві функції F1 (x) та |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
F2 (x) |
є первісні функції |
f ( x) , то F1 (x) = F2 (x) + C , де C – довільна стала величина. |