Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Matem_Lisitsya_2

.pdf
Скачиваний:
4
Добавлен:
13.03.2016
Размер:
624.21 Кб
Скачать

31

VI. Методом найменших квадратів знайти параметри лінійної залежності y = ax + b , якщо змінні задано таблицею:

х

0,5

2,0

3,5

5,0

6,5

8,0

9,5

 

 

 

 

 

 

 

 

у

12,0

22,0

31,0

35,0

44,0

49,0

61,0

 

 

 

 

 

 

 

 

Складаємо систему нормальних рівнянь для пошуку коефіцієнтів лінійної залежності (див. теоретичну частину):

n

n

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(xi2 )a + (xi )b = xi

yi ,

238a + 35b = 1591,

 

 

 

 

 

 

i =1

i =1

i =1

,

 

 

 

 

 

 

 

n

n

або

35a + 7b = 254.

 

 

 

 

 

 

(xi )a +

nb = yi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i =1

i =1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Знаходимо

рішення

останньої

системи рівнянь: a =

107

,

b =

227

. Таким

 

 

 

 

 

 

 

 

21

 

 

 

21

 

 

чином, шукана лінійна

залежність має рівняння: y =

107

x +

227

, або

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21

 

21

 

107 x − 21y + 227 = 0 .

32

МОДУЛЬ 4

Програма модуля 4

1.Первісна та невизначений інтеграл. Властивості невизначеного інтегралу. Найпростіші невизначені інтеграли. Основні методи інтегрування. Інтегрування деяких класів функцій.

2.Визначений інтеграл та його властивості. Формула Ньютона-Лейбніца. Невласні інтеграли.

3.Геометричні та фізичні застосування визначеного інтегралу.

4.Комплексна площина. Дії з комплексними числами.

5.Основні поняття теорії звичайних диференціальних рівнянь. Диференціальні рівняння першого порядку, деякі інтегровні типи диференціальних рівнянь.

6.Диференціальні рівняння вищих порядків. Випадки пониження

порядку.

7.Лінійні диференціальні рівняння. Принцип суперпозиції.

8.Лінійні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами.

Зразки варіантів контрольної роботи

Варіант №1

1.Обчислити площу фігури, що обмежена лініями y = x 2 і y = −5x 2 + 6 .

2.Визначити об’єм тіла, утвореного обертанням фігури, що обмежена

лініями y 2 = x і 8 y = x 2 , навколо осі ОХ.

3. Обчислити невласний інтеграл або встановити його розбіжність: lnxx dx .

2

33

Варіант №2

1.Обчислити площу фігури, що обмежена лініями y = x 2 + 4x і y = x + 4 .

2.Визначити об’єм тіла, утвореного обертанням фігури, що обмежена

лініями y = 1 x 2 і y = 1 x 3 , навколо осі ОХ.

4

8

3. Обчислити

невласний інтеграл або встановити його розбіжність:

 

xex2 dx .

 

0

Варіант №3

1.Обчислити площу фігури, що обмежена лініями y = 9 − x 2 і y = 2x + 1 .

2.Визначити об’єм тіла, утвореного обертанням фігури, що обмежена

лініями xy = 4, x = 1, x = 4, y = 0 , навколо осі ОХ.

3. Обчислити невласний інтеграл або встановити його розбіжність: e −2 x dx .

0

Варіант №4

1.Обчислити площу фігури, що обмежена лініями xy = 3 і x + y = 4 .

2.Визначити об’єм тіла, утвореного обертанням фігури, що обмежена лініями y = x 3 , x = 2, y = 0 , навколо осі ОХ.

 

dx

 

3. Обчислити невласний інтеграл або встановити його розбіжність:

 

.

 

2

4

x

+ 16

 

 

 

 

34

Варіант №5

1. Обчислити площу фігури, що обмежена лініями y = 2x 2 + 2x і

y= −4x 2 + 2x + 6 .

2.Визначити об’єм тіла, утвореного обертанням фігури, що обмежена лініями y 2 = 4x і 32 y = x 2 , навколо осі ОХ.

3.Обчислити невласний інтеграл або встановити його розбіжність:

1

 

 

 

2

 

dx

 

 

 

.

 

 

 

x ln x

 

0

 

 

 

Індивідуальне завдання

I.

Обчислити невизначені інтеграли:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x + 1) 2 cos xdx ;

x 5 − 2x 4 + 3x − 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x + 2

 

 

 

 

dx ; sin 3 x cos 2 xdx .

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

+ 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 3x + 9

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

(2x − 3) sin 2xdx ;

 

3x 5 + 2x

4 + x 3 + 7

dx ;

 

 

 

 

 

 

2x − 2

 

 

 

 

 

 

 

 

dx ; sin 2 x cos 4 xdx .

 

 

 

 

x

2

− 64

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

− 4x

− 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

x 2 e x dx ;

2x 5

+ 2x 4 − 5x − 6

dx ;

 

 

 

 

4x − 3

 

 

 

 

 

 

dx ; sin 2 2x cos 2 2xdx .

 

 

 

 

x

2

− 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 4x + 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x 5

+ 2x3 + 3x 2 − 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

x + 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

(3x + 2)e 2 x dx ;

dx

;

 

 

 

 

 

3

 

 

dx ; sin 2 x cos3 xdx .

 

 

 

 

 

x

2

+ 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 3x + 7

 

 

 

 

 

 

 

 

5. x 3 ln xdx ;

3x

5

+ 3x

4

 

+

2x

3

− 6x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x + 2

 

 

 

 

 

 

dx ; sin 2 3x cos 2 3xdx .

 

 

 

 

 

dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

− 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 3x + 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

ln 2xdx ;

x5 − 2x 3 + 3x 2 − 6x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

− 3 x + 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx ; sin

3

 

2

 

6.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x cos

 

xdx .

 

 

 

 

 

 

 

x 2 + 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

x + 10

 

 

 

 

35

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

x + 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x 4 + 3x

3 − 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arcsin 2xdx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

3

 

7.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx ; sin

 

x cos

 

xdx .

 

 

 

 

x

2

− 25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4x

 

 

 

 

 

+ 8x − 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.

arctg3xdx ;

 

 

3x 4 + 3x − 6

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x + 2

 

 

 

 

 

 

 

 

dx ; sin 2 3x cos 2 3xdx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

+ 25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

+ 3x + 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

x + 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x5 + x3 − 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

3

 

 

 

3

 

 

 

9.

 

sin xdx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx ;

 

 

 

x cos

 

xdx .

 

 

 

 

x

2

− 16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

+ 4x

+ 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10.

x 2 cos 3xdx ;

 

 

 

x 5 + 3x

2 + 6

 

dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x + 7

 

 

 

 

dx ;

sin 3 x cos 2 xdx .

 

 

 

 

 

x

2

 

+ 16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

− 2x

 

 

+ 4x + 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11.

ln(x 2 + 1)dx ;

 

 

2x 5 + 3x3 − 6

dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x + 2

 

dx ; sin 3 2x cos3 2xdx .

 

 

 

 

x

2

+ 49

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

2

 

+ 3x + 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12.

ln(2x + 1)dx ;

 

 

3x 5 + 2x 2 − 6x

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

− 3x + 2

 

dx ; sin 2 3x cos 2 3xdx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

− 49

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

− 3x

2

 

 

 

 

+ 6x + 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2 e2 x dx ;

2x 5 + 3x 4 − 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x − 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

; sin 3 x cos 2 xdx .

13.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

x

2

− 64

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

+ 3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

− 12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 3 e x dx ;

 

2x 4

 

+ 3x 3 + 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x + 2

 

 

 

 

dx ; sin 2 4x cos 2 4xdx .

14.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

+ 64

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 3x − 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15.

arccos 3xdx ;

 

− 3x 5 + 2x 2 + 6

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x + 2

 

 

 

 

 

dx ;

sin 3 x cos 2 xdx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

+ 16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

+ 3x + 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 5 + 2x 4 + 3x + 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x + 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16.

arcctg 2xdx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx ; sin 3 x cos3 xdx .

 

 

 

 

 

 

 

x

2

+ 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

+ 3x

+ 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

36

17.

(2x + 1) sin xdx ;

 

 

x 5

− 2x 4 + 3x − 6

dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x − 2

 

 

 

 

 

 

 

dx ; sin 3 2x cos 2 2xdx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

− 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

+ 3x

+ 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x + 2) cos 3xdx ;

 

 

 

x5

 

+ 2x 4 + 3x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4x + 2

 

 

 

 

 

dx ; sin 3 x cos 4 xdx .

 

18.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

− 25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

− 3x + 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x 4 + 3x − 6

 

 

 

 

x + 12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19.

(x 2 + 1)e x dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx ; sin 3 3x cos3 3xdx .

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

− 16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

− 3x

+ 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20.

(x + 3) ln 2xdx ;

 

x 5

− 2x

4 + 3x − 6

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x + 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx ; sin 3 x cos 2 xdx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

+ 25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

− 2x

2

 

+ 4x + 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x 3 + 1) ln xdx ;

 

2x 4

 

+ 3x 3 − 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x + 12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin 3 3x cos 2 3xdx .

 

 

21.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

+ 16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 6x − 11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22.

(2x 2 + 1) sin xdx ;

 

 

 

2x 5 + 3x3 − 6

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x − 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

;

 

 

sin 3 2x cos3 2xdx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

+ 49

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 3x − 12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23.

(sin 2x + 3)x 2 dx ;

 

 

 

2x 4 + 3x 3 − 6

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x + 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx ;

 

 

sin 3 x cos3 xdx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

− 25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 3x + 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

x

+ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 5

 

− 2x 3 + 3x 2 − 6x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25.

(cos 3x + 2)xdx ;

 

 

 

dx

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

dx ;

sin

2

3x cos

2

3xdx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

+ 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 8x − 9

 

 

 

 

 

 

 

(e 2 x + 4)xdx ;

2x 5 + 2x 4 − 5x − 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x − 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin 3 x cos 2 xdx .

 

 

26.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

− 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

− 4x − 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arcsin(x + 2)dx ;

3x 5 + 2x 4 + x 3 + 7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x − 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx ; sin 2 3x cos3 3xdx .

27.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

− 64

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

+ 3x

− 12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

28.

arctg (2x − 1)dx ;

 

 

 

4x 5 + 3x

3 + 6

dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x − 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx ;

 

 

sin 3 3x cos 2 3xdx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

− 25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

+ 3x − 12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x5 + x3 − 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x + 7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

29.

ln(4x + 1)xdx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

; sin 3 2x cos3 2xdx .

 

 

 

 

 

 

 

x

2

− 16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x

2

 

 

+ 4x + 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

x + 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x 5

 

+ 3x3 − 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(ln 2x − 6)xdx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

2

 

4

 

 

 

30.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx ;

 

 

 

x cos

 

xdx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

+ 49

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 4x + 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II. Знайти визначені інтеграли:

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

 

(

2x

+ 3

 

x

)dx ;

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

+ 1

 

0

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25 − x

2

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

 

 

 

x − 2dx ;

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−3

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

25 + 3x

 

 

−3

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

−2

 

 

 

− 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21

7. dx ;

0 1 − x 2

π

4

dx .

0 1 + x + 1

5

dx

0 2 + 3x + 1 .

4

dx .

0 1 + x

9

dx .

4 x + 1

ln 3

dx

ln2 e x e x .

5

 

xdx

 

 

 

 

.

 

 

 

 

1

 

3x + 1

4

xdx .

0 1 + x

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.

tgxdx ;

x

 

x − 1dx .

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.

sin(ln x)

dx ;

 

 

 

 

 

xdx

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

4x + 5

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

e x dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10. ctgxdx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

+ e

2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15

 

 

dx

 

 

11.

 

 

 

(

 

5x + 3

 

25x )dx ;

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

x + 1 − 2

 

10

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

dx

 

 

12.

 

 

 

 

 

 

 

dx ;

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

− 1

 

6 − 2x + 1

 

 

0

 

 

x

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

37

 

6

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16.

 

 

 

 

 

 

 

 

dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

2

 

− 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

1 + 3x + 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xdx

 

 

17.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 − x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + 2x + 1

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18.

 

tg 2xdx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3e

x

+ e

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

3xdx

 

 

19.

 

cos(ln x)

 

dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 −

 

 

2x + 1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

20.

 

 

ctg 2xdx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 +

 

 

5x + 1

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

21.

(4

 

2x + 3

 

 

 

 

x )dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 −

 

 

3x + 1

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

; tg 2xdx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

x − 3 + 1

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xdx

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

e

x

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23.

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5x − 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 9 + e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

24.

 

 

(3

 

 

25x + 4

 

5x )dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

3x − 1 + 2

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

sin(2(ln x))

 

 

 

 

 

25.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 9

+

 

 

4x + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

26.

x 2

 

 

 

2x + 1dx ;

 

 

 

 

 

ctg 2xdx .

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

tg 3xdx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x + 1 − 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

38

 

8

1

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

xdx

 

 

4

 

 

 

 

 

xdx

 

 

 

 

 

 

ln 3

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

13.

 

 

 

 

dx ;

 

 

 

 

 

 

.

28.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 x

e

− 2 x

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

100 − x

 

 

 

 

 

4

 

 

 

2x + 1 − 2

 

 

0

1

+ 3x − 4

ln 2 e

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

xdx

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln 3

 

 

dx

 

 

14.

 

2x − 1dx ;

 

 

.

 

 

29.

 

 

 

 

 

 

 

dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

2 x

+ e

−2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

100 −

4x

2

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

x + 1

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15.

 

 

dx ;

 

 

 

 

.

 

30.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

tg3xdx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16 + 3x

 

 

 

 

 

 

2x + 7 − 5

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

ln 2

e

 

 

+ e

 

 

8

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

III. Зробити рисунок та знайти площі фігур, обмежених даними кривими:

1.

y = 2x x 2 та y = −x .

2.

y = 4x 2 та 4 y 2 = x .

3.

y = 2x x 2 та y = x − 2 .

4.

y =

1

, y = x , x = 3 та віссю ОХ.

 

 

 

x

5.

y = 4 − x 2 та y = − x − 2 .

6.y 3 = x , прямою у=1 та прямою х=8.

7.y = tgx , прямою x = π та віссю ОХ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

8. y = x 2 та y = 3 − 2x .

9. y = x 2 , y =

1

x 2 та y = 2x .

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

10.

y =

1

x 2 ,

y = 4 −

2

x 2 .

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

3

 

11.

y =

 

1

, y =

1

x 2 .

 

 

 

 

1 + x 2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

12.

y = e x , y = e x

та прямою х=1.

13.

y = x 2

− 2x та y = x .

14.

y = ctgx ,

x =

π

 

 

 

та віссю ОХ.

 

 

 

16.

y =

 

 

1

 

 

,

y =

1

 

 

 

x 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + x 2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

17.

y = 2x x 2

та y = −2x .

18.

y = e 2 x ,

y = e −2 x та прямою х=2.

19.

y =

x 2

 

,

y = 9 −

3

x 2 .

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

20.

y = tg 2x , x =

π

 

 

та віссю ОХ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21.

y = ctg3x ,

 

x =

π

та віссю ОХ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

22.

y = 2 + 2x x 2

та y = 2 − x .

23.

y = 4x 2 + 1

та

 

 

4( y − 1) 2 = x .

24.

y = 4 + 2x x 2 та

y = x + 2 .

25.

y = 4 + 2x x 2

 

 

та

 

y = x − 2 .

26.

y = x 2 − 2x

та y = 3 − 4x .

27.

y = x 2

+ 3 ,

y =

1

x 2 + 3 та y = 2x + 3 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

28.

y =

1

x 2

+ 4 , y = 8 −

2

x 2 .

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

29.

y = x 2

− 4x

та y = 3x .

4

39

15. y =

1

 

, y = x − 1

, х=4

та віссю ОХ.

30. y =

2

,

y = x 2 .

 

 

 

x − 1

1 + x 2

 

 

 

 

 

 

 

IV. Розв’язати диференціальні рівняння:

1.

а) x y 2 x + ( y x 2 y) y′ = 0 ; б) y′ −

2 y

 

= x 3e x2

, y(1) = e ; в)

y′′ + 2 y′ + y = 3sin 2x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

а) (1 + y)dx − (1 − x)dy = 0 ; б) y′ =

e 2 x

 

y

,

 

y(1) = e 2 ; в)

y′′ − 3y′ + 2 y = −4e x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

dy

=

 

y

+ x 2 e x2

 

 

y(1) =

1

e ; в)

 

 

 

 

 

3.

 

 

y 2 + 1dx = xydy ;

,

 

y′′ − y′ = 6x 2 + 3x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

а)

xydx + ( x + 1)dy = 0 ; б) xy′ + (x + 1) y = 3x 2 e x ,

y(1) = e ; в)

 

y′′ − 4 y′ + 5 y = 2 cos x .

5.

а) sin x sin ydx + cos x cos ydy = 0 ; б)

y′ −

2 y

= x 3e x2

, y(1) = e ; в) y′′ − 2 y′ + y = e x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

а)

 

tgy

 

dx +

 

tgx

 

dy = 0 ; б)

 

xy′ + y = ln x + 1 , y(1) = 1; в)

y′′ − 8 y′ + 12 y = −65 cos 4x .

cos2 x

cos 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.

а)

2xy 2

dx

+ x 2

 

= 2 ; б) ( y′ − y)x = e x , y(1) = e ; в)

y′′ + 4 y = 4 sin x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.

а)

e x cos ydx + (e x

− 1) sin ydy = 0 ; б)

y′ − ytgx = sin 2x,

y(π ) =

4

; в) y′′ + y = cos 2x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

9.

а)

cos y ln xdx + xtgydy = 0 ; б) 3xy′ = x + 4 y, y(1) = 1; в)

 

 

y′′ + 4 y′ + 4 y = 5e3 x .

 

10.

 

 

 

 

а)

 

 

 

 

 

 

y 2 dx − (2 yx + 3x)dy = 0 ;

 

 

 

 

б)

 

 

 

 

 

y′ =

 

 

y

 

+ x 2 + 4x + 5 ,

y(−1) = 0 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x + 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в) y′′ − 8 y′ + 20 y = 20x 2 + 4x + 14 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11.

а)

 

x y 2 x + ( y x 2 y) y ' = 0 ;

б) x 2 y′ + xy + 1 = 0 , y(1) = 2 ;

в) y′′ − y′ = 6x 2

+ 3x .

12.

а) (1 + y)dx − (1 − x)dy = 0 ; б)

 

xy′ + (x + 1) y = 3x 2 e x , y(1) = e ; в) y′′ − 4 y′ + 5 y = 2 cos x .

 

а)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) y′ −

2 y

= x 3 e x2

 

 

 

 

в)

 

 

13.

 

 

y 2

+ 1dx = xydy ;

,

 

y(1) = e ;

y′′ − 2 y′ + y = e x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14.

а)

 

xydx + ( x + 1)dy = 0 ; б) xy′ + y = ln x + 1 ,

y(1) = 1; в)

y′′ + 4 y′ = 8e 4 x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

15.

а) sin x sin ydx + cos x cos ydy = 0 ; б)

xy′ + x 2 y = x 3e

 

x

 

 

, y(0) = 1; в) y′′ + 4 y = 4 sin x .

2

 

 

16.

а)

 

 

tgy

 

 

 

dx +

 

tgx

 

dy = 0 ;

 

б) ( y′ − y)x = e x ,

y(1) = e ; в)

 

y′′ − y = 2e x .

 

 

cos2

 

 

 

 

cos 2 y

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17.

а) 2xy 2

 

dx

+ x 2 = 2 ; б) y′ − ytgx = sin 2x,

y(π ) =

4

; в)

y′′ + 4 y′ + 4 y = 5e3 x .

 

 

 

dy

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

40

18.

 

 

 

а)

 

e x cos ydx + (e x − 1) sin ydy = 0 ;

 

б)

 

 

y′ −

2 y

= x 2 e x ,

y(1) = e ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

в) y′′ − 8 y′ + 20 y = 20x 2 + 4x + 14 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19.

а) cos y ln xdx + xtgydy = 0 ;

б) 3xy′ = x + 4 y,

y(1) = 1; в) y′′ + 2 y′ + y = 3sin 2x .

 

20.

а)

 

y 2 dx − (2 yx + 3x)dy = 0 ;

б)

y′ −

2 y

 

= x 3e x2

, y(1) = e ; в)

y′′ − 3y′ + 2 y = −4e x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21.

а)

2xy 2

 

dx

+ x 2 = 2 ;

б)

xy′ + y = ln x + 1 ,

y(1) = 1; в) y′′ − y′ = 6x 2

+ 3x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22.

а)

 

x y 2 x + ( y x 2 y) y '

= 0 ;

б)

xy′ + (x + 1) y = 3x 2 e x ,

y(1) = e ; в)

y′′ − 2 y′ + y = e x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

x 2

 

 

 

23.

 

 

 

 

а) (1 + y)dx − (1 − x)dy = 0 ;

б)

 

xy′ + x 2 y = x 3 e

 

,

 

y(0) = 1;

 

 

 

 

 

2

 

в) y′′ − 8 y′ + 20 y = 20x 2 + 4x + 14 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

 

 

 

 

 

 

 

 

б) x 2 y′ + xy + 1 = 0 ,

 

в)

 

 

 

 

24.

 

 

y 2

+ 1dx = xydy ;

y(1) = 2 ;

y′′ − 4 y′ + 5 y = 2 cos x .

 

25.

а)

 

xydx + ( x + 1)dy = 0 ;

б) ( y′ − y)x = e x ,

y(1) = e ;

в)

y′′ + 4 y′ = 8e 4 x .

 

 

 

26.

а) e x cos ydx + (e x − 1) sin ydy = 0 ; б) y′ − ytgx = sin 2x,

y(π ) =

4

; в) y′′ − y = 2e x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

27.

а)

 

 

tgy

 

 

dx +

 

tgx

 

dy = 0 ;

б) 3xy′ = x + 4 y,

y(1) = 1; в) y′′ + 2 y′ + y = 3sin 2x .

 

 

cos2

 

 

 

cos 2 y

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

28.

а)

 

y 2 dx − (2 yx + 3x)dy = 0 ;

б)

xy′ + (x + 1) y = 3x 2 e x , y(1) = e ; в)

y′′ − y′ = 6x 2 + 3x .

29.

а) cos y ln xdx + xtgydy = 0 ;

б)

y′ −

2 y

= x 3 e x2

, y(1) = e ; в)

y′′ − 3y′ + 2 y = −4e x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

1

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

30.

а)

2xy 2

 

+ x 2 = 2 ;

б)

xy′ + x 2 y = x 3 e

 

, y(0) = 1; в) y′′ − 2 y′ + y = e x .

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Необхідні теоретичні відомості

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Первісна та невизначений інтеграл

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функція

F ( x) називається первісною від функції f ( x) на відрізку [a, b],

якщо в усіх точках цього відрізка виконується рівність F ′( x) = f ( x) .

 

 

 

У курсі математичного аналізу доводиться,

що коли дві функції F1 (x) та

F2 (x)

є первісні функції

f ( x) , то F1 (x) = F2 (x) + C , де C – довільна стала величина.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]