Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Matem_Lisitsya_2

.pdf
Скачиваний:
3
Добавлен:
13.03.2016
Размер:
624.21 Кб
Скачать

41

Якщо функція F ( x) є первісною для для f ( x) , то вираз F ( x) + C , де C –

довільна стала величина, називається невизначеним інтегралом від функції f ( x) і позначається символом f ( x)dx .

Таким чином, за означенням:

f ( x)dx = F ( x) + C , якщо F ′( x) = f ( x) .

При цьому функцію f ( x) називають підінтегральною функцією, f ( x)dx

– підінтегральним виразом, знак – знаком інтеграла.

Таблиця найпростіших інтегралів

1.

xα dx =

 

 

xα +1

 

+ C, α ≠ −1;

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

dx

 

 

 

 

+ C ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ln

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

 

 

 

dx

 

 

=

 

1

arctg

x

 

+ C = −

1

arcctg

x

+ C ,

a ≠ 0

; 4.

 

 

 

 

dx

 

=

1

 

 

+ C, a ≠ 0 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

 

 

 

x 2 + a 2

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

a

a

 

 

a

 

1

 

 

x 2 a 2

 

 

 

 

2a

x + a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

 

 

dx

 

 

=

1

 

 

a + x

 

+ C, a ≠ 0 ;

 

 

 

 

 

 

6. a x dx =

a x

+ C, a > 0 ;

 

 

 

 

 

ln

 

 

 

 

 

 

 

a

2

2

 

 

 

a x

 

 

 

 

 

 

ln a

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

2a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8. e x dx = e x + C ;

7.

 

 

 

 

 

 

= ln

x + x 2 + a

+ C, a ≠ 0 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

+ a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.

 

 

dx

 

 

 

 

 

= arcsin

x

+ C = − arccos

x

+ C ,

 

a ≠ 0 ;

10.

 

sin xdx = − cos x + C ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a 2

x 2

 

 

 

 

a

 

 

a

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11. cos xdx = sin x + C ;

 

 

 

 

 

 

 

 

12.

 

 

dx

 

 

 

= tgx + C ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

13.

 

dx

 

 

 

= −ctgx + C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

2

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Основні правила інтегрування

1. Якщо F ′( x) = f ( x) , то f ( x)dx = F ( x) + C , де С – довільна стала.

2.A f ( x)dx = A f ( x)dx , де А – стала величина.

3.( f1 ( x) ± f 2 ( x))dx = f1 ( x)dx ± f 2 ( x)dx .

4.Якщо f ( x)dx = F ( x) + C та u = ϕ ( x) , то f (ϕ ( x)) ϕ ′( x)dx = f (u)du = F (u) + C .

42

5. Інтегрування частинами. Якщо u = ϕ ( x) та v = ψ ( x) – функції, які мають

похідні, то udv = u v vdu .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Визначений інтеграл

 

 

 

 

 

 

Нехай

на відрізку [a, b] задано неперервну

функцію

f ( x) .

Розіб’ємо

відрізок [a, b] на n частин точками ділення

 

 

 

 

 

 

 

a = x0 , x1 , x2 ,..., xn = b , причому x0 < x1 < x2 < ... < xn , і покладемо, що

 

 

x1 x0 =

x1 , x2 x1 = x2 ,..., xn xn−1 = xn .

На

кожному

 

з

 

відрізків

[x0 , x1 ], [x1 , x2 ],..., [xn−1 , xn ] візьмемо по точці ξ1 , ξ2 ,..., ξn . Складемо суму

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

Sn = f (ξ1 ) x1 + f (ξ2 ) x2 + ... + f (ξn ) xn = f (ξi ) xi .

 

 

 

 

 

 

 

i =1

 

 

 

 

 

 

 

Якщо при будь-яких розбиттях відрізка [a, b] таких, що max

xi

→ 0 , і при

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

будь-якому виборі точок ξi сума f (ξi )

xi

прагне до однієї і тієї ж границі I,

 

i =1

 

 

 

 

 

 

 

 

то функція

f ( x) називається інтегрованою на відрізку [a, b],

а границя I –

визначеним інтегралом від функції f ( x)

на відрізку [a, b].

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

Визначений інтеграл позначають

як f (x)dx . Число

a називається

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

нижньою границею інтеграла, b – верхньою границею, відрізок

[a, b]

відрізком інтеграції, x – змінною інтеграції.

 

 

 

 

 

 

 

Формула Ньютона-Лейбниця

 

 

 

 

 

Якщо

b

 

 

Функція

F ( x)

первісна

F ( x) = f ( x) , то f (x) dx = F (b) − F (a) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

функції f ( x) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заміна змінної у визначеному інтегралі

 

 

 

 

 

Якщо функція f ( x) неперервна на відрізку a x b та x = ϕ (t)

– функція,

неперервна разом зі своєю похідною ϕ ′( x)

на відрізку α t β ,

де a = ϕ (α )

та

b

β

 

 

 

 

 

 

 

 

b = ϕ (β ) , то f (x) dx = f (ϕ (t )) ϕ ′(t) dt .

 

 

 

 

 

 

 

 

a

α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

43

Приклад:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обчислити інтеграл

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Зробимо

 

 

заміну

змінної: x = t 2 ,

 

тоді

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx = 2tdt ,

t = x , t =

x = 0 = 0 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 2 . Обчислимо інтеграл з урахуванням заміни:

 

 

 

 

t 2

=

x2 =

4

 

 

 

 

4

 

dx

 

 

 

 

2

2tdt

2

(t + 1 − 1)dt

 

2

2

dt

 

2

d (t + 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

= 2

 

 

= 2dt − 2

= 2(2 − 0) − 2

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 1 + x

0 1 + t

0

t + 1

0

0

t + 1

 

0

t + 1

 

 

 

 

= 4 − 2(ln 3 − ln1) = 4 − 2 ln 3 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Площі плоских фігур

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Якщо неперервна крива задана у прямокутних координатах рівнянням

y = f ( x) ,

причому

f ( x) ≥ 0 ,

то площа криволінійної трапеції, яка обмежена цією

кривою,

двома вертикальними прямими

 

x = a та x = b і відрізком осі абсцис

b

a x b (Рис. 6), визначається за формулою: S = f (x)dx.

a

Y

y=f(x)

S

O

X

Рис. 6

44

У загальному випадку, коли площа S обмежена двома неперервними кривими y = f1 (x) та y = f 2 (x) і двома вертикальними прямими x=a та x =b, де

b

f1 ( x) f 2 ( x) при a x b (Рис. 7), то будемо мати формулу: S = ( f2 (x) − f1(x)) dx.

a

Y

= f2 ( x)

S

O

X

= f1 ( x )

Рис. 7.

Диференціальні рівняння

Диференціальним рівнянням називається рівняння, яке звязує незалежну змінну x, шукану функцію y = f ( x) та її похідні y′, y′′,..., y(n ) .

У загальному вигляді диференціальне рівняння можна записати таким чином: F (x, y, y′, y′′,..., y ( n) ) = 0 .

Порядком диференціального рівняння називається порядок найвищої похідної, яка входить у рівняння.

f ( x)dx + C1 ,
ln y = −

45

Рішенням, або інтегралом диференціального рівняння називається будьяка функція y = f ( x) , яка, будучи підставленою у рівняння, перетворює його у

тотожність.

Диференціальні рівняння першого порядку зі змінними, які

відокремлюються.

Диференціальним рівнянням зі змінними, які відокремлюються, називається рівняння першого порядку, яке має вигляд:

y′ = f ( x) g ( y) , або

f1 ( x) g1 ( y) dx + f 2 ( x) g 2 ( y) dy = 0 .

Якщо візьмемо до уваги, що y′ =

dy

, то перше рівняння можемо записати

 

 

 

 

 

 

 

dx

таким чином:

dy

 

= f ( x)

dx . Рішення цього рівняння (загальний інтеграл)

 

 

 

 

 

g ( y)

 

 

 

знаходимо у вигляді

dy

= f (x)dx + C .

g ( y)

 

 

 

 

 

 

 

У другому випадку розділимо обидві частини рівняння на f 2 (x) g1 ( y) і

отримаємо

f1 ( x)

dx +

g 2

( y)

dy = 0 . Проінтегруємо останнє рівняння і отримаємо

 

 

 

 

f 2 ( x)

 

g1

( y)

рішення диференціального рівняння у вигляді: f1 ( x) f 2 (x)

dx + g 2 ( y) dy = C . g1 ( y)

Лінійні диференціальні рівняння першого порядку

Диференціальні рівняння, які мають вигляд y′ + f ( x) y = g ( x) називаються лінійними диференціальними рівняннями першого порядку. Якщо g ( x) = 0 , то рівняння матиме вигляд y′ + f ( x) y = 0 і називається однорідним лінійним диференціальним рівнянням. У цьому випадку маємо диференціальне рівняння

зі змінними, які відокремлюються: dy = − f (x)dx . Знаходимо y

або y = Cef ( x)dx , де C = eC1 .

Для вирішення неоднорідного лінійного рівняння використовуємо так званий метод варіації довільної сталої. Цей метод полягає в тому, що спочатку

46

знаходимо загальне рішення відповідного однорідного лінійного рівняння у

вигляді y = Cef ( x)dx . Потім вважаємо, що C є функція від змінної x : C = C(x) .

Таким чином, шукаємо загальне рішення неоднорідного рівняння у вигляді

f ( x)dx

Знаходимо

 

f ( x)dx

 

f ( x)dx

Підставимо

y = C(x)e

.

y

 

= C (x)e

 

C(x) f (x)e

.

y = Cef ( x)dx

та

знайдене

y

 

у рівняння

 

y′ + f ( x) y = g ( x) і

отримаємо

 

 

 

 

 

f ( x)dx

= g(x) . З останнього рівняння

диференціальне рівняння для C( x) : C (x)e

 

знаходимо C = C( x) .

 

 

 

 

 

 

 

 

Для вирішення рівняння

 

y′ + f (x) y = g (x) можна

також

застосувати

підстановку

y = u(x) v(x) .

Знаходимо

y′ = u(x)′ v(x) + u(x) v′(x) .

Підставимо

y = u(x) v(x)

та

знайдене y

у рівняння

y′ + f (x) y = g (x) .

Після

перетворень

отримаємо таке рівняння: (u′(x) + f (x)u(x)) v(x) + v′(x)u( x) = g (x) (*). Функцію u( x)

знаходимо такою, щоб виконувалось рівняння u′ + f (x) u = 0 . Тоді рівняння (*)

матиме вигляд: vu = g (x) . З останнього рівняння знаходимо функцію v(x) і,

таким чином, функцію y = u(x) v(x) .

Лінійні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами

Диференціальне рівняння, яке має вигляд:

y( n) + f ( x) y( n−1) + f

2

(x) y( n−2) + ... + f

n−1

( x) y′ + f

n

(x) y = g (x)

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

називається

лінійним диференціальним

рівнянням n-го порядку. Якщо

g ( x) ≡ 0 , то

відповідне

диференціальне рівняння називається однорідним.

Загальне рішення такого рівняння (загальний інтеграл) має вигляд:

 

y = C1 y1 + C2 y2 + ... + Cn yn ,

де y1, y2 ,..., yn

 

– лінійно

незалежні

рішення

однорідного

лінійного

рівняння (фундаментальна

система

рішень),

C1, C2 ,..., Cn – довільні сталі. Загальне рішення неоднорідного рівняння є сума загального рішення однорідного рівняння і будь-якого рішення (частинного рішення) неоднорідного рівняння, тобто:

y = C1 y1 + C2 y2 + ... + Cn yn + yч , де yч − частинне рішення неоднорідного рівняння.

 

47

У випадку, коли функції

f1 ( x) ≡ A1,..., fn ( x) ≡ An – сталі, то

диференціальне рівняння називається лінійним диференціальним рівнянням із

сталими

коефіцієнтами,

а

коли

g ( x) ≡ 0

− то

однорідним

лінійним

диференціальним рівнянням із сталими коефіцієнтами. Рішення

y1, y2 ,..., yn

знаходяться

за

допомогою

характеристичного

рівняння:

λn + A λn−1

+ ... + A

λ + A = 0 :

 

 

 

 

 

 

1

n−1

n

 

 

 

 

 

 

1)

Кожному дійсному

кореню

λ = a

кратності

m характеристичного

рівняння відповідають m незалежних рішень eax , xeax , ..., xm−1eax .

2) Кожній парі комплексних коренів λ = a ± bi кратності m відповідають m пар незалежних рішень:

 

ax

ax

cosbx,..., x

m−1

ax

cosbx,

e

cosbx, xe

e

 

 

 

ax

ax

 

m−1 ax

 

 

 

sinbx,..., x

sinbx.

e

sinbx, xe

 

e

 

У випадку лінійного однорідного рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами загальне рішення має один з трьох виглядів:

1) y = C1eλ1x + C2eλ2x , якщо λ1 та λ2 дійсні і λ1 λ2 ;

2)y = eλ1x (C1 + C2 x) , якщо λ1 = λ2 ;

3)y = eax (C1 cosbx+ C2 sinbx) , якщо λ1 = a + bi і λ2 = a bi ( b ≠ 0).

Частинне рішення yч лінійного неоднорідного рівняння y′′ + A1 y′ + A2 y = g ( x) може бути знайдено методом невизначених коефіцієнтів у

наступних простіших випадках:

 

 

 

 

 

1. g ( x) = e ax P ( x) , де P (x) многочлен ступеня n.

 

 

 

 

n

n

 

 

 

 

 

 

Якщо a не корінь характеристичного рівняння, тобто a2 + A a + A 0,

 

 

 

 

 

 

 

1

2

то покладаємо

y =eaxQ (x)

, де

Q (x)

многочлен ступеня

n

з невизначеними

ч

n

n

 

коефіцієнтами.

Якщо

a

корінь характеристичного

 

рівняння,

тобто

a2 + A a + A = 0

, то покладаємо

y = xr eaxQ (x) , де r

кратність кореня a ( r =1

1

2

 

 

ч

n

 

або a = 2 ).

 

 

 

 

 

2.

g ( x) = e ax ( P ( x) cos bx + Q

m

( x) sin bx ) .

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

48

 

Якщо

a ± bi не

є корінь

характеристичного рівняння, то покладаємо

yч

= e ax (S N ( x) cos bx + TN ( x) sin bx) ,

де

S N ( x), TN ( x) многочлени ступеня

N = max{n, m}.

Якщо

a ± bi

корінь характеристичного

рівняння, то

yч

= x r e ax (S N ( x) cos bx + TN ( x) sin bx) , де

r кратність коренів a ± bi

(для рівняння

другого порядку r = 1).

 

 

 

 

У випадках, коли права частина лінійного неоднорідного рівняння не має жодного з вищевказаних виглядів, тоді для знаходження рішення цього рівняння можна скористатись більш загальним методом, який називається

методом Лагранжа, або методом варіації довільних сталих.

Якщо y1 і y2

 

є незалежні частинні рішення рівняння y′′ + py′ + qy = 0 , то

рівняння

 

y′′ + py′ + qy = f ( x)

за

методом

 

 

Лагранжа знаходиться у вигляді

y = A y1 + B y2 , де A і B – функції від x, які задовольняють систему рівнянь:

Ay1 + By2 = 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ay′ + By′ = f (x).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Звідси A′ = −

y

2

f ( x)

, B′ =

y f (x)

, а ω =

 

y1

y2

 

.

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

ω

ω

 

 

y

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Зразок виконання індивідуального завдання

 

І. Обчислити невизначений інтеграл:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

x2 sin 3xdx .

Для обчислення даного інтегралу скористаємось формулою

інтегрування

частинами

 

(див.

теоретичний

розділ).

Знаходимо:

x2 sin 3xdx = −

1

 

x2 d cos 3x = −

1

(x2 cos 3x cos 3xdx2 ) = −

1

x2 cos 3x +

2

x cos 3xdx =

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

3

 

 

3

3

 

 

1

x2 cos 3x +

2

xd sin 3x = −

1

x2 cos 3x +

2

x sin 3x

2

sin 3xdx =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

9

 

 

 

3

 

9

 

9

 

 

 

 

 

 

 

1

x2 cos 3x +

2

x sin 3x +

2

cos 3x + C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

9

 

 

 

27

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

49

 

 

 

 

 

 

3x 5

+ 2x 4 + x 3 + 7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx . Перетворимо підінтегральний вираз до вигляду, зручного

 

 

 

 

 

 

 

x

2

+ 64

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

для інтегрування:

3x 5

 

+ 2x 4

+ x 3 + 7

= 3x 3

+ 2x 2 − 191x − 128 +

12224x + 8199

 

. Таким

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2 + 64

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

+ 64

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

чином:

 

3x 5 + 2x 4 + x 3 + 7

 

 

= (3x 3 + 2x 2 − 191x − 128 +

 

12224x + 8199

 

 

 

Відзначимо,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

+ 64

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

+ 64

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

що d (x 2 + 64) = 2xdx , тоді:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3x

3

+ 2x

2

− 191x

− 128 +

12224x + 8199

)dx =

3

 

x

4

+

2

 

x

3

191

 

x

2

 

− 128x + 6112

 

 

 

2xdx

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

+ 64

 

 

 

 

4

 

 

 

3

 

 

 

2

 

 

 

x

2

+ 64

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 8199

 

 

 

dx

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

+ 64

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

3

x 4

+

 

2

 

x

3

191

 

x 2 − 128x +

 

6112

 

d ( x 2

+ 64)

 

+

8199

arctg

x

=

3

x 4 +

2

x

3

191

x 2

− 128x +

 

 

 

 

 

4

 

3

 

 

 

 

2

 

 

 

x

2

+ 64

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 6122 ln(x 2

+ 64) +

8199

arctg

 

 

x

+С.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x + 7

 

 

 

 

dx .

Враховуючи,

 

 

що

 

 

 

 

d (x 2

 

+ 6x − 3) = (2x + 6)dx ,

 

 

 

перетворимо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

+ 6x − 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

(2x + 6 − 6) + 7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

підінтегральний вираз:

 

 

 

 

 

x + 7

 

 

 

 

 

2

 

1

 

 

 

 

2x + 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2 + 6x − 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2 + 6x − 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2 + 6x − 3

 

 

 

 

 

 

 

( x + 3) 2 − 12

Тепер

 

 

даний

 

 

 

 

інтеграл

 

 

 

 

можемо

записати

 

 

 

у

 

вигляді:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x + 7

 

 

dx

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

+ 6x − 3

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

2x + 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

d (

 

2

+ 6x − 3)

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx +

 

 

 

 

 

dx =

x

+

 

 

 

 

 

 

 

 

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

2

− 12

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

+ 6x − 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( x + 3)

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

+ 6x − 3

 

 

 

 

 

 

 

( x + 3)

− 12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Використовуючи таблицю інтегралів, остаточно знаходимо:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x + 7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx = x 2 + 6x − 3 + ln

x + 3 + (x + 3)

2 − 12

+ C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 6x − 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г)

 

sin 3 2x cos 2 2xdx . Для обчислення даного інтегралу виконаємо перетворення:

sin 3

2x cos 2

2xdx =

1

 

sin 3 2x cos 2 2x d 2x =

1

sin 2 2x cos 2 2x sin 2xdx . З урахуванням

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

того, що d cos 2x = − sin 2xd 2x , знаходимо:

 

 

 

sin 3

2x cos 2

2xdx =

1

sin 2 2x cos 2 2x d cos 2x =

1

(cos 2 2x − 1) cos 2 2x d cos 2x =

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

=

1

cos5 2x

1

cos3 2x + C .

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

50

II. Знайти визначені інтеграли:

16

16

а) (4x + 3 x )dx . За формулою Ньютона-Лейбниця знаходимо: (4x + 3 x )dx =

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

4

 

 

 

 

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

 

 

 

x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

256

 

 

 

 

 

 

 

 

64

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

16

2 +

 

 

16 3

 

 

 

 

8 2 +

 

8

3 =

 

 

 

 

+ 243 2

 

 

 

 

− 12

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

220

+ 243

 

 

 

 

 

64

 

2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

Зробимо

 

 

заміну

змінних

у

 

визначеному

інтегралі:

 

5x + 1 = t ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

3 +

 

 

5x + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

2

− 1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

dx

 

 

 

 

5x + 1 = t 2 , x =

 

 

, dx =

tdt .

 

 

Після

 

 

 

 

заміни

 

 

 

 

 

змінних

 

маємо:

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

3 + 5x + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21

 

2

 

 

 

 

tdt

 

 

 

 

 

 

 

2

 

21

 

t + 3 − 3

 

 

 

 

2

 

21

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

2

21

 

 

21

d (t + 3)

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

=

 

 

dt =

 

(1 −

 

 

)dt =

 

 

dt − 3

=

(t − 3 ln(t + 3))

 

1

21 =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t + 3

 

1

 

 

 

5 3 + t

5

 

1

 

 

 

 

 

t + 3

 

 

5

 

1

 

 

 

 

 

t + 3

 

 

 

 

5

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 3)) − (1 − 3 ln 4)) =

2

(

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21 + 3

)) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(( 21 − 3 ln(

 

 

21

 

 

21 − 1 − 3 ln(

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

III. Зробити рисунок та знайти площу фігури, обмеженої даними кривими:

y =

5 x 2

, y = 16 −

3

x 2 .

 

 

2

2

 

Зробимо рисунок (Рис. 8.).

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]