Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Харьковский Национальный Университет им. В. Н. Каразина

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Matem_Lisitsya_2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.03.2016

Размер:

624.21 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

Якщо функція F ( x) є первісною для для f ( x) , то вираз F ( x) + C , де C –

довільна стала величина, називається невизначеним інтегралом від функції f ( x) і позначається символом ∫ f ( x)dx .

Таким чином, за означенням:

∫ f ( x)dx = F ( x) + C , якщо F ′( x) = f ( x) .

При цьому функцію f ( x) називають підінтегральною функцією, f ( x)dx

– підінтегральним виразом, знак ∫ – знаком інтеграла.

Таблиця найпростіших інтегралів

∫ xα dx =

xα +1

+ C, α ≠ −1;

2. ∫

+ C ;

= ln

α + 1

x − a

arctg

+ C = −

arcctg

+ C ,

a ≠ 0

; 4.

+ C, a ≠ 0 ;

∫ x 2 + a 2

∫ x 2 − a 2

x + a

∫

a + x

+ C, a ≠ 0 ;

6. ∫a x dx =

a x

+ C, a > 0 ;

a − x

ln a

− x

∫

8. ∫e x dx = e x + C ;

= ln

x + x 2 + a

+ C, a ≠ 0 ;

+ a

∫

= arcsin

+ C = − arccos

+ C ,

a ≠ 0 ;

10.

∫

sin xdx = − cos x + C ;

a 2

− x 2

11. ∫cos xdx = sin x + C ;

12. ∫

= tgx + C ;

cos

13. ∫

= −ctgx + C .

sin

Основні правила інтегрування

1. Якщо F ′( x) = f ( x) , то ∫ f ( x)dx = F ( x) + C , де С – довільна стала.

2.∫ A f ( x)dx = A ∫ f ( x)dx , де А – стала величина.

3.∫( f1 ( x) ± f 2 ( x))dx = ∫ f1 ( x)dx ± ∫ f 2 ( x)dx .

4.Якщо ∫ f ( x)dx = F ( x) + C та u = ϕ ( x) , то ∫ f (ϕ ( x)) ϕ ′( x)dx = ∫ f (u)du = F (u) + C .

5. Інтегрування частинами. Якщо u = ϕ ( x) та v = ψ ( x) – функції, які мають

похідні, то ∫udv = u v − ∫vdu .
	Визначений інтеграл
Нехай	на відрізку [a, b] задано неперервну			функцію	f ( x) .			Розіб’ємо
відрізок [a, b] на n частин точками ділення
a = x0 , x1 , x2 ,..., xn = b , причому x0 < x1 < x2 < ... < xn , і покладемо, що
x1 − x0 =	x1 , x2 − x1 = x2 ,..., xn − xn−1 = xn .		На	кожному		з		відрізків
[x0 , x1 ], [x1 , x2 ],..., [xn−1 , xn ] візьмемо по точці ξ1 , ξ2 ,..., ξn . Складемо суму
		n
Sn = f (ξ1 ) x1 + f (ξ2 ) x2 + ... + f (ξn ) xn = ∑ f (ξi ) xi .
	i =1
Якщо при будь-яких розбиттях відрізка [a, b] таких, що max							xi	→ 0 , і при
	n
будь-якому виборі точок ξi сума ∑ f (ξi )		xi	прагне до однієї і тієї ж границі I,
	i =1
то функція	f ( x) називається інтегрованою на відрізку [a, b],					а границя I –
визначеним інтегралом від функції f ( x)		на відрізку [a, b].
			b
Визначений інтеграл позначають		як ∫ f (x)dx . Число				a називається
			a
нижньою границею інтеграла, b – верхньою границею, відрізок								[a, b]	–
відрізком інтеграції, x – змінною інтеграції.
	Формула Ньютона-Лейбниця
Якщо	b			Функція	F ( x)		–	первісна
Якщо	F ( x) = f ( x) , то ∫ f (x) dx = F (b) − F (a) .			Функція	F ( x)		–	первісна
	′
	a
функції f ( x) .
	Заміна змінної у визначеному інтегралі
Якщо функція f ( x) неперервна на відрізку a ≤ x ≤ b та x = ϕ (t)							– функція,
неперервна разом зі своєю похідною ϕ ′( x)			на відрізку α ≤ t ≤ β ,			де a = ϕ (α )			та
b	β
b = ϕ (β ) , то ∫ f (x) dx = ∫ f (ϕ (t )) ϕ ′(t) dt .

Приклад:

Обчислити інтеграл ∫

1 + x

Зробимо

заміну

змінної: x = t 2 ,

тоді

dx = 2tdt ,

t = x , t =

x = 0 = 0 ,

= 2 . Обчислимо інтеграл з урахуванням заміни:

t 2

x2 =

2tdt

(t + 1 − 1)dt

d (t + 1)

∫

= 2∫

= 2∫dt − 2∫

= 2(2 − 0) − 2∫

0 1 + x

0 1 + t

t + 1

= 4 − 2(ln 3 − ln1) = 4 − 2 ln 3 .

Площі плоских фігур

Якщо неперервна крива задана у прямокутних координатах рівнянням

y = f ( x) ,

причому

f ( x) ≥ 0 ,

то площа криволінійної трапеції, яка обмежена цією

кривою,

двома вертикальними прямими

x = a та x = b і відрізком осі абсцис

a ≤ x ≤ b (Рис. 6), визначається за формулою: S = ∫ f (x)dx.

y=f(x)

Рис. 6

У загальному випадку, коли площа S обмежена двома неперервними кривими y = f1 (x) та y = f 2 (x) і двома вертикальними прямими x=a та x =b, де

f1 ( x) ≤ f 2 ( x) при a ≤ x ≤b (Рис. 7), то будемо мати формулу: S = ∫( f2 (x) − f1(x)) dx.

= f2 ( x)

= f1 ( x )

Рис. 7.

Диференціальні рівняння

Диференціальним рівнянням називається рівняння, яке зв’язує незалежну змінну x, шукану функцію y = f ( x) та її похідні y′, y′′,..., y(n ) .

У загальному вигляді диференціальне рівняння можна записати таким чином: F (x, y, y′, y′′,..., y ( n) ) = 0 .

Порядком диференціального рівняння називається порядок найвищої похідної, яка входить у рівняння.

f ( x)dx + C1 ,

ln y = −∫

Рішенням, або інтегралом диференціального рівняння називається будьяка функція y = f ( x) , яка, будучи підставленою у рівняння, перетворює його у

тотожність.

Диференціальні рівняння першого порядку зі змінними, які

відокремлюються.

Диференціальним рівнянням зі змінними, які відокремлюються, називається рівняння першого порядку, яке має вигляд:

y′ = f ( x) g ( y) , або		f1 ( x) g1 ( y) dx + f 2 ( x) g 2 ( y) dy = 0 .
Якщо візьмемо до уваги, що y′ =						dy	, то перше рівняння можемо записати
Якщо візьмемо до уваги, що y′ =							, то перше рівняння можемо записати
						dx
таким чином:	dy		= f ( x)		dx . Рішення цього рівняння (загальний інтеграл)


	g ( y)
знаходимо у вигляді ∫				dy	= ∫ f (x)dx + C .
знаходимо у вигляді ∫				g ( y)	= ∫ f (x)dx + C .
				g ( y)
У другому випадку розділимо обидві частини рівняння на f 2 (x) g1 ( y) і

отримаємо	f1 ( x)	dx +	g 2	( y)	dy = 0 . Проінтегруємо останнє рівняння і отримаємо
отримаємо		dx +			dy = 0 . Проінтегруємо останнє рівняння і отримаємо
	f 2 ( x)		g1	( y)

рішення диференціального рівняння у вигляді: ∫ f1 ( x) f 2 (x)

dx + ∫ g 2 ( y) dy = C . g1 ( y)

Лінійні диференціальні рівняння першого порядку

Диференціальні рівняння, які мають вигляд y′ + f ( x) y = g ( x) називаються лінійними диференціальними рівняннями першого порядку. Якщо g ( x) = 0 , то рівняння матиме вигляд y′ + f ( x) y = 0 і називається однорідним лінійним диференціальним рівнянням. У цьому випадку маємо диференціальне рівняння

зі змінними, які відокремлюються: dy = − f (x)dx . Знаходимо y

або y = Ce−∫ f ( x)dx , де C = eC1 .

Для вирішення неоднорідного лінійного рівняння використовуємо так званий метод варіації довільної сталої. Цей метод полягає в тому, що спочатку

знаходимо загальне рішення відповідного однорідного лінійного рівняння у

вигляді y = Ce−∫ f ( x)dx . Потім вважаємо, що C є функція від змінної x : C = C(x) .

Таким чином, шукаємо загальне рішення неоднорідного рівняння у вигляді

−∫ f ( x)dx		Знаходимо		′	′	−∫ f ( x)dx		−∫ f ( x)dx		Підставимо
y = C(x)e	.	Знаходимо	y		= C (x)e		− C(x) f (x)e		.	Підставимо
y = Ce−∫ f ( x)dx	та	знайдене	y′		у рівняння			y′ + f ( x) y = g ( x) і		отримаємо
					′	−∫ f ( x)dx		= g(x) . З останнього рівняння
диференціальне рівняння для C( x) : C (x)e								= g(x) . З останнього рівняння
знаходимо C = C( x) .
Для вирішення рівняння					y′ + f (x) y = g (x) можна				також	застосувати
підстановку	y = u(x) v(x) .		Знаходимо			y′ = u(x)′ v(x) + u(x) v′(x) .				Підставимо
y = u(x) v(x)	та	знайдене y′	у рівняння			y′ + f (x) y = g (x) .			Після	перетворень

отримаємо таке рівняння: (u′(x) + f (x)u(x)) v(x) + v′(x)u( x) = g (x) (*). Функцію u( x)

знаходимо такою, щоб виконувалось рівняння u′ + f (x) u = 0 . Тоді рівняння (*)

матиме вигляд: v′ u = g (x) . З останнього рівняння знаходимо функцію v(x) і,

таким чином, функцію y = u(x) v(x) .

Лінійні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами

Диференціальне рівняння, яке має вигляд:

y( n) + f ( x) y( n−1) + f		2	(x) y( n−2) + ... + f		n−1	( x) y′ + f	n	(x) y = g (x)
1
називається	лінійним диференціальним						рівнянням n-го порядку. Якщо
g ( x) ≡ 0 , то	відповідне			диференціальне рівняння називається однорідним.
Загальне рішення такого рівняння (загальний інтеграл) має вигляд:
y = C1 y1 + C2 y2 + ... + Cn yn ,				де y1, y2 ,..., yn				– лінійно	незалежні	рішення
однорідного	лінійного			рівняння (фундаментальна					система	рішень),

C1, C2 ,..., Cn – довільні сталі. Загальне рішення неоднорідного рівняння є сума загального рішення однорідного рівняння і будь-якого рішення (частинного рішення) неоднорідного рівняння, тобто:

y = C1 y1 + C2 y2 + ... + Cn yn + yч , де yч − частинне рішення неоднорідного рівняння.

	47
У випадку, коли функції	f1 ( x) ≡ A1,..., fn ( x) ≡ An – сталі, то

диференціальне рівняння називається лінійним диференціальним рівнянням із

сталими	коефіцієнтами,		а	коли	g ( x) ≡ 0	− то	однорідним	лінійним
диференціальним рівнянням із сталими коефіцієнтами. Рішення								y1, y2 ,..., yn
знаходяться		за	допомогою		характеристичного			рівняння:
λn + A λn−1	+ ... + A	λ + A = 0 :
1	n−1	n
1)	Кожному дійсному			кореню	λ = a	кратності	m характеристичного

рівняння відповідають m незалежних рішень eax , xeax , ..., xm−1eax .

2) Кожній парі комплексних коренів λ = a ± bi кратності m відповідають m пар незалежних рішень:

	ax	ax	cosbx,..., x		m−1	ax		cosbx,
e		cosbx, xe			e
	ax	ax		m−1 ax
			sinbx,..., x				sinbx.
e		sinbx, xe			e

У випадку лінійного однорідного рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами загальне рішення має один з трьох виглядів:

1) y = C1eλ1x + C2eλ2x , якщо λ1 та λ2 − дійсні і λ1 ≠ λ2 ;

2)y = eλ1x (C1 + C2 x) , якщо λ1 = λ2 ;

3)y = eax (C1 cosbx+ C2 sinbx) , якщо λ1 = a + bi і λ2 = a −bi ( b ≠ 0).

Частинне рішення yч лінійного неоднорідного рівняння y′′ + A1 y′ + A2 y = g ( x) може бути знайдено методом невизначених коефіцієнтів у

наступних простіших випадках:
1. g ( x) = e ax P ( x) , де P (x) − многочлен ступеня n.
	n	n
Якщо a − не корінь характеристичного рівняння, тобто a2 + A a + A ≠ 0,
							1	2
то покладаємо	y =eaxQ (x)		, де	Q (x)	− многочлен ступеня	n	з невизначеними
то покладаємо	ч	n	, де	n	− многочлен ступеня		з невизначеними
коефіцієнтами.	Якщо	a	−	корінь характеристичного			рівняння,	тобто

a2 + A a + A = 0		, то покладаємо	y = xr eaxQ (x) , де r			− кратність кореня a ( r =1
1	2			ч	n
або a = 2 ).
2.	g ( x) = e ax ( P ( x) cos bx + Q		m	( x) sin bx ) .
		n	m

						48
	Якщо	a ± bi не	є корінь	характеристичного рівняння, то покладаємо
yч	= e ax (S N ( x) cos bx + TN ( x) sin bx) ,			де	S N ( x), TN ( x) − многочлени ступеня
N = max{n, m}.		Якщо	a ± bi −	корінь характеристичного		рівняння, то
yч	= x r e ax (S N ( x) cos bx + TN ( x) sin bx) , де				r − кратність коренів a ± bi	(для рівняння
другого порядку r = 1).

У випадках, коли права частина лінійного неоднорідного рівняння не має жодного з вищевказаних виглядів, тоді для знаходження рішення цього рівняння можна скористатись більш загальним методом, який називається

методом Лагранжа, або методом варіації довільних сталих.

Якщо y1 і y2

є незалежні частинні рішення рівняння y′′ + py′ + qy = 0 , то

рівняння

y′′ + py′ + qy = f ( x)

за

методом

Лагранжа знаходиться у вигляді

y = A y1 + B y2 , де A і B – функції від x, які задовольняють систему рівнянь:

A′y1 + B′y2 = 0,

A′y′ + B′y′ = f (x).

Звідси A′ = −

f ( x)

, B′ =

y f (x)

, а ω =

y′

Зразок виконання індивідуального завдання

І. Обчислити невизначений інтеграл:

а)

∫ x2 sin 3xdx .

Для обчислення даного інтегралу скористаємось формулою

інтегрування

частинами

(див.

теоретичний

розділ).

Знаходимо:

∫ x2 sin 3xdx = −

∫ x2 d cos 3x = −

(x2 cos 3x − ∫cos 3xdx2 ) = −

x2 cos 3x +

∫ x cos 3xdx =

−

x2 cos 3x +

∫ xd sin 3x = −

x2 cos 3x +

x sin 3x −

∫sin 3xdx =

−

x2 cos 3x +

x sin 3x +

cos 3x + C .

3x 5

+ 2x 4 + x 3 + 7

б)

∫

dx . Перетворимо підінтегральний вираз до вигляду, зручного

+ 64

для інтегрування:

3x 5

+ 2x 4

+ x 3 + 7

= 3x 3

+ 2x 2 − 191x − 128 +

12224x + 8199

. Таким

x 2 + 64

x 2

+ 64

чином:

∫

3x 5 + 2x 4 + x 3 + 7

= ∫(3x 3 + 2x 2 − 191x − 128 +

12224x + 8199

Відзначимо,

)dx .

+ 64

що d (x 2 + 64) = 2xdx , тоді:

∫(3x

+ 2x

− 191x

− 128 +

12224x + 8199

)dx =

−

191

− 128x + 6112∫

2xdx

+ 64

+ 8199∫

+ 64

x 4

−

191

x 2 − 128x +

6112∫

d ( x 2

+ 64)

8199

arctg

x 4 +

3 −

191

x 2

− 128x +

+ 64

8 4

+ 6122 ln(x 2

+ 64) +

8199

arctg

+С.

в)

∫

x + 7

dx .

Враховуючи,

що

d (x 2

+ 6x − 3) = (2x + 6)dx ,

перетворимо

+ 6x − 3

(2x + 6 − 6) + 7

підінтегральний вираз:

x + 7

2x + 6

x 2 + 6x − 3

( x + 3) 2 − 12

Тепер

даний

інтеграл

можемо

записати

вигляді:

∫

x + 7

+ 6x − 3

2x + 6

d (

+ 6x − 3)

∫

dx + ∫

dx =

∫

+ ∫

dx .

− 12

+ 6x − 3

( x + 3)

+ 6x − 3

( x + 3)

− 12

Використовуючи таблицю інтегралів, остаточно знаходимо:

x + 7

dx = x 2 + 6x − 3 + ln

x + 3 + (x + 3)

2 − 12

+ C .

∫

x 2

+ 6x − 3

г)

∫sin 3 2x cos 2 2xdx . Для обчислення даного інтегралу виконаємо перетворення:

∫sin 3

2x cos 2

2xdx =

∫sin 3 2x cos 2 2x d 2x =

∫sin 2 2x cos 2 2x sin 2xdx . З урахуванням

того, що d cos 2x = − sin 2xd 2x , знаходимо:

∫sin 3

2x cos 2

2xdx = −

∫sin 2 2x cos 2 2x d cos 2x =

∫(cos 2 2x − 1) cos 2 2x d cos 2x =

cos5 2x −

cos3 2x + C .

II. Знайти визначені інтеграли:

а) ∫(4x + 3 x )dx . За формулою Ньютона-Лейбниця знаходимо: ∫(4x + 3 x )dx =

8																																																											8
					3					4					16
					3					4					16
																												3							4							3					4
				x 2								x 3											4					3			3				4				4			3			3		4		256								64	2
2				x 2								x 3											4								3								4						3				256								64	2
								+												=						16		2 +					16 3					−			8 2 +					8	3 =					+ 243 2				−			− 12		=
								+												=						16		2 +					16 3					−			8 2 +					8	3 =					+ 243 2				−			− 12		=
					3					4													3								4								3						4					3							3


					2					3					8
					2					3					8

=		220					+ 243									−				64			2				.
		220												2						64			2
														2
3																					3
4									dx
б) ∫									dx								.					Зробимо											заміну						змінних								у	визначеному									інтегралі:						5x + 1 = t ,



0				3 +							5x + 1
																			t	2	− 1								2																																4		dx
5x + 1 = t 2 , x =																			t		− 1				, dx =				2			tdt .					Після							заміни							змінних						маємо:				∫		dx			=
5x + 1 = t 2 , x =																									, dx =							tdt .					Після							заміни							змінних						маємо:				∫					=
																					5							5																																	0	3 + 5x + 1

21						2				tdt								2			21			t + 3 − 3										2		21						3					2	21				21		d (t + 3)					2
= ∫														=							∫									dt =						∫ (1 −								)dt =				∫		dt − 3 ∫								=		(t − 3 ln(t + 3))				1	21 =

																																																							t + 3
1						5 3 + t							5								1					t + 3							5			1					t + 3						5	1				1			t + 3				5
1																					1															1												1				1

=	2																						+ 3)) − (1 − 3 ln 4)) =																	2	(									21 + 3			)) .
	2		(( 21 − 3 ln(																		21																			2			21 − 1 − 3 ln(							21 + 3
			(( 21 − 3 ln(																		21																						21 − 1 − 3 ln(
5																																							5											4

III. Зробити рисунок та знайти площу фігури, обмеженої даними кривими:

y =	5 x 2	, y = 16 −	3	x 2 .

2		2

Зробимо рисунок (Рис. 8.).

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.09.201987.78 Кб5Market_issled_Iv_Roshe.docx
#
11.11.2019917.5 Кб18Masenko_Mova_i_suspilstvo_2004.doc
#
23.02.20154.45 Mб11matan_belaev_1.1.pdf
#
23.02.20151.04 Mб12matan_metod_1.1.pdf
#
23.02.20151.27 Mб39matan_metod_2012_1.2.doc
#
13.03.2016624.21 Кб4Matem_Lisitsya_2.pdf
#
23.02.20151.1 Mб13MechanS2.doc
#
23.02.20153.01 Mб30Mekhanika_metodichka.doc
#
23.02.20152.99 Mб47Mekhanika_metodichka.doc
#
16.11.201973.22 Кб2MEMO.doc
#
13.03.201678.85 Кб49Mesh-сети.doc