Порядок выполнения работы

1.Используя один из шкивов, имеющий радиус R₁, измерить (с помощью секундомера) время  падения груза массы m с высоты h. Измерения провести для пяти значений массы груза. Результаты наблюдений занести в таблицу.

2.Переместить нить на другой шкив радиуса R₂ и повторить измерения по п.1. Полученные данные занести в таблицу.

Значения радиусов шкивов R₁ и R₂, высоты падения груза h масс m подвеса и грузов указаны в лаборатории.

3.По формулам (7), (5) и (4) в каждом случае найти значения а,  и М. При вычислении ускорения а использовать величину ускорения свободного падения g =9,819 м/с².Результаты расчётов занести в таблицу.

4.По данным таблицы построить графики зависимости момента сил вращения М (ордината) от углового ускорения  (абсцисса) для каждого из шкивов. Экспериментальные данные, относящиеся к различным шкивам, наносить на график, используя различные обозначения (например, светлые и тёмные кружки). Оценить, являются ли полученные зависимости линейными, как следует из уравнения (8).

5.С помощью графиков для каждого из шкивов определить величины J и М_тр. По полученным двум значениям J и М_тр найти их средние значения и погрешность измерений J и М_тр.

ТАБЛИЦА

h, м	R, м	m, кг	, с	a, м/с2	, 1/с2	M, Н·м
	R1
	R2

Лабораторная работа № 5 определение момента инерции тел методом крутильных колебаний

Момент инерции тела J является одной из основных характеристик тела при его вращательном движении. Он играет роль, аналогичную роли массы m тела при поступательном движении – является мерой инертности вращающегося тела. Однако если масса тела в рамках механики Ньютона постоянна, момент его инерции зависит от расположения оси вращения в нём.

Моментом инерции J материальной точки массы m, находящейся на расстоянии r от оси вращения, называется величина:

J = m·r² (1)

Из этого соотношения видно, что момент инерции J измеряется в единицах кг·м².

Момент инерции тела относительно некоторой оси вращения определяется суммой моментов инерции материальных точек, имеющих массы m_i и находящихся на расстоянии r_i от оси, на которые разбивается это тело (рис.1):

(2)

В интегральной форме уравнение (3) выглядит следующим образом:

(2a)

Здесь dm – элемент массы тела, находящийся на расстоянии r от оси вращения. Интегрирование производится по объёму V тела.

Способ разбиения тела на материальные точки очевиден из рис.1. Если тело имеет правильную симметричную форму, момент инерции J относительно оси OO, проходящей через центр инерции, вычисляется аналитически. Так, например, момент инерции диска, имеющего массу m и диаметр D относительно оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр, вычисляется по формуле (рис.1, случай 1): (3)

Относительно произвольно расположенной оси O’O’ центр инерции вычисляется с использованием теоремы Штейнера:

(4)

Момент инерции тела J относительно любой оси равен моменту инерции этого тела J_o относительно оси, проходящей через центр инерции и параллельной данной, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния d между осями (рис.1, случаи 2 и 3).

Вычисление момента инерции тела произвольной формы с использованием формул (2) и (2а) оказывается зачастую невозможным. Поэтому на практике для определения J широко применяются различные экспериментальные методы. В основе всех таких методов лежит изучение зависимости некоторой физической величины от момента инерции J тела. Одним из них является метод крутильных колебаний тела, вращающегося на упругой подвеске (рис.2).

Если к телу, висящему на упругой нити, приложить касательную силуF, т.е. повернуть его на некоторый угол , то в нити возникнет вращающий момент М = ·, и, после прекращения действия силы, тело придёт в движение. Величина  является упругой характеристикой материала подвеса при его деформации кручения и может быть названа модулем кручения. Значение  постоянно для данного материала при условии его упругой деформации.Уравнение вращательного движения тела записывается следующим образом:

(5)

Поскольку под действием вращающего момента М тело движется к положению равновесия, то в данном случае М = ^_·. Знак “-” в этой формуле означает, что тело движется в сторону, противоположную приложенной к нему силе F, т.е. к положению равновесия. Уравнение (5) с учётом выражения для М принимает вид:

(6)

или:

(6а)

Последнее соотношение представляет собой уравнение свободных гармонических колебаний. Решением его является функция:

= _o·sin(_o·t·+ _o) (7)

где - циклическая (круговая) частота колебаний,_о и _о - постоянные, определяемые из начальных условий. Период крутильных гармонических колебаний, соответственно, равен:

(8)

Таким образом, задача экспериментального определения момента инерции тела J сводится к измерению периода его крутильных колебаний Т и использованию формулы (8) при условии, что величина модуля кручения  известна и постоянна при данных условиях эксперимента (что выполняется не всегда).

Для нахождения модуля кручения  данного подвеса (нити) достаточно измерить периоды колебания Т ряда тел, моменты инерции J которых известны. Если построить график зависимости Т² от J (рис.3):

, (9)

то видно, что угловой коэффициент k полученной прямолинейной зависимости определяется выражением:

По величине углового коэффициента k (определяемого как тангенс угла наклона на графике зависимости Т² от J) можно вычислить модуль кручения материала подвеса :

(10)

Целью работы является нахождение момента инерции тела сложной формы методом крутильных колебаний.

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ УСТАНОВКА представляет собой вертикально висящую металлическую струну, верхний конец которой укреплён в кронштейне на стене. Нижний конец струны заканчивается винтом, на который навинчиваются эталонные диски.

ПРИНАДЛЕЖНОСТИ ДЛЯ РАБОТЫ: Секундомер, набор эталонных дисков с винтовой нарезкой в центре, имеющих одинаковую форму, массу и размеры (5 штук), исследуемое тело сложной формы.