Лабораторная работа № 6

ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАДИУСА КРИВИЗНЫ ВОГНУТОЙ

ПОВЕРХНОСТИ МЕТОДОМ КАТАЮЩЕГОСЯ ШАРИКА

Если шарик массойm и радиусом r, находящийся на вогнутой поверхности в поле силы тяжести, вывести из равновесия и предоставить самому себе, то он будет совершать колебания относительно положения равновесия (точка Р на рис.1а). При малых амплитудах период колебаний шарика Т зависит от радиуса кривизны поверхности.

На шарик вне положения равновесия действуют три силы: сила тяжести ; нормальная составляющая реакции опоры ; сила трения (предполагается, что шарик вращается без проскальзывания).

Движение шарика можно рассматривать как суперпозицию двух движений (рис.1a): поступательного движения центра масс по дуге окружности радиуса R и вращательного движения вокруг оси, проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости рисунка. Оба эти движения являются ускоренными. Обозначим ускорение поступательного движения а_, угол поворота шарика вокруг своей оси , угловое ускорение вращения шарика относительно этой оси _ш. Поступательное движение шарика по вогнутой поверхности можно также рассматривать как вращение тела с угловым ускорением _о по окружности, радиус R которой равен радиусу R_x вогнутой поверхности, уменьшенному на радиус r шарика (см. рис.1а):

R = R_x – r.

Поступательное движение шарика происходит в согласии со вторым законом Ньютона, который, в проекции на направление касательной к окружности, запишется в виде (рис.1б):

(1)

Основное уравнение динамики вращательного движения шарика дает:

(2)

где - момент инерции шара, F_тр·r-момент сил трения, возникающих при качении шарика по вогнутой поверхности.

В качестве обобщенной координаты, задающей положение шарика, выберем угол  (рис.1б). Угловое ускорение _о центра масс шарика относительно центра кривизны вогнутой поверхности связано с касательным ускорением а_ формулой:

(3)

При качении без проскальзывания угол связан с углом поворота шарикаотносительно его центра:

R = r (4)

Дифференцируя уравнение (4) дважды по времени, получаем связь между ускорениями _ш и _о:

(5)

Решая совместно (1) – (5), получим дифференциальное уравнение для обобщенной координаты :

, или ,

которое, в приближении малых амплитуд (малых углов , когда можно положить ), принимает вид уравнения гармонических колебаний:

, где (6)

Учитывая, что , получим:

Откуда:

Окончательно, формула для расчета радиуса кривизны вогнутой поверхности будет иметь вид:

(7)

Порядок выполнения работы

1.С помощью штангенциркуля измерить радиус шарика . Результат измерения занести в таблицу.

2.Положить шарик на вогнутую поверхность несколько в стороне от положения равновесия. С помощью секундомера измерить время 6 полных колебаний. Опыт проделать три раза. Значение времени  и число колебаний n занести в таблицу.

3.Для каждого случая вычислить период колебаний шарика по формуле

4.Найти среднее значение периода Т_ср колебаний шарика.

5.Выполнить пункты 1 – 4 для каждого шарика.

6.Для каждого Т_ср по формуле (6) вычислить радиус кривизны R_x вогнутой поверхности. Результаты занести в таблицу.

7.Найти среднее значение радиуса кривизны (R_x)_ср и оценить абсолютную погрешность (R_x)_ср по методу прямого измерения. Результаты занести в таблицу.

8.Записать окончательный результат с учётом погрешности измерений.

ТАБЛИЦА

№	r,м	n	,с	Т, с	Rx,м	(Rx)ср	Rx,м	(Rx)ср
1 шарик
2 шарик
3 шарик