Справочник школьника по математике. 5-11 кл_Маслова Т.Н, Суходский А.М_2008 -672с

АЛГЕБРА

§ 11. Свойства функций

f(1) = 12 = 1, f(2) = 22 = 4, f(2,3) = 2,32 = 5,29 и т. д. Запись f(4) в этом случае лишена смысла, так как число 4 не принадлежит отрезку [1, 3]. Отрезок [1, 3] — область определения функции.

90. Аналитическое задание функции. Чтобы задать функцию, нужно указать способ, позволяющий для каждого значения аргумента найти соответствующее значение функции. Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью формулы y=f(x), ãäå f(x) — некоторое выражение с переменной x. В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана анали-

тически.

Пусть, например, y = x2 + 5x - 1, ãäå x ³ 0. Область определения этой функции — луч [0, + ¥).

Чтобы найти значение функции в любой точке x ³ 0, достаточно найти числовое значение выражения

x2 + 5x - 1 в выбранной точке.

Для аналитически заданной функции иногда не указывают явно область определения функции. В таком случае подразумевают, что область определе-

ния функции y = f(x) совпадает с областью определения выражения f(x), т.е. с множеством тех значе-

íèé x, при которых выражение f(x) имеет смысл.

П р и м е р. Найти область определения функ-

1

öèè: à) y = x + 2 ; á) y = x - 1.

121

АЛГЕБРА

Раздел III. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ

1

q a) Выражение определено при всех x, x + 2

кроме того значения, которое обращает знаменатель в нуль, т.е. значения x = –2. Поэтому область определения функции состоит из всех чисел, кроме x = –2.

б) Выражение x - 1 определено при тех x, при которых x - 1 ³ 0, ò.å. ïðè x ³ 1. Значит, область определения функции — луч [1, + ¥). n

Иногда функция задается на различных промежутках различными формулами, например:

ì2x + 3, åñëè - 1 £ x £ 0, f(x) = í

îx + 2, åñëè 0 £ x £ 1.

Эта функция определена на отрезке [–1, 1]. Для вычисления значений функции нужно лишь точно определить, какой формулой следует воспользоваться для заданного конкретного значения аргумента. Так, если нужно вычислить f(0,5), то воспользуемся равенством f(x)=x+2 и получим f(0,5)=2,5. Если же нужно вычислить f(–0,5), то воспользуемся равенством f(x)=2x+3 и получим f(–0,5)=2.

91.Табличное задание функции. На практике часто используется табличный способ задания функции. При этом способе приводится таблица, указывающая значения функции для имеющихся в таблице значений аргумента. Примерами табличного задания функции являются таблицы квадратов, кубов, квадратных корней и т.д.

92.Графическое задание функции. Возьмем прямоугольную декартову систему координат xOy

122

АЛГЕБРА

§ 11. Свойства функций

(см.п.22); отметив на координатной плоскости все точки с абсциссой x = a, получим прямую, параллельную оси Oy (рис. 12); говорят, что x = a — уравнение этой прямой, в частности, x = 0 — уравнение самой оси Oy. Аналогично, отметив на координатной плоскости все точки с ординатой y = b, получим прямую, параллельную оси Ox (рис. 12); говорят, что y = b — уравнение этой прямой, в частности, y = 0 — уравнение самой оси Ox.

Подмножество F точек координатной плоскости является графиком некоторой функции, если оно имеет не более одной общей точки с любой прямой, параллельной оси Oy. Òàê, íà ðèñ.13, à изображено подмножество, являющееся графиком некоторой функции, а на рис. 13, á — подмножество, не являющееся графиком никакой функции.

Если дано подмножество F, являющееся графиком некоторой функции, то говорят, что функция задана графически. Областью определения такой функции является проекция D множества F íà îñü

Ox. Если взять точку x Î D, то, чтобы найти соот-

a) á)

123

АЛГЕБРА

Раздел III. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ

ветствующее выбранному значению x значение функции, нужно через точку x провести прямую, параллельную оси Oy, до пересечения с графиком F в точке M. Ордината точки M и есть значение функции в точке x.

93. График функции, заданной аналитически.

Пусть функция задана аналитически формулой y = f(x). Тогда ее графиком называется множество всех точек (x; y) координатной плоскости, где y = f(x), à x «пробегает» всю область определения функции f. Например, графиком функции y = x является множество точек вида (x; x), т.е. точек, имеющих одинаковые координаты. Это множество то- чек есть биссектриса I и III координатных углов (рис. 14).

Построим теперь график функции y = x2.

124

АЛГЕБРА

§ 11. Свойства функций

Составим таблицу некоторых значений функции:

Отметим точки (0; 0); (0,5; 0,25); (–0,5; 0,25); (1; 1); (–1; 1); (2; 4); (–2; 4) на координатной плоскости и соединив их плавной линией, получим график (а точ-

нее, эскиз графика) функции y = x2 (рис. 15). Эта линия называется параболой. Вообще, параболой яв-

ляется график любой функции вида y = ax2, ãäå a ¹ 0 (ñì. ï. 131).

94. Четные и нечетные функции. Функция

y = f(x) называется четной, если для любого x из области определения функции выполняется равен-

ñòâî f(-x) = f(x).

Функция y = f(x) называется нечетной, если для любого x из области определения функции выполня-

ется равенство f(-x) = -f(x).

f(-x) ¹ f(x), и хотя бы для одной пары значений x è

–x оказалось, что f(-x) ¹ -f(x), то функция не является ни четной, ни нечетной.

125

АЛГЕБРА

Раздел III. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ

Область определения X как четной, так и нечетной функции должна обладать следующим свой-

ством: если x Î X, òî è -x Î X, ò.å. X — симметричное (относительно O) множество.

П р и м е р. Исследовать на четность функции:

функция не является ни четной, ни нечетной.n

95. Графики четной и нечетной функций. Графики четной и нечетной функций обладают следующими особенностями:

Если функция является четной, то ее график симметричен относительно оси ординат.

Если функция является нечетной, то ее график симметричен относительно начала координат.

П р и м е р. Построить график функции: а) y = x; á) y = x x.

q а) Здесь f(-x) = - x = x = f(x). Значит, функ-

ция четна, а потому ее график симметричен относительно оси ординат.

126

АЛГЕБРА

§ 11. Свойства функций

Åñëè x ³ 0, òî x = x, ò.å. ïðè x ³ 0 имеем

y = x. Графиком функции y = x ïðè x ³ 0 служит биссектриса I координатного угла. Отобразив ее симметрично относительно оси Oy, получим график фун-

êöèè y = x (ðèñ. 16).

б) Имеем f (-x) = (-x) - x = -x x = -f (x). Çíà-

чит, функция нечетна, а потому ее график симметричен относительно начала координат.

Åñëè x ³ 0, òî x = x, à f(x) = x × x = x × x = x2.

Таким образом, при x ³ 0 получаем y = x2. Графиком является ветвь параболы. Преобразовав ее симметрично относительно начала координат, получим

график функции y = x x (ðèñ. 17).n

127

АЛГЕБРА

Раздел III. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ

96. Периодические функции. Функция y = f(x)

называется периодической, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции справедливы равенства

f(x + T) = f(x) = f(x - T).

Число T называется периодом функции y = f(x). Из определения следует, что у периодической функции бесконечно много периодов. Если, например, T — период функции, то и число вида kT, ãäå k — любое целое число, также является периодом

функции.

Чаще всего (но не всегда) среди множества положительных периодов функции можно найти наименьший. Его называют основным периодом.

Обычно рассматривают только основной период и, как правило, говорят просто «период».

Примеры периодических функций (с указанием основного периода):

y = {x} — период T = 1 (ñì. ï. 113);

y = sinx — период T = 2p (ñì. ï. 122); y = tg x — период T = p (ñì. ï. 124);

T.3.1. Если функция f периодическая и имеет период T, то функция Af(kx + b), ãäå A, k è b — постоянные, а k ¹ 0, также периодическая, причем ее период равен T / k.

128

АЛГЕБРА

§ 11. Свойства функций

97. Возрастающие и убывающие функции.

Функция f(x) называется возрастающей на

êöèÿ f(x) называется убывающей на промежутке X, если для любых x1 è x2 èç X таких, что x1 < x2, выполняется неравенство f(x1) > f(x2) (короче:

x1 < x2 Þ f(x1) > f(x2) ). Иными словами, функция возрастает (убывает) на промежутке X, если, ка-

кие бы два значения аргумента, принадлежащие этому промежутку, ни взять, большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) зна- чение функции.

При движении вдоль оси абсцисс слева направо ордината графика возрастающей функции увеличи- вается (рис. 18, à), а ордината графика убывающей функции уменьшается (рис. 18, á).

Возрастающие и убывающие функции объединяются термином монотонные функции.

П р и м е р. Исследовать на монотонность функцию y = 2x2 + 3.

129

АЛГЕБРА

Раздел III. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ

Ðèñ. 18

q Пусть x1 < x2. Тогда, согласно свойствам числовых неравенств (см. п. 26) имеем

прямой.n

§12. Виды функций

98.Постоянная функция. Постоянной называется функция, заданная формулой y = b, ãäå b — íå-

которое число.

Графиком постоянной функции y = b является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая че-

рез точку (0; b) на оси ординат (см. рис. 12).

130