Справочник школьника по математике. 5-11 кл_Маслова Т.Н, Суходский А.М_2008 -672с

АЛГЕБРА

§ 9. Преобразование логарифм. выражений

Примеры трансцендентных выражений: log2 a + log2 b; sin a × cosb × cos g; arcsin(x2 - x).

74. Определение логарифма положительного числа по данному основанию. Логарифмом положительного числа x по основанию a (a > 0, a ¹ 1) называется показатель степени, в которую нужно возвести число a, чтобы получить число x:

log10 0,001 = -3, поскольку 10-3 = 0,001; log0,5 2 =

= – 0,5, òàê êàê (0,5)-0,5 = 20,5 = 2.

Âзаписи loga x число a — основание логарифмa, x — логарифмируемое число.

Из определения логарифма вытекают следующие важные равенства:

loga 1 = 0, loga a = 1.

Первое следует из того, что a0 = 1, а второе — из

òîãî, ÷òî a1 = a. Вообще, имеет место равенство

loga ar = r.

75. Свойства логарифмов.

10. Åñëè x1 > 0 è x2 > 0, òî

loga (x1x2) = loga x1 + loga x2

(логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей).

101

АЛГЕБРА

Раздел II. ВЫРАЖЕНИЯ

Òàê, log3 15 = log3(3 × 5) = log33 + log3 5 = 1 + log3 5. 20. Åñëè x1 > 0 è x2 > 0, òî

loga x1 = loga x1 - loga x2 x2

(логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя).

Òàê, log2 1,25 = log2 5 = log2 5 - log2 4 = log2 5 - 2. 4

Åñëè æå x1 < 0 è x2 < 0, то справедливы равенства

loga (x1x2) = loga x1 + loga x2 ,

30. Åñëè x > 0,òî

loga xr = r loga x

(логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания).

Например, log5 81 = log5 34 = 4log5 3; log3 2 = = log3 20,5 = 0,5 log3 2.

Справедливо следующее утверждение: если k —

четное число, то loga xk = k loga x для любого x ¹ 0. Например, log2 x4 = 4log2 x ; log3 x2 = 2 log3 x.

102

АЛГЕБРА

§ 9. Преобразование логарифм. выражений

Справедливы следующие два свойства, позволяющие перейти к новому основанию логарифма:

40. Åñëè x > 0,òî loga x = logb x logb a

(формула перехода к новому основанию).

Например,

log2 10 = b.

q Перейдем в log5 6 к основанию 2. Воспользовавшись свойством 40, получим

76. Логарифмирование и потенцирование. Если некоторое выражение À составлено из положительных чисел с помощью операций умножения, деления и возведения в степень, то, используя свойства логарифмов, можно выразить loga A через логарифмы входящих в выражение À чисел. Такое преобразование называется логарифмированием.

103

АЛГЕБРА

Раздел II. ВЫРАЖЕНИЯ

П р и м е р 1. Прологарифмировать по основа-

нию 5 выражение 125a3b2 , ãäå a, b, c — положи-

c

тельные числа.

q Используя свойства логарифмов (см. п. 75), получим

= log5 125 + log5 a3 + log5 b2 - log5 c0,5 =

= 3 + 3log5 a + 2 log5 b - 0,5 log5 c. n

Часто приходится решать обратную задачу: находить выражение по его логарифму. Такое преобразование называется потенцированием.

П р и м е р 2. Найти x, åñëè

log3 x = 2 log3 5 + 0,5 log3 8 - 3log3 10. q Имеем

log3 x = log3 25 + log3 80,5 - log3 103 =

77. Десятичный логарифм. Характеристика и мантисса десятичного логарифма. Если основание логарифма равно 10, то логарифм называется десятичным. Вместо записи log10 x принята запись lg x.

104

АЛГЕБРА

§9. Преобразование логарифм. выражений

Âчастности, для десятичных логарифмов справедливы равенства:

lg10n = n.

Пусть положительное число à представлено в стан-

рифмируем число à по основанию 10, воспользовавшись свойствами логарифмов (см. п. 75). Имеем

0 £ lg a1 < 1. Поэтому из равенства (1) следует, что n есть наибольшее целое число, не превосходящее число lg a, иначе говоря, n есть целая часть числа lg a,

ò. å. n = [lg a] (см. п. 33). Слагаемое lg a1 есть дробная часть числа lg a, ò.å. lg a1 = {lg a} (см. п. 33). Целая часть числа lg a, т.е. порядок числа à, называется характеристикой lg a, а дробная часть числа

lg a — åãî мантиссой.

Имеет место следующее утверждение: если число a > 0 умножить на 10k, ãäå k — целое число, òî

105

АЛГЕБРА

Раздел II. ВЫРАЖЕНИЯ

мантисса логарифма не изменится, иными словами, lg a è lg (a × 10k) имеют одинаковые мантиссы.

§ 10. Формулы тригонометрии и их использование для преобразования тригонометрических выражений

78.Тригонометрические выражения. Выражение,

âкотором переменная содержится под знаками тригонометрических функций, называют тригонометрическим. Для преобразования тригонометрических выражений используют свойства тригонометрических функций, отмеченные в пп. 120–125 и формулы тригонометрии, указанные в пп. 79–87.

79.Формулы сложения и вычитания аргументов. Для любых действительных чисел a и b справедливы формулы

которые называются формулами сложения и вы-

читания аргументов.

106

АЛГЕБРА

§ 10. Преобразование тригоном. выражений

107

АЛГЕБРА

Раздел II. ВЫРАЖЕНИЯ

80. Формулы приведения. Ïîä формулами приведения понимают обычно формулы, позволяющие свести значение тригонометрической функции аргу-

= 1× cos a + 0 × sina = cosa.

Подобным же образом выводятся и остальные формулы приведения, которые даны в следующей таблице:

108

АЛГЕБРА

§ 10. Преобразование тригоном. выражений

Для облегчения запоминания формул приведения используют следующее правило:

1. В правой части формулы ставят тот знак, кото-

рый имела бы левая часть при условии 0 < a < p . 2

2. Если в левой части формулы угол равен p ± a 2

èëè 3p ± a, то синус заменяют на косинус, тангенс —

2

на котангенс и наоборот; если же угол равен p ± a или 2p - a, то замены не происходит.

81. Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента. Åñëè â ôîð-

муле (2) из п. 79 положить a = b = t, то получим

тождество (3) — при t ¹ pn, n Î Z.

Равенства (1), (2), (3) связывают между собой различные тригонометрические функции одного и того

109

АЛГЕБРА

Раздел II. ВЫРАЖЕНИЯ

же аргумента. Известны еще два равенства, связывающие между собой различные тригонометрические функции одного и того же аргумента:

Перемножая эти равенства, получаем соотношение

отрицателен, поэтому из двух указанных выше воз-

110