Вариационная статистика

не. С ней 1

Число разн,JЮТ ли удобрения на рост растений в одинаковой мере

выборочноrючвах?

= Vs~/6= 11на первь~ вопрос содержат средние для двух групп

случайное 1= 6•4 и Хл, = 5•6·

кота ый дг·ия этого рода, связанные с неотъемлемыми качествен-

числ~ груnйорами среды, в литературе о дисперсионном анализе

(случайно•' эффект о м среды.

в при т на второй вопрос содержится в итогах двух строк

=3,96, та,= 6,0. Различия, связанные с процессом производства,

Сог.r.ом случае с удобрением, называют э ф ф е к т о м о бра­

следv'ки.

Ответ на третий вопрос следует искать в средних по клеткам

х1·1, ..., х22. Видно, что удобрение В1 на почве А1 привело к сред­

ней х11= 1О, тогда как на почве А2 средняя Х21= 2. Удобр~ие В2

характеризуется обратным указанному результатом: Х12=4;

х22=8. Ответ на третий вопрос выявляет взаимодействие фак­

торов АВ.

В поисках заслуживающего доверия ответа на поставлен­ ные 3 вопроса выдвигаем 3 нулевые гипотезы:

гипотеза На . средние столбцов не отличаются друг от друга

»Нь . средние строк не отличаются друг от друга

К о м по н е н ты о б щей с у м м ы к в а др а т о в. Общая

сумма квадратов~х=~(82+102+ ... +62 +82 +102 )-(60) 2:10=

=468-360= 108. Эту сумму квадратов разделяем на компонен­

ты, измеряющие влияние двух испытываемых факторов, их взаи­ модействие, а также влияние большого числа случайных факто­ ров, т. е. «компонента ошибки»- меры колебаний вс.1едствие

игры случая.

Сумма квадратов, соответствующая каждому из принципов

классификации, вычисляется так же, как и при однофакторнам комплексе,- как сумма квадратов отклонений каждой групповой средней от общей средней (с учетом веса щ каждой средней).

для фактора почвы ~ х~ = (6,4- 6) 2 5 + (5,6 -- 6) 2 5 = 1,6. удобрения ~ х~ = (6,0- 6) 2 4 + (6,0- 6,0) 2 • 6 = О.

«Компонент ошибки», независимый от д~ух положенных в ос­

нову классификации принципов, представляет собой сумму ква­

дратов внутри всех четырех клеток

~ ~ х2 = 8 + 2 + 2 + 8 = 20.

Эта сумма квадратов, разделенная на соответствующее число

степеней свободы, принимается в качестве меры влияния слу­ чайных факторов.

Сумма 3 компонентов ~х~ + ~ х~ + ~~х2 = 1,6+ 0+20 =

= 21,6.

Вычитая этот результат из общей ~х2 = 108, получим остаток

равный 86,4. Этот остаток можно определить как «остаточную

межгрупповую изменчивость». Он будет измерять взаимодейст­

вие АВ.

Для степеней свободы найденных 4 компонентов имеем сле­

дующие зависимости (а- число столбцов, Ь- число строк).

Степень свободы

Дисперсионный анализ показан в табл. 21.

Данные анализа подтверждают нулевую гипотезу На=О;

Нь=О, но не согласуются с нулевой гипотезой Наь=О. Эта гипо­

теза отвергается на 1% -м уровне значимости, т. е. при вероят­ ности р=0,99.

21. Дисперсионный анализ

Из этих результатов анализа делаем вывод, что 2 вида удоб­

рения в\ и в2 тесно взаимодействуют с почвой, т. е. производят

эффект в зависимости от почв. Можно сказать и так: почвы А 1 и А2 по-разному реагируют на удобрения.

Усвоив вышеизложенные теоретические основы днепереион­

нога анализа, читатель может применить различные формулы

и схемы (алгоритмы) дисперсионного анализа.

В работе Н. А. Плохинекого «Алгоритмы биометрии» ( 1967)

содержится значительная часть алгоритмов. Наиболее глубокое

рассмотрение теории дисперсионного анализа можно найти в ра­

ботах Дж. У. Снедекора, Ф. Миллса и др. Автор применил дис­

персионный анализ к оценке факторов возобновления таежных

лесов (см. список литературы).

73

Глава Vlll

ОЦЕНКА МОДЕЛЕИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

§ t. СУЩНОСТЬ И ЗНАЧЕНИЕ ОЦЕНКИ МОДЕЛЕЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Описанным в главе 11 моделям теоретических распределений (нормальное, биномиальное, Пуассона) соответствуют многие

фактические распределения, встречающиеся на практике. В тео­

рии статистической оценки эти теоретические модели являются

основополагающими. Большая часть статистических критериев

оценки параметров применима для распределения нормального

или несильна от него отклоняющегося. При распределениях,

сильно отклоняющихся от нормального, применимы непарамет­

рические критерии. Поэтому окончательному заключению

о структуре распределения в целом и о его параметрах должно

предшествовать решение о соответствии экспериментального рас­

пределения определенной теоретической модели.

Оценка (выбор) модели распределения необходима также

идля последующего статистического анализа эксперименталь­

ного распределения, завершающегося, как правило, выравнива­

нием опытных данных. Дело в том, что численности любого экс­

периментального выборочного распределения есть случайные

величины. Любая другая выборка того же размера, взятая из той же генеральной совокупности, никогда не обнаружит пол­

ного сходства в распределении численностей по класс-вариантам.

Наиболее вероятные (теоретические) численности, точнее

отражающие структуру распределения в генеральной совокуп­

ности, находят, пользуясь соответствующим уравнением, являю­

щимся математической моделью этого распределения.

Найденные теоретические численности или частости являются наиболее эффективными оценками вероятных численностей в ге­

неральной совокупности, если последние были приведены к тому же масштабу.

По вычислении теоретических численностей оценивают сте­

пень расхождений их с численностями эмпирИческими. При этом

используют соответствующие статистические критерии, называе­

мые к р и т ер и я м и с о г л а с и я. В качестве критерия саг.'! а­

сия используют критерий х2 (см. формулу VII1.8), предложенный

К. Пирсоном, а также критерий Л (ламбда), предложенный А. Н. Колмогоровым.

Использование этих критериев позволяет произвести стати­ стически обоснованную оценку степени согласия эксперимен­ тальноi! и теоретической кривых распределения. Чтобы восполь­

зоваться тем или иным критерием оценки необходимо получить значения теоретических численностей, т. е. значения функции

n=f ('т), где n - теоретические численности; т- отклонение зна­

чений признака от средней в долях основного отклонения.

74

Рассмотрим вычисление теоретических численностей распре­ деления для двух конкретных выборочных совокупностейзна­

чений диаметров и значений высот 94 деревьев сосны, приведен­

ных в таб.'l. 2, 5 и 6.

Вычисление теоретических численностен называют также

выравниванием экспериментальных рядов распределения. В ас­

пекте рассмотрения методов оценки распределений на первый

план выступает задача проверки теоретической модели, т. е. вы­

числения теоретических численностей для сопоставления их

сэкспериментальными.

§2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ЧАСТОТ ПО УРАВНЕНИЮ

НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Приближенную оценку экспериментального распределения и выбор для него соответствующей теоретической модели полу­

чают на основе показателей асимметрии и эксцесса. Если оценка

этих показателей с помощью /-критерия описанными в главе

VI методами приводит к выводу о значимости хотя бы одного из показателей (А и Е), то распределение следует считать не согла­

сующимся с моделью нормального распределения, выраженной

формулой (11.12). Если tA и tв (оба), полученные для экспери­

ментального ряда, оказались меньше критического значения t, взятого из табл. 3 прил., распределение следует считать согла­

сующимся с моделью нормального распределения. Полученные

вопыте эксцесс и асимметрию в таком случае относят за счет

случайного состава данной выборки.

Подобная оценка распределений диаметров и высот сосны,

произведенная в табл. 14, дала основание считать, что распреде­

ление диаметров незначимо отклоняется от модели нормального

распределения: tл<to,os и tв<fo,os. В генеральной совокупности

значения параметров а:=О и е=О. Вычисление теоретических

частот для этого распределения следует производить, пользуясь

моделью нормального распределения, рассмотренного в гла­

ве II. Для расчета теоретических частот функция нормального

распределения имеет выражение:

(VIII.l)

где n - теоретические численности классов ряда распределения;

N - обшая численность вариант ряда; k - величина интервала;

s - среднее квадратическое отклонение; л:=3,1416; l/"V2л:

=0,39894; е- основание натуральных логарифмов; е=2,71828;

т-~прмированное отклонение классовых вариант Х от сред­ ней х,

-с= (Х -- x)js. (VIII.2)

При расчетах с rrюмощью .моментов -с= (xk - m1 )/s', (VIII.3)

75

где Xk - условные отклонения; т1 - первый· начальный момент; s' - основное отклонение в единицах интервала, s' ="YJJ.2•

Для модального класса, где Х=Х, т=О, теоретическая часто­

Эту частоту следует вычислить. При построении теоретиче­ ской кривой распределения значение этой максимальной орди­

наты откладывают из точки х. Первый множитель (kN) js в фор­

муле кривой нормального распределения обусловлен показате­

лями изучаемой совокупности. При вычислении показате.1ей с по­

мощью моментов множитель этот упрощается. Именованное

основное отклонение s заменяется произведением величины K.lac-

ca k на основное неименаванное отклонение s' = V !-'-~ . Получим:

(kN) ·s·о= Njs'.

Второй множитель в формуле (VII .1) является функциеl1 нор­ мированного отклонения. Он обозначается символом f(т) и назы­ вается функцией нормированного отклонения. Эта функция­ значения вероятностей распределения величины Х в зависимости

от т. Значения f(т)=0,39894е-~'.2 можно получить из таблиц.

В настоящем пособии значения f(т) приведены в табл. 6 прил. Таким образом, уравнение кривой нормального распределе­

ния имеет следующий рабочий вид:

Расчеты теоретических частот применительно к пос.'1едней

формуле приведены в табл. 22 для совокупности диаметра~"

сосны.

22. Вычисление теоретических частот для ряда диаметров сосны:

N=94, s'= 1,528, N/s'=61,518

х11

76

В 1-й столбец таблицы вписаны классовые варианты ряда, во 2-й- часто­

ты. Введены Х = 12, 44, 48 по правилу х±Зs, имеющие нулевые значения

шшпроизводят на основе ~f(т),

которая должна равняться основному отклонению s'. В рассматривае­ мом ряду s' = 1,528, ~f (т)= 1,527. В 7-м сто.1бце приведены значения теорети­

ческих частот. Правильиость их расчета проверяют сравнением их су~1мы

с суммой экснериментальных частот. С принятой точностью ~ii=~n. Резуль­

таты выравнивания показавы на рис. 6.

§3. ОЦЕНКА СОГЛАСИЯ МЕЖДУ ЭМПИРИЧЕСКИМ

ИТЕОРЕТИЧЕСКИМ РАСПРЕДЕЛЕНИЯМИ. КРИТЕРИИ Х2 И Л

Сущность оценки согласия между экспериментальным (опыт­ ным) и теоретическим распределениями состоит в проверке гипо­

тезы о том, что распределения эти согласуются, а наблюдаю­

щееся расхождение является незначительным, связанным с дей­

ствием случайных факторов. Если, как в нашем примере с рас­

пределением диаметров сосны, имелось основание принять в ка­

честве теоретической модели распределения формулу VI 11-1,

статистическая гипотеза состоит в утверждении, что выборочное

распределение взято из нормальной совокупности с определен­

ными ~ и а, установленными по выборке и равными ~=30,1 см, а=6,11 см. Это обычно записывают в форме: H0 :N (30,1; 6,11).

Альтернативное предположение состоит в том, что положенная

в основу выравнивания опытных данных модель (VII 1.1) не со­

ответствует экспериментальному распределению.

Проверку гипотезы производят сравнением частот эмпири­

ческого и теоретического распределений по одному из вышена­

званных критериев "/.} или Л. Рассмотрим сначала технику оцен­ ки согласия распределений по критерию Л. Условием применения этого критерия является достаточная численность сравнивае­

мых распределений (в несколько десятков вариант).

При сравнении эмпирического распределения с теоретиче­

ским, т. е. при одинаковом числе классов и одинаковой общей

77

численности сравниваемых групп, критерий i-. определяют по

формуле:

где D- максимальная разность (без учета знака) между накоп­

ленными частотами в эмпирическом и теоретическом распреде­

лениях в пределах одного и того же класса; N- общее число

наблюдений в эмпирическом ряду распределения.

Если значение Л не превзойдет критических его значений (1,36; 1,63 и 1,95), соответствующих стандартным степеням

вероятности достоверного различия Р1 =0,95; Р2=0,99 и Рз=

=0,999, то расхождения между теоретическими и эксперимен­

тальными частотами незначимы. Они могут быть объяснены слу­ чайным составом данной выборки. При получении /_ выше ука­

занных критических значений подтверждается альтернативная гипотеза о несоответствии провернемой модели структуре эмпи­

рического выборочного распределения.

Вычисление критерия Л для ряда диаметров сосны приве­ дено в табл. 23.

23. Вычисление критерия Л для выборки диаметров стволов сосны

Найденное значение Л=0,44 не достигает даже первого

порога /.нрит равного 1,36. На основе табл. 12 прил. можно

утверждать, что Л=.0,44 встречается вследствие случайных при· чин с р=0,99. Различие между теоретическим и эмпирическим распределением случайно. Сравниваемые ряды обнаруживают

достаточное согласие. Распределение сосен по классам диа·

метров следует считать соответствующим модели нормального

распределения.

78

Критерий х! nрименяется для решения ряда задач статистиче­

ского анализа, в частности, при проверке гипотез: а) о незави­

симости двух принципов, положенных в основу группировки

результатов наблюдений из одной совокупности; б) об однород­

ности групп в отношении некоторых определяемых характери­

стик; в) о согласии теоретической и экспериментальной кривых численностей. Соответственно задаче и методу определения xz

называют критерием независимости, критерием однородности

и критерием согласия. В главе VI х2 применен в качестве кри­

терия однородности. Рассматриваемая в настоящем параграфе

задача требует исчисления х2 как критерия согласия. Его нахо­

дят из следующего выражения:

(VIII.8)

где n - частоты экспериментальные, n - частоты теоретические.

При расчетах критерия х2 численности классов не должны быть менее 5. Крайние классы поэтому объединяют (табл. 24).

24. Вычисление критерия у} для выборки диаметров стволов сосны

(табл. 7 прил.), принимая число степеней свободы, равным числу

классов без 3, так как в процессе вычисления теоретической кри-

вой использовали N, х, s, потеряв таким образом три степени

свободы.

Сравниваемые распределения объединены в 6 классов (см.

табл. 24). Следовательно, число степеней свободы v=б-3=3.

По табл. 7 прил. z6.os = 7,8. Найденное значение ·/ < /g,os.

79

Вероятность получить значение 1е=6,08 прсвышает 0,10. Рас­

хождение между распределениями незначимо. Оно могло быть

следствием случайных причин, т. е. случайного состава выборки.

Нулевая гипотеза не отвергается.

ствительности) критериев х2 и Л.

§4. ВЫЧИСЛЕНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ЧАСТОТ ПО УРАВНЕНИЮ

ШАРЛЬЕ .(ТИП А)

В том случае, когда показатели распределения А и Е или

один из них оказались значимыми, т. е. когда tA или tE больше критического значения, взятого из табл. 3 прил., или когда при

интервальной оценке параметров а и е интервал покрывает нуль,

выравнивающие частоты бывает целесообразно рассчитать по уравнению Шарлье (тип А). Это распределение является разло­

жением в ряд уравнения кривой нормального распределения.

Оно учитывает имеющиеся асимметрию и эксцесс. Выравнива­

ние по этому уравнению дает вообще лучшую аппроксимацию экспериментального ряда, чем уравнение Лапласа-Гаусса. Последнему, однако, отдают предпочтение во всех случаях,

когда tA <fo,os и tE<fo,os. Исходят при этом из положения, что

при недоказанном отклонении распределения от нормального,

надежнее считать это распределение следующим модели нор­

мального распределения, а найденные показатели А и Е отно­

сить за счет случайного состава выборочной совокупности. Тео­ ретические частоты кривой типа А вычисляют по форму.ТJе

(VIII.9)

где f(т) -значения функции нормальной кривой при N/s'=l, см. прил. 6; fШ(т) и fiV(т)-3, 4-я производные этой функции;

А, Е- асимметрия и эксцесс; N- общая численность вариант

во 2-м столбце записаны частоты ряда; в 4-м столбцеразности ~rежду

условными значениями вариант и первым начальным моментом ряда, т. е. зна­

ных значениях < знак, указанный в таблицах, нужно изменить на обратный.

Для f (т) и / 1 v (т) знаки остаются без изменения, т. е. теми же, что н в таб.1и­

цах, независимо от знака при т.

80