Вариационная статистика

ний nxt с произведениями из табл. 3 прил. Вычисление коэф-

фициентов приведено в табл. 39.

39. Вычисление коэффициентов уравнения параболы 2-го порядка

для диаметров и высот стволов сосны

дующиеся знаки. Это свидетельствует о случайности отклонений между вычисленными и экспериментальными высотами. Уравне­ ние параболы хорошо отражает связь между диаметром и высо­

той деревьев в обследованном древостое. Рис. 11 иллюстрирует

оцененную здесь регрессию высот деревьев на диаметры.

Уравнения гиперболического вида. Многие признаки лесных объектов находятся в обратной зависимости друг с другом,

выражаемой уравнениями гипербол вида

122

Для получения коэффициентов уравнений, т. е. для приведе­

ния уравнений к рабочему конкретному виду, их преобразуют

в уравнения прямолинейного или вообще параболического вида.

По результатам одной выборки из 10 стволов сосны полу­ чены следующие значения высоты Х и видовых чисел У (относи­

Решение конкретных нормальных уравнений (система

;\

табл. 37) приводит к а=0,21, Ь=8,642 и уравнению УХ=

;\

=0,21 Х +8,642 илиУ=0,21 +8,642/Х.

Выравненные, т. е. вычисленные по этому уравнению, видовые

;\

числа У оказались 0,547, 0,512, 0,495, 0,464, 0,461, 0,457, 0,457, 0,453, 0,452, 0,447. Ошибка уравнения Syx= V(~d~x)!(N- 2) =

=0,042. При большой выборке, подобно тому, как показано на

примере парабол, переменвые Х и У преобразуют, т. е. упроща­

ют. При написании уравнений принимают во внимание числен­ ности классов n. Уравнение (Х.32) получает выражение

(Х.34)

Нормальные уравнения будут:

123

Составление нормальных уравнений и их решение произво­

дится по общей схеме. Однако расчеты здесь громоздки. Урав­ нение вида (Х.Зl) используется в лесной таксации.

К параболическому виду приводится и уравнение

(Х.37)

Заменив' Х2/У через У1, получим У1 =а+ ЬХ + сХ2• Норма,1ь­

ными уравнениями будут

1

Если воспользоваться способом кодирования вариант, как это было сделано при вычислении парабол, нормальные урав­

нения примут вид (Х.29).

Уравнение (Х.37) может быть использовано для аппрокси­

мацИи связи высот деревьев и древостоев с их диаметрами,

а также для связи высот деревьев и древостоев с их возрастами

(см. табл. 40).

40. Исходные данные н результаты выравнивания высот 415 древостоев

в зависимости от возраста

124

Значения сумм, входящих в нормальные уравнения (Х.38),

для данных табл. 40 следующие:

~ nX ~ = 37 156 220 000

Уравнение, вычисленное с применением весовых коэффици­

ентов Гаусса C;j, оказалось таким:

/1

У1 = 45,5433- 0,042839Х + 0,036927Х2•

Метод вычисления коэффициентов регрессии с применением весовых коэффициентов в настоящем пособии не рассматрива­ ется. Он подробно изложен Дж. У. Снедекором. Применеине

этого метода особенно эффективно, когда для одних и тех же

значений независимого признака Х находят несколько вариантов значений зависимого У, например, значения высот, высот увели­

ченных или уменьшенных на основное отклонение или трехкрат­

ное отклонение.

В других случаях эффективно вести расчет методом исклю­

чений коэффициентов, по схеме табл. 37 и 39. Результат полу­ чается тот же. Значения выравненных высот для нашего примера

У= Х2/У1.

Средняя квадратическая разность S~x~ 0,82 м.

Уравнения логарифмических парабол. Для выражения корре­

ляционных связей между многими призиаками в лесном деле

и биологии часто применяют параболы полулогарифмического

вида:

Решение уравнений подобно решению простых парабол. От­

личие состоит в том, что значения вариант независимого призна­

ка, а в формулах (Х.41) и (Х.42) и зависимого признака, берут

в логарифмическом виде.

125

Нормальными уравнениями будут:

для (Х.39)

Значения сумм nроизведений зависимого и независимого

признаков, входящих в нормальные уравнения, получают с при­

менением счетных машин.

Степенные функции, приводимые к уравнениям логарифми­ ческих парабол. Зависимости между признаками Х и У, следую­

рифмических парабол. Логарифмируя формулу (Х.45), получим lgy=lga+Ьigx (Х.47). Нормальными уравнениями д!lя него

будут

+c~(lgx)~.

126

Опtетим, что справа от нормальных уравнений показаны

множ1пс,1и (отделенные чертой), использованные при получении этих уравнений из исходного уравнения (Х.49).

При выравнивании вариационного ряда по уравнению y=abx+cigx все члены производиого уравнения в логарифмиче­

ской форме и нормальные уравнения будут иметь перед собой :множите,1ь n, отражающий численности классов. При составле­

нии нор~tальных уравнений их множителями будут ~n, ~n 1g х,

~n(lgx) 2.

Д.1я упрощения формул нормальных уравнений можно при­

нять lg у= У, lg а=А, 1g х=Х Тогда исходное уравнение полу­ чит выражение обыкновенной параболы 2-го порядка

У= А + ЬХ + сХ2•

Всто.1бцах расчетных таблиц следует указать двойное обо­

значение переменных Y=lg у, Х=1g х и т. д.

Уравнение (Х.46) хорошо отражает динамику сумм площадей

сечениii древостоев с их возрастом, а также динамику запасов

древостоев с возрастом. Уравнение (Х.46) применено автором для выравнивания высот 415 сосновых древостоев (данные

таб.1. 40) в зависимости от возраста. Логарифмируя формулу

(Х.46), получили (Х.49), а после вышеуказанного кодирования

Ig х=Х и т. д. уравнение У= А+ ЬХ + сХ2•

Зю-1етим, что здесь Х означает логарифм возраста, У- лога­ рифм высоты, А= lg а.

Нормальными уравнениями будут:

~nY = A~n +b~nX +c~nX2,

Д,1я нахождения входящих в эти уравнения сумм приведем исходные данные и результаты выравнивания в табл. 41. Реше­

нием по схеме табл. 41 получены коэффициенты А=-2,320423,

Ь =3,528138, С=-0,836403.

С.1едовательно, уравнение будет таким:

lg y=-2,320423+3,528138\g x-0,836403(1g х) 2•

1Iодставляя в это уравнение значения 1g х и (1g х) 2, для воз­

·:"lастов 10, 20, 30, ... , 140 лет можно вычислить выравненные зна-

'

чения lg у, а по ним, пользуясь таблицей антилогарифмов, найти

/\

выравненные значения высоты у. Эти значения приведены

в таб.1. 41.

127

Средняя квадратическая разность экспериментальных и вы­

равненных высот s~x оказалась равной 0,52 м.

Трансцендентное уравнение вида y=a(l-e-kt)m. Это урав­

нение отражает закономерность роста деревьев и древостоев

в высоту. Кривая, описываемая уравнением, исходит из начала

координат, имеет вогнутую форму, сначала медленный, затем

быстрый подъем, после чего асамптотически приближается к не­

которому предельному уровню а.

Уравнение для целей выравнивания высот древостоев в связи с возрастом выведено советскими учеными В. Н. Дракиным и Д. И. Вуевским в 1940 г. Суть уравнения и способ его реше­ ния подробно описаны К. Е. Никитиным ( 1963) и О. А. Трул­

лем (1966).

е-х, приводимыми в математическИх таблицах.

Коэффициент а определяет предельное значение высоты, k -

подъем кривой, т- форму изгиба кривой. При т> 1 кривая

эсобразного вида, при т= 1 эсобразный характер утрачивается. Сначала находят т, которое впоследствии уточняют, вместе

с этим уточняют k и т.

128

Просматривая в табл. 43 изменения высоты (2-й столбец), видим, что наивысший рост наблюдается между 40 и 50 годами:

д-ус= (19,4114,13)/10 = 0,528 М, ic = (40 + 50),2 = 45 Л,

Величину h находят по формуле:

h2 = [ (п-1) ~~;-( *~~YJ/[(n- 1) ~~~i- С~~-~~У]. (Х.55)

где n - число классов или строк в табл. 43 (в нашем случае n=13), 11-антилогарифм выражения (1/m)lgy (см. 5-й стол-

п-I

бец). Пределы суммирования означают: ~-сумма без данных

1

n

nоследней строки,~- сумма без данн~Iх первой строки. Все

2

эти суммы приведены в итогах табл. 43. Подставляя их в фор­ мулу Х.55, имеем:

h2 = (12 х 226,241451,8142)1(12 х 210,999149,7092 ) = 0,4952 h = 0,7039 lg h =1,8476 = -0,1524.

Из формулы Х.54

k = -lg h/bl lg е= 0,1524/(10 Х 0,4343) = 0,03509.

Умножая k на t, получают значения kt (столбец 7-й). Далее

получают данные столбцов 8-10-го, сущность которых видна из

их заголовков. Значения e-kt получают по таблицам функций

е-х. Для 10-го столбца находят сумму, отдельно суммируя поло­

жительные мантиссы и затем отрицательные характеристики

lg(1-e-k1). В столбце 11 записывают разности логарифмов,

помещенных в предыдущем столбце, беря значения логарифмов через один интервал, т. е. из логарифма 3-й строки вычитая лога­ рифм 1-й стро1ш, и т. д. В первой и последней строках 11-го столбца проводят черту. Данные столбца суммируют.

Сумму записывают 2 раза. Затем из полученной суммы вычита­ ют две первых и две последних разности .L\lg ( 1-e-h1). Получен­

ный результат (в нашем случае число 0,1891) записывают

в 3-й строке итога. Из этого числа вычитают последующие две

сверху и две снизу разности. Результат опять записывают в ка­ честве итогового. Так производят вычитание 2 пар разностей, пока не получат в оставшейся сумме 1,3 или 4 слагаемых.

В нашем случае осталось 3 слагаемых.

130