Вариационная статистика

В столбцы 4-7 вписывают произведения найденных отклоне­ ний в первой, второй, третьей и четвертой степенях на частоты.

Эти произведения рекомендуется находить последовательно по

строкам, умножая в каждой из них число предыдущего столбца

на одно и то же число- т. е., на отклонение х~~.. Благодаря этому

создаются условия для проверки чисел, помещенных в столбцах

4-7.

Проверка состоит в сравнении помещенных в графе 7 произ­ ведений (nx1) со значениями их, указанными в табл. 2 прил.

10. Вычисление начальных моментов по способу прои3ведеинй

для ряда распределения диаметров стволов сосны

хn

Примечание. т:-см. формулу V.10.

После сделанной проверки вычислений находят алгебраические

суммы чисел каждого столбца, по которым находят затем на­

чальные моменты по формулам:

42

Вычисление моментов рекомендуется производить с точностью до

0,001. Проверку правильиости вычисления начальных моментов

производят по формуле:

т:- четвертый начальный момент относительно нового начала

отсчета отклонений, сдвинутого на один разряд ниже.

т:= [1: n (xk + 1)4]/N, (V.lO)

где (xh + 1) -условные отклонения классовых вариант относи­

тельно нового начала (условной средней). В табл. 10 эта новая условная средняя равна 28 см.

Отклонения от нового начала практически получают, увели­

чивая на единицу отклонения (xh), выписанные в столбце 3. Зна­ чения произведений этих отклонений, взятых в четвер~ой степени (столбец 8), на частоты (взятые из столбца 2) выписывают из

табл. 2 прил.

Данные проверки начальных моментов рекомендуется при­

вести в НИЖ!iей части расчетной таблицы, справа (см. табл. 10).

Вычисление центральных моментов. Центральные моменты

вычисляют по формулам:

- 4 (-4,755) (-0,479) + 6·2,564 (-0,479) 2 -3( -0,479) 4 = 14,565.

в nоследние вместо начальных моментов m2 и m3 их значений, nолученных на

<JCHOBe (V.ll) и (V:12).

43

Проверка:

r-з =тз- 3tJ.zmi- т~= -4,755- 3·2,335 ( -0,479)-

!..1.4 = m4- 4tJ.зmi- 6t..Lzm1mi = 20,309- 4 (-1,290) (-0,479) - - 6. 2,335 ( -0,479) 2 - ( -0,479) 4 = 14,571.

Вычисление выборочных статистических характеристик рас­

пределения. Выборочные статистические характеристики распре­

деления вычисляют на основе моментов или средних ве.1ичин

отклонений вариант, как и в способе условного нача!Iа. Ввиду того, что моменты выражены в единицах интервала k, так как хт,= (X-M')/k, для получения отклонений в единицах нзмерения моменты приходится умножать на величину~ Кроме уже ранее

вычисленных статистических ·характеристик х, s, v для бо.1ьших

выборок, таких как наша и больших, вычисляют показатели

асимметрии и эксцесса.

Форму.~ы для расчета следующие:

в формулах (V.l6)- (V.20) участвуют коды отклонений вариант.

Для ряда диаметров сосны получим следующие выборочные

А=, -1,290/1,5283 = -0,362; Е= 14,665/1,5284 - 3 = -0,328.

§ 4. СПОСОБ СУММ

Вычисление начальных моментов. При вычислении начальных. моментов по способу сумм вычислительная работа упрощается.

Вписав в качестве исходных данных классовые варианты и соот­ ветствующие им частоты, следующие нумерованные столбцы

предназначают для суммирования и последние два ненумерован­

ных столбца, для вышеописанной проверки начальных моментов.

44

Вычисление моментов, а по ним и статистических характери­

стик по способу сумм произведем для ряда распределения высот сосны, приведеиного в табл. 5. Технику расчетов и результаты

приводим в табл. 11.

Против частоты, соответствующей условной средней М', про­

водят черту через все нумерованные столбцы таблицы, разделяя

последнюю на две частиверхнюю и нижнюю. В столбцах 2, 3, 4, 5 добавляют сверху и снизу от проведеиной общей черты

дополнительные черточки в возрастающем количестве 1, 2, 3, 4

и т. д. Таким образом получается фигура из черточек в виде

треугольника.

J]. Вычисление начальных моментов по способу сумм

для ряда распределения высот сосны

Примечание. т: см. V.IO.

45

Составление таблицы состоит в следующем. Численности пер­ вого и последнего классов (в нашем ряду 1 и 11-го) вписывают в те же строки, т. е. первого и последнего классов, во все столб­ цы, не занятые чертой. Каждое последующее число столбца (1),

..., (5) получают как сумму двух чисел, одно из которых стоит

рядом с образуемым числом слева, а другойнад ним (в верх­ ней части таблицы) или под ним (в нижней части таблицы). Строки, занятые черточками, не заполняют. Внизу каждого столбца выписывают суммы верхней и нижней частей таблицы.

Одну из этих вспомогательных сумм, находящуюся в стороне _

вариант, значения которых больше условной средней М' обозна­

чают буквой а, .а другую суммубуквой Ь. Алгебраические суммы этих вспомогательных сумм обозначают буквой s, а раз­

Iюсти их буквой d (в столбцах 1, 2, 3, 4, 5 будем иметь соответ­

ственно SJ, s2, sз, s4, ss и d1, d2, dз, d4, ds).

Правильиость суммирования в 1-м столбце проверяют, сло­ жив наибольшие числа верхней и нижней частей этого столбца с частотой, стоящей против начального значения. Сумма этих трех чисел должна равняться объему ряда. В примере расчета, приведеином в табл. 11, имеем 27 + 14+ 53=94.

Проверка суммирования во 2-м и следующих столбцах состо­ ит в сложении последнего наибольшего числа верхней или ниж­

ней части провернемого столбца с последним числом предыду­

щего столбца, расположенным строкой выше (при проверке ниж­ ней суммы) или строкой ниже (при проверке верхней суммы).

Проверка сумм а и Ь приведена в табл. 11. Начальные моменты вычисляют по формулам:

Р·з = -9,734- 3-4,925·0,223 + 2·0,2233 =

= -9,734-3,295 + 0,022 = -13,007.

l'-4 = 90,457-38,936-0,223 + 29,550-0,050-3·0,002 = = 90,457 + 8,683 + 1,477-0,006 = 100,611.

Проверка:

1-'-з = -9,734- 3 · 4,876 ·0,223-0,2233 = = -9,734-3,262-0,011 = -13,007.

46

р.4 = 90,457 -- 0,892 (--13,007) - 6 · 4,876 ·0,2232 - 0,2234 = = 90,457 + 11,602- 1,454- 0,002 = 100,603.

Вычисление выборочных статистических характеристик рас­

пределения для ряда высот формулы (V.16)- (V.20).

х= 27 + 1·0,223 = 27,22~27,2 м; s=V4,876 =2,21, s=1·2,21=2,21 м v = (2,21/27,2) ·100% = 8,1%

А= -13,07/2,2!3 = 1,307

Е= 100,603/2,21 4 - 3 = 1,233.

Г л а в а VI

СТАТИСТИЧЕСКИй АНАЛИЗ ВЫБОРОЧНЫХ НАБЛЮДЕНИЯ

§ 1. ЗАДАЧИ СТАТИСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА НАБЛЮДЕНИй

Цель большей части исследований не ограничивается вычис­

лением статистических характеристик выборки. Чаще всего инте­

ресуют исследователя статистические характеристики для гене­

ральной совокупности, которые называют параметрами. В дру­

гих случаях необходимо сравнить статистические показатели двух выборок с целью проверки векоторого теоретического пред­ положения об эффективности испытываемого средства или нескольких средств (препаратов) на свойства живых организ­ мов*. Провернемое теоретическое предположение называют гипотезой. Проверку гипотез проводят на основе сравнения ста­ тистических показателей выборочных совокупностей, получив­ ших, например, различный состав или дозы препарата. Стати­ стический анализ должен дать ответ на вопрос: подтверждают

или не подтверждают результаты опыта гипотезу?

В случаях, когда теоретические представления могут быть

с достаточной определенностью выражены математическими

соотношениями или функциями, задача статистического анализа сводится к сопоставлению фактических результатов опыта с тео­

ретически полученными на основе расчета, а также к оценке сте­

пени согласия между ними. Так, теоретическое представление о случайном характере распределения деревьев однородного дре­ востоя по их толщине (диаметру) может быть проверено на

основе сопоставления экспериментального распределения

* В настоящей главе рассматриваются методы анализа показателей двух

некоторых выборок.

47

с теоретической моделью нормального распределения (см. функ­

цию II.lЗ). Для дискретных случайных величин фактические

распределения могут быть оценены на основе модели биноми­

ального распределения или распределения Пуассона.

Наконец, в качестве теоретических часто рассматриваются

результаты, полученные по тому или иному уравнению регрес­

сии, представляющемуся наиболее подходящей моделью аппрок­

симации опытных данных в отношении взаимосвязанного изме­

нения одного признака от одного или от нескодьких других.

Во всех перечисленных случаях статистический анализ про­

изводят, пользуясь определенными методами и критериями.

Статистические методы и критерии, применяемые для оценки результатов наблюдений, бывают двух, видов: параметрические,

когда оценка совокупностей производится на основе сопоставле­

ния параметров распредедения (средней f.t, дисперсии а2 и др.),

и непараметрические, когда оценки свойств совокупностей про­ изводят на основе непосредственного сопоставления значений

варьирующих приЗнаков.

Параметрические методы, как опирающиеся на средние вели­

чины, наиболее эффективны. Однако, они применимы-для сово­

купностей, имеющих нормальное или умеренно отклоняющееся от него распределение. Непараметрические критерии применимы при любой форме распределений.

Методы и критерии оценки разработаны теорией вероятно­

стей и математической статистикой. Однако суть главнейших

критериев, методов их получения и применения проще раскры­

вается на экспериментальной основе.

В настоящей главе рассматривается решение двух первых из

перечисленных в начале параграфа задач статистического ана­

лиза, а именно, оценка параметров на основе одной выборки и сравнение двух выборочных совокупностей.

Методы решения других задач статистического анализа изло­

жены в последующих главах.

§ 2. ВЬIБОРОЧНЬIЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ­ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ*

Оценка параметров, т. е. статистических характеристик гене­ ральной совокупности, является центральной задачей статис­

тики.

В§ l гл. II отмечалось, что характеристикой (оценкой) сред­

ней величины генеральной совокупности f.t может служить

любая, случайно взятая варианта. Однако получение точного

значения f.t по одной варианте имеет небольшую вероятность.

Если мы в качестве оценки для f.t используем выборочную сред-

* Термин «оценка:. употребляется в двух значениях: 1 -как статистиче­ ский показатель, оценивающий (характеризующий) параметр; 2 - как назва­

ние самого процесса оценивания параметра.

48

сосны, для которой средняя х 27,22 м, среднее квадратическое отклонение s=2,21 м. Эту выборочную совокупность будем назы­ вать большой в ы бор к ой. При данном рассмотрении

вопроса об оценках параметров она имитирует генеральную

совокупность. Все средние малых выборок табл. 12 отличаются

от х 27,22. Однако отклонения выборочных средних, являю­

щихся проявлением случайных факторов, обнаруживают опреде­

Часть из этих средних, а именно Х1, i;, ·хз и Хв меньше общей

средней, равной 27,22 м, другая часть их· больше этой средней. Средняя из 9 средних равна 27,22 м, т. е. точно совпадает со

средней для выборки из 94 измерений высот.

Та же статистическая закономерность наблюдается в рас­ пределении 9 значений средних квадратических отклонений, каждое из которых является оценкой среднего квадратического отклонения большой выборки, раБиого 2,21 м. Наиболее пра­ вильно было брi сказать, что они являются оценками неизвест­

ного нам среднего квадратического отклонения генеральной

совокупности о·. Пять значений оценок среднеквадратического отклонения (для 1, 4, 6, 7, 9-й выборок) оказались меньше оцениваемого в данном примере s=2,21 м, остальные боль­

ше его.

Среднее арифметическое из 9 отклонений равно 2,10. Оно

является более надежной оценкой s=2,21 м, чем одно, случайно

взятое из 9 отклонений. Однако средняя арифметическая оценка

для среднего квадратического отклонения является смещенной

(неточной), вследствие того, что определяющим свойством здесь

является сумма квадратов отклонений ~х2. Для получения более точной оценки s нужно вычислить ее как среднюю квадратиче­

скую величину, т. е. сложить все наши средние квадраты, раз­

делить полученную сумму на 9 и из найденного среднего квадра­

та извлечь квадратный корень. Произведя такие арифметиче­

ские действия, получили s=2,17 м, которая является цаиболее

надежной оценкой среднего квадратического отклонения для

большой выборки (N=94), равного 2,21 м.

50

§ 3. ОШИБКИ ВЬIБОРОЧНЬIХ СТАТИСТИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЯ

При рассмотрении среднего квадратического отклонения отмечалось, что его можно рассматривать как меру ошибки выборочной средней, получаемую по одной, случайно взятой

варианте_ря_2.I.а. Аналогично этому в распределении выборочных

средних х1, х2, .•. , Xn среднее отклонение их от средней величины

'в генеральной совокупности 1-t можно рассматривать как ошибку

выборочной средней величины, установленную на основе N

наблюдений.

Ошибку выборочной средней величины называют также

ошибкой репрезентативности. В дальнейшем она обозначается

буквой s:r.

Так как средняя величина вычисляется из некоторого числа вариант, средний квадрат ошибки ее меньше среднего квадрата отклонения отдельных вариант от средней в N раз, т. е.

Выражается s:r в тех же единицах измерения, что и отдельные

варианты. Приведеиные в табл. 12 девять выборочных средних

имеют следующие отклонения в м от средней величины в иссле­

дуемой большой выборке с N=94, равной 27,22 м: -0,32; -0,32;

-Р,12; +0,38; -0,02; +0,28; -0,02; -0,22; +0,38.

Так как средняя из 94 измерений высот является наиболее

совершенной оценкой генеральной средней величины f..t, кото-

рая нам неизвестна, примем условно, что X=f..t=27,22 м. Тогда

отклонения 9 выборочных средних от 1-t можно рассматривать как ошибки репрезентативности или ошибки выборочных

средних.

Средняя квадратическая величина из 9 отклонений равна

0,25 м. Она найдена по формулсs= V-~xз;N (см. IV.ll),

где ~х2 - сумма квадратов отклонений девяти выборочных сред­ них от f..t, N- чис.1о выборок (наблюдений).

Обычно в опытах средняя совокупности 1-t неизвестна. Ошиб­

ку выборочной средней приходится вычислять через выборочное

среднее квадратическое отклонение. Когда объем генеральной

совокупности неизвестен или когда выборка составляет неболь­

шую часть (менее 5%) генеральной совокупности, пользуются формулой (V1.2). При ограниченных генеральных совокупно­ стях ошибку средней бесповторной случайной выборки * опре­

деляют по формуле:

s.к=(s!VN)VI--N/Nг, (VI.З)

где N- объем выборки, Nгобъем генеральной совокупности.

* На практике обычно имеют дело с бесповторной выборкой. Б е сп о в -

г о р rи ой q{азывают выборку, когда nри отборе возвращение наблюденных

вариант в генеральную совокупность не производят. В отличие от нее повтор­ ная выборка образуется по схеме возвращаемых шаров в урну.

51