Вариационная статистика

В положительно асимметричных рядах Мо>х, а в отрицательно асимметричных Мо<Х.

Медианой (Мс) называют значение признака, занимающее

срединное положение в ряду и делящее все распределение на две

равные по численности части.

Среди значений: 56 7 8 9 Ме=7.

Для вариационного ряда

(IV.IO)

где Хозначение нижней границы класса, в котором содер­

жится половина накопленных частот; k - интервал; St- полу­

сумма общей численности ряда, S 1=N/2; S2-накопленная

частота, предшествующая группе, в которой находится медиана.

Для ряда 94 диаметров сосны

тенденции выборки. Они не имеют своего аналога в генеральной

совокупности и поэтому рассматриваются как показатели отно­

сительного характера.

§2. ХАРАКТЕРИСТИКИ ВАРИАЦИИ

Средняя величина не дает достаточного представления о свой­

ствах изучаемой совокупности. Являясь показателем централь­

ной тенденции, т. е. наиболее представительной характеристикой изучаемого коллектива, она не характеризует степени разнооб­ разия (варьирования) отдельных единиц в этом коллективе.

Действительно, ряды из вариант 1, 3, 4, 5, 7 и 3, 4, 4, 4, 5

характеризуются одинаковой средней арифметической х=4, но отличаются по степени вариации значений признака.

Изучение и характеристика вариации являются не менее важ­

нОI'i задачей, чем изучение и характеристика среднего качества

изучаемого явления посредством нахождения той или иной сред­ ней величины. Более того, доверие к самой средней величине может быть определено лишь постольку, поскольку изучена

вариация признака в совокупности. Если рассеяние настолько велико, что нельзя указать никакой ясно выраженной централь­

Н?Й тенденции, то средняя величина не имеет никакого значения. На языке статистики такая средняя не заслуживает доверия.

32

Статистические ме·i оды по-существу имеют главной целью

изучение вариации явлений и представляют собой набор техни­ ческих средств для изучения вариации. С помощью определен­

ных статистических характеристик измеряют вариацию изучае­

мого коллектива, оценивают сходство и различие совокупностей

и групп, устанавливают соотношение между вариациями различ­

ных признаков, испытывают гипотезы.

Наиболее употребимыми статистичесюi!\IИ характеристиками

вариации являются размах варьирования, дисперсия, средне­

квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

Размах варьирования. Размах, или разность между наиболь­ шим и наименьшим значением признака, является грубым пока­ зателем варьирования признака. В двух вышеприведенных ря­

дах, состоящих из пяти вариант, он был бы равным 7-1 =6 и 5-3=2, т. е. указал бы, что в общем вариация в первой группе цифр в 3 раза больше, чем во второй. Однако, опираясь лишь

на два крайних члена ряда, величина размаха не учитывает внут­ реннего, между этими крайними значениями, рассеяния вариант. Кроме того, крайние значения как редко встречающиеся члены ряда весьма неустойчивы по своему размеру и сильно зависят

от объема выборочных наблюдений. Несмотря на это, при малых

выборках, повторяемых несколько раз, размах варьирования

нашел широкое применение.

Среднее квадратическое отклонение и дисперсия. Основной

показатель вариации (изменчивости) -среднее квадратическое

отклонениеесть корень квадратный из средней арифметиче­

ской квадратов отклонений вариант от их средней арифметиче-

Среднее квадратичесi<ое отклонение для выборки обозначают

через s, а для генеральной совокупности ·-а.

Если Х1-х х1; Х2-х х2 ,... , Хп-Х=Х", то согласно опре­

делению:

Столь же широкое применение в статистике находит средний

квадрат отклонений (s 2 для выборки и а2 для генеральной сово­

купности). Эту величину называют дисперсией. Из формулы

(IV.ll) видно, что дисперсия имеет следующее краткое выраже­

ние

(IV.l2)

Для вариационного ряда среднее квадратячеекое отклонение

выразится равенством:

s = V(n1xi + n2x~+ ... + nпх;);л

=- V (~nx2)jN (IV.l3)

110 так как ~X{N = х, (~ x2 ){N = :х~. ТО s2 = ~х21н -х2.

Из (IV.l9) можно вывести, что средний квадрат значений признака 'i:.X2 /N, представляющий собой среднюю квадратическую величину, взятую

в квадрате (см. формулу IV.6), равен сумме квадратов средней арифмети­ ческой и дисперсии, т. е.

или

(IV.20)

В лесной таксации эта формула используется для нахождения среднего квадратического диаметра через средний арифметический диаметр и среднее квадратическое отклонение. С этим методом вычислений имеют дело, когда обработку материалов измерений диаметров производят на электронно-вычис­

.1ительных машинах с определением основных статистических характеристик.

Средняя величина х и среднее квадратическое отклонение дают полную количественную характеристику любой эмпириче­

ской совокупности, распределяемой по нормальному закону.

Средняя арифметИческая отображает действие на признак ос­

новных факторов, определяющих типичный для популяции· уро­ вень развития. Среднее квадратическое отклонение, характери­

зующее варьирование значений признака вокруг центра распре­

деления, является мерой степени влияния на признак различных

второстепенных причин, вызывающих варьирование.

В результате действия этих причин наиболее частыми будут варианты с небольшими отклонениями. Чем отклонения больше, тем варианты встречаются реже. Это положение подробно рас­

смотрено в гл. II § 6 при анализе свойств нормального распре­

деления вероятностей случайного события Х. На основе таблицы значений интеграла вероятностей (см. табл. 5 прил.) показано, что в статистических совокупностях с нормальным (или близ­

ким к нормальному) распределением вариант 68,3% последних имеют значения, не превосходящие J-t±O' и только 31,7% вариант

по своей величине выходят за эти пределы. Отсюда вероятность того, что любая взятая наугад варианта ряда придется вне пре­

делов J-t±O" равна 0,317.

Вероятность случайной варианты (или случайного события)

выйти за пределы интервала J-t±O' обозначим q. В отличие от нее вероятность того, что варианта нахqдится :в пределах J-t±.cr, обо­

значается р. Значение р приведено в табл. 5 прил. Так как пло­

щадь для нормальной кривой или сумма вероятностей прини­ Уiается равной единице (см.§ 6 гл. II), то очевидно, что q= 1-р.

За пределами J-t±2.cr лежит всего 4,5%, а за пределами J-t±3cr- 0,3% общего числа вариант. Следовательно, вероятность того,

что взятая наугад варианта ряда окажется отклоняющейся от fl· на величину, большую 2н и Зсr, соответственно равна 0,045

и 0,003.

35

Более подробные данные о вероятности q отклонения вариант

за пределы f.t ±'Та (где 'Т= (Х- f.t) /а-нормированное, т. е. выра­

женное .в долях а отклонение от средней (см.§ 6 гл. 11), приве­ дены в табл. 7.

7.Вероятность q отклонения вариант за пределы

J.L±T<r

На основании таблицы можно понять толкование среднего квадратического отклонения и как меры средней ошибки одного наблюдения (варианты). Оно дает возможность определять

среднюю величину генеральной совокупности с определенной

надежностью или вероятностью по одной взятой наугад вариан­ те в~ликообъемного ряда с приблизительно нормальным распре­ делением вариант. Можно выразиться, например, так: каждая варианта ряда представляет собой приблизительно среднюю величину ряда, отклоняющуюся от генеральной средней прак­ тически не дальше 2,58.а. Варианту, отклоняющуюся от средней за пределы ±2,58а, можно отнести уже к другому ряду, с дру­

гим fl, так как вероятность того, что она принадлежит еще

к прежнему, известному нам ряду, составляет· меньше 0,01. Это

означает, что, рассуждая таким образом, мы ошибемся в сред-

Коэффициент вариации. Коэффициент вариации, как и s

или а, является показателем изменчивости признака, выражая ее

в относительных единицах. Он представляет собой среднее ква­

дратическое отклонение отдельных вариант ряда от средней ве­

личины, выраженное в процентах:

Являясь показателем, не зависящим от принятых единиц изме­

рения вариант, коэффициент вариации может применяться для

сравнительной оценки величины варьирования различных при­

знаков.

36

§ 3. ХАРАКТЕРИСТИКИ СКОШЕННОСТИ И КРУТИЗНЬI КРИВОИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Для больших выборок (N= 100 и более) вычисляют еще два

статистических показателя, характеризующих распределение

численностей. Дело в том, что в одних случаях распределение

численностей является нормальным и описывается уравнением

Лапласа-Гаусса. В других случаях распределения отличаются

от нормального. Кривая распределения при этом может быть

скошенной. Она может быть также островершииной или, наобо­

рот, туnовершинной.

Скошеннасть кривой называют асимметрией. В качестве меры

асимметрии nринят средний куб отклонения:

< х3 > = (1/N) ~nx3 = (1/N) ~ n (Х- хр. (IV.22)

В самом деле, если ~nx=O, то ~nx3 =0 только в случае строго симметричного распределения. Это можно показать на следую­

щем nримере.

Пусть среди прочих отклонений имеется: Х1 =_:.5 с числен­ ностью n1=6; и Х2=2 с n2=15. ~niXI=-30; ~n2x2=+30. При

нахождении среднего отклонения первой степени имела бы место

компенсация отклонений.

В то же время ~n1xl =-750, "2:.n2xl= + 120. Здесь компенса­

ции уже нет. Величина <х3 > тем больше, чем сильнее асим­

метрия.

Знак величины <х3 > однозначно связан с направлением

асимметрии. При левой асимметрии, т. е. когда вершина кривой сдвинута влево, а правая ветвь кривой растянутазнак поло­ жительный, при правой -отрицательный.

В качестве меры асимметрии обычно принимают не <х3 >,

аего стандартизованное значение, т. е. выраженное в долях

стандартного отклонения, для того чтобы оно не зависело от единиц измерения признака. Эту меру называют показателем

асимметрии или мерой косости. Таким образом, показатель

асимметрии

(IV.23)

При А= О кривая распределения симметрична, но это не оз­

начает того, что она нормальна, т. е. что распределение описы­

вается уравнением (11.12). Кривая распределения может иметь крутизну, отличную от нормальной кривой. Она может быть крутой нли пологой, иногда двухили многовершинной.

В нормальном распределении только 3 варианты или едини­

I\Ы наб..1юдения из 1000 лежат вне пределов утроенного стан­

:Lартноrо отклонения в ту и другую стороны от средней величи­

ны. Еслн за эти пределы выходит большее число единиц совокуп­

Iюсти, то такое явление, называемое эксцессом, сопровождается

большей крутизной кривой, т. е. большим скоплением вариант

37

около х, чем в нормальном распределении. Получаемая кри­ вая оказывается островершинной. Если значения признака (ва-

рианты) расположены в более узких пределах, чем х±Зs, то это явление называют дефектом. Кривая оказывается плосковершин­

ной. В последнее время большинство специалистов по статистике

отклонение крутизны кривой называют эксцесс о м. Эксцесс положителен при остравершинной кривой и отрицательный­ при плосковершинной.

Показатель эксцесса обозначают буквой Е и вычисляют по

где < х4 > = (~ x 4 )/N.

В дальнейшем для вычисления показателя асимметрии и экс­ цесса будут указаны более удобные формулы, использующие

значения моментов ряда или средних отклонений вариант ряда от средней х.

Глава V

СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЧИСЛЕННОСТЕП

В зависимости от объема выборки и имеющихся счетных при­

боров можно применить один из следующих способов ее обра­ ботки: способ непосредственных вычислений, способ условного

начала, способ произведений и способ сумм. Первые два спо­

соба применяют обычно при обработке малых выборок, с числом единиц наблюдения до 25-30. Современная вычислительная

техника позволяет эти способы применять и при большем числе

единиц.

§ 1. СПОСОБ НЕПОСРЕДСТВЕННЬIХ ВЬIЧИСЛЕНИИ

Сущность способа состоит в том, что данные наблюдений

относительно какого-либо приз!:!ака подвергают математической обработке непосредственно без их группировки и составления

вариационного ряда.

Пример вычисления статистических характеристик распреде­

ления этим способом приведен в табл. 8. В 1-м столбце таблицы

вписаны значения ваблюденного признака Х (пусть это будут

значения длины стволиков сеянцев сосны). Во 2-м столбце впи­

саны отклонения отдельных значений от их средней арифмети-

. ческой величины (х=Х-х). ЭтИ отклонения называют цен т­

р а льны м и, поскольку средняя арифметическая величина является центром ряда. В 3-м столбце вписаны квадраты откло­

нений.

38

8. Вычисление статистических характеристик распределения

способом непосредственных вычислениii

- 0 -

§ 2. СПОСОБ УСЛОВНОГО НАЧАЛА

Сущность способа также состоит в расчете статистических

показателей для непреобразованного эмпирического ряда.

В целях упрощения расчетов при вычислении средней вели­

чины и среднего квадратического отклонения используют услов­

ное начало отсчета отклонений вариант. Обозначим его буквой М'.

По определению, данному выше, средняя арифметическая величина является таким числом, алгебраическая сумма откло­

нений отдельных вариант от которого равна нулю (~х=О). Справедливость этого определения подтверждена данными табл. 8. Опираясь на это, можно сказать, что любое условное

начало отсчета отклонений вариант будет отстоять от средней

арифметической на величину среднего отклонения вариант. Сле­

довательно, задача нахождения средней арифметической вели­

чины х через принятое условное начало М' сводится к нахож­

дению средней величины отклонения отдельных вариант от из­

бранного начала.

Обозначив отклонения отдельных вариант Х от условного

начала М' через Хс, можно написать: Хс=Х-М'. Среднее же

39

По данному выше определению

Для нахождения среднего квадратического отклонения s, как

видно из вышеприведенных формул и расчета в табл. 8, необхо­

димо найти сумму квадратов отклонений вариант от средней

арифметической величины ~ х2 = ~ (Х- х)2, Т. е. СУМIМУ ювад­

ратов центральных отклонений. Ее определяют по формуле:

(V.З)

Вычисление средней арифметической величины и среднего

квадратического отклонения для вышерассмотренной малой

выборочной совокупности из 10 длин сеянцев сосны приведено

+s

Остальные статистические показатели s, v вычисляют по фор­

мулам, приведенным в табл. 8.

Поскольку х и 1:х2 оказались такими же, как и при способе

непосредственных вычислений, результат расчета получим

тот жe:_s=l,08 см; v=l9,6%.

40

§ 3. СПОСОБ ПРОИЗВЕДЕНИЯ

Вычисление статистических показателей х и s способом про­

изведений можt~о производить непосредственно по формулам

(IV.2) и (IV.13), используя данные составленных рядов распре­ деления. Однако вычисления оказываются весьма громоздкими

итрудными даже при наличии малых вычислительных машин.

Для облегчения вычислительной работы прибегают к кодирова­ нию вариант и отклонений. Сначала вычисляют отклонения

(разных степеней) и11и моменты ряда, а затем- с их посредством

и статистические показатели, как это было сделано в способе

УСЛОВНОГО начала.

"Понятие о моментах расnределения. Моментом называют

среднее отклонение классовых вариант от средней величины или

от любого выбранного числа.

Моменты называют начальными, если они вычислялись от

условного начала, и центральными, если вычислялись от средней

ряда Х: Начальные моменты обозначают буквой т с индексами,

указывающими на порядок момента или на степень отклонений: т0 - нулевой, т1·- первый, т2второй, тзтретий и т4четвертый ~·начальные моменты, это означает соответственно: среднее отклонение нулевой, первой степени, средний квадрат, средний куб отклонений и т. -д. Причем то= 1, так как все откло­

нения в нулевой степени равны единице, и следовательно, сумма

произведений их на частоты равна общему числу частот. Центральные моменты обозначают буквой 1.1. с теми же индек­

сами: /.l.o. 1.1.1, 1.1.2, JJ,з, /.1.4 и т. д.- соответственно нулевой, первый, второй, третий и четвертый центральные моменты. Причем.

~to= 1; 1.1.1 =О, что легко проверить, пользуясь данным понятием

:\iОМентов.

Вычисление начальных моментов. Техника и расчеты началь­

ных моментов по способу произведений видны из табл. 10.

В 1-м столбце таблицы вписаны классовые варианты иссле­ дуемого признака Х, а во 2-м -соответствующие им частоты n.

Эти два столбца цифр представляют собой исследуемый вариа­

ционный ряд. В 3-м столбце вписывают условные отклонения классовых вариант от условной средней М'. В исследуемом ряду

распределения М' принято равным 32 см. Эти отклонения нахо­

дят по формуле:

где k - величина интервала. В рассматриваемом ряду k=4 см. Для центрального класса условное отклонение равно нулю,

так как значение варианты Х и условного начала М' здесь оди­ наковы. Начиная расчет отклонений от центрального класса,

получим для классов, находящихся в стороне значений вариант

меньших М' натуральный ряд чисел со знаком минус (-1, -2, -3, -4 и т. д), а для классов, находящихся в стороне значений,

яариант больших М' - со знаком плюс ( + 1, +2, +3, +4 и т. д.),

41