Вариационная статистика

14. Статистический анализ выборочных совокупностей диаметров и высот сосны

Выбор1<а диаметров Выборка высот

Ошибки выборочных статистических показателей

Для средней величины в генеральной совокупности, а также для показателей варьирования определен доверительный интер­

вал. Для показателей асимметрии и эксцесса дана оценка зна­

чимости.

Из результатов анализа заключаем, что для ряда диаметров параметры а и 8 значимо не отличаются от нуля. Численности этого ряда можно выравнивать по уравнению (11.13). Для высот а и 8 значимо отличаются от нуля. Кривая распределения высот

асимметрична и туповершинна. Численности этого ряда нельзя выравнивать по уравнению (11 .13).

§В. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЪЕМА ВЫБОРКИ

При планировании опыта приходится репiать вопрос о числе наблюдений или объеме выборки, достаточном для получения оценки средней величины или другого статистического показа­

теля с определенной точностью.

62

Этот вопрос можно решить на основе формулы (VI.2), пре­ образуя которую получим:

Формула указывает число наблюдений для уровня значимости средней в 0,32 (вероятность безошибочного заключения р=0,68). Такой уровень редко признается достаточным. Обычно прини­

мают уровень значимости 0,05 или 0,01. В формулу вводят соот­

ветствующее принимаемому уровню значение t (to,os или to,ol).

Тогда

данным прежних исследований или на основе пробной выборки; s-;-- ошибка средней, планируемая в данном опыте.

Нередко в качестве показателя вариации и показателя точ­ ности выборки используют относительные характеристикико­ эффициент вариации v и показатель точности опыта Р.

Тогда формула для планируемого числа наблюдений будет

такой

(VI.36)

Формулы VI.35 и VI.36 применимы при неограниченной выборке, которая составляет не менее 20% объема генеральной совокуп­

ности. Для ограниченных выборок в указанные формулы вводят nоправку (см. формулу Xll.12).

§ 9. НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОЦЕНКИ

Изложенные в предыдущих параграфах методы оценки пара­

метров основаны на предположении о нормальном или несильна

уклоняющемся от нормального распределении единиц в гене­

ральной совокупности. Когда распределения сильно отклоняются

от нормаЛьного, а выборки малы по объему, сделанные на основе nараметрических методов и критериев оценки могут быть неточ­ ными. В последнее время все большее применевне для таких

ситуаций находят непараметрические методы и критерии, кото­

рые не требуют знания параметров выборкисредней, диспер-

Непараметрические методы применимы для оценки свойств объектов, основанных не только на количественных, но и на

качественных измерениях.

Оценка двух выборок при качественных признаках. Если

применить количественную шкалу для оценки свойств того или

иного явления невозможно, применяют оценки качественные.

Можно, например, расположить отдельные единицы в ранжиро­

ванный ряд от худших к лучшим, допустим, по форме, вкусу,

63

запаху или другим свойствам. Если подобного рода ранжирова­ ния ряда объектов или вариантов эксперимента будут прове­ дены при помощи случайной выборки из числа экспертов, то

можно сделать определенные выводы о ранжированном ряде

в генер;1льной совокупности. Предположим, шесть случайных

экспертов оценивают лекции, сделанные двумя лекторами. В ос­

нову оценки положен учет ряда не измеряемых количественно

факторов: содержан.ие прочитанного материала, форма его пода­

чи, культура чтения и пр. Предположим, независимые оценки с подразделением их на два ранга ( 1 -лучше, 2 - хуже) были

такие. Первый лектор получил пять оценок 1-го ранга и одну

2-го ранга, второй лектор, наоборот. · Нулевая гипотеза состоит в том, что нет значимого различия

в качественной оценке лекций. Для оценки используют крите­ рий х2 (хн-квадрат), формула для которого при малых выбор­

ках имеет выражение:

-1)2/6=1,5. Число степеней при двух группах оценок равно 1.

Из табл. 7 прил. находим хь.оs =3,8. Нулевая гипотеза на уровне

значимости 5% (т. е. при вероятности безошибочности заключе­ ния р=0,95) не отвергается. Она отвергается с вероятностыо 0,90, которую в подобных случаях можно было бы считать доста­

точной, если повторение эксперимента было бы найдено затруд­

нительным.

Оценка двух выборок при количественных признаках. Если

оценивают опыт с парными вариантами, их можно сравнить по

критерию Ф. Уилкоксона. Сущность оценки состоит в проверке

предположения, основанного на том, что при отсутствии разли­

чия между выборками сумма разностей между парами равна нулю или не превышает случайного отклонения. Величину такого отклонения берут из таблиц. Если полученная сумма разностей

больше критической суммы, взятой по таблице, нулевая гипоте­

за об отсутствии различия отвергается. Проверим существен­ ность различия между двумя выборками высот деревьев, взя­ тыми из табл. 2, уменьшив каждое значение на 20.

в табл. 13 значения разностей между вариантами xl и х2

этих выборок приведсны и здесь выпишем их.

рангов проверяется по формуле суммы чисел натурального ряда

T=[N(N+1))/2= (10-11)/2=55.

64

Для раскрытия сущности метода оценки эффекта мероприя­

тия, т. е. дисперсионного анализа, рассмотрим сначала анализ

нескольких выборок, взятых из общей совокупности. Такой опыт

называют у с л овны м эк спер и м е н т о м.

Дж. У. Снедекор (1961) произвел 4 выборки (а=4) из общей совокупности данных по привесу 511 животных. Каждая из групп включала n=5 наблюдений (повторений). Средняя для совокуп­

ности Jl=ЗO, а дисперсия а= 100. Результаты опыта приведены

втабл. 15.

15.Привесы (в фунтах) 4 групп по 5 животных в группе

опыту

в це-

лом

Данные таблицы позволяют получить три оценки дисперсии

в совокупности а2 = 100. Первая оценка получается на основе всех 20 наблюдений

s = (~ x~);(N- l) = 1918/19 = 100,9, (N = ап).

Вторая оценка получается из сумм квадратов внутри четырех групп." Она отражает варьирование «отдельных групп».

s1 = (~ xi + ~х~ + ~х~ + ~х~)/(ап- п) =

= (472 + 396 + 616 + 164)/(20- 4) = 1648/16 = 103.

Групповые средние приводят к третьей оценке дисперсии

совокупностей.

Средний квадрат средних будет равен

[(к~-- х>~ + (К"2- х)2 + ... + (К"4- x)2JI<n- 1) =

= [ (3329) 2 + (3229) 2 + (2729) 2 + (2429) 2 ]/(4-l) = 18.

Число 18 является оценкой а2/5, т. е. оценкой 20.

66

Каждая средняя представляет 5 наблюдений. Следовательно, третья оценка а2 будет равна s2=18·5=90. Она основана на 4 групповых средних при n-1 =4-1 =3 степенях свободы. Сум­ ма квадратов всех групповых средних составит 90Х3=270.

Результаты произведенного подразделения общего варьиро­

Прежде чем делать окончательные выводы, приведем схему расчетов и таблицу анализа в общепринятом виде.

Результат пунктов 2, 3 вносят в таблицу и на их основе полу­ чают данные для объектов (табл. 17).

17. Дисперсионный анализ данных о привесе животных (общепринятая форма)

67

§ 2. ДИСПЕРСИОННЫй АНАЛИЗ СЛУЧАйНЫХ ВЫБОРОК

ИЗ ДВУХ ИЛИ БОЛЬШЕГО ЧИСЛА СОВОКУПНОСТЕП

Вычисление дисперсий. В большинстве приложений диспер­ сионного анализа изучаемые варианты опыта (например, дан­ ные дозы удобрения) влияют на средние. Группы становятся

выборками из различных совокупностей. Считается, что эти

совокупности имеют различные средние f.t, но общую дисперсию,

не зависимую от вариантов опыта. При дисперсионном анализе средний квадрат для объектов оценивает .а2, как ранее было

показано, но средний квадрат групповых средних оказывается

преувеличенным в связи с различиями между f.t· Табл. 18 и 19

представляют данные такого эксперимента.

18.Высота тополевых саженцев, полученных из черенков особей

сразными потомственными данными

(от высоты каждого саженца отнято 50 см)

Вычисления:

Критерий F - отношение дисперсий. Заключение о равен­ стве f.t. Полученные данные приводят к вопросу: обусловлива­ ется ли значительное различие между средними квадратами si и s:] обычным варьированием случайных выборок из одной сово­

купности или оно настолько велико, что следует его приписать

влиянию выборочных средних.

Соответствующая такой постановке вопроса нулевая гипо­ теза такова. Но: ~-t1 =f.t2= ... f.ta (средние групп одинаковы).

Для ответа на подобные вопросы Р. А. Фишер предложил критерий -отношение дисперсий, распределение которого полу­

чено на основе случайных выборок из одной общей совокупности.

68

В главе VI применение критерия F рассматривалось для про­

верки различия в дисперсиях двух малочисленных выборок.

Дж. У. Снедекор знакомит с распределением F=sf/sQ, полу­

ченным на основе 100 выборок по 10 наблюдений в каждой, взятых из уже упоминавшейся общей совокупности по привесу животных. Для каждой выборки по методу, изложенному выше,

Распределение F несимметрично. 65 значений F меньше 1.

Однако среднее значение F=0,96, т. е. близко к ожидаемой еди­

нице. 5% значений F превосходят 2,25, а 1% выше 2,75. Т(!кой таблицей распределения F можно пользоваться для

практических целей. Можно, например, сказать, что при выбор­

ках в 10 единиц значение F~2,75 может встретиться вследствие

случайных причин 1 раз на 100 случаев.

На основе исследований Р. А. Фишера получено теоретиче­ ское распределение F-критерия для разных уровней значимости

идля разлиЧного числа степеней свободы.

Втабл. 4 прил. приведен 5% -ный уровень в распределении F. При числе степеней. свободы v=З и v=20 имеем 5%-ный

уровень критерия F=3,10. Полученное в опыте с саженцами

отношение дисперсий F = si/s~ = 545,5/97,5 = 5,6>Fo,os. Оно

превышает даже F0,01 =4,9.

На основании сопоставления F, полученного в опыте, с таб­

личными значениями можно сказать, что вследствие случайных

причин из одной общей совокупности имеется. менее одной воз­ можности из 100 получить выборку, дающую значение F больше,

чем наблюденное. Очевидно, что данные анализируемой выборки

принадлежат к совокупности с различными !l· Следовательно, должен быть дан положительный ответ на поставленный выше

вопрос о влиянии материнских наследственных качеств на рост

нового поколения. Нулевая гипотеза Н0 : !lt = !L2= ... /la отвер­

гается.

Такой вывод получен на основе установленного значимо более

высокого варьирования между групповыми средними, измеряе-

мого ~. по сравнению с варьированием высот растений внутри

2

групп, измеряемым s2.

Оценка различий между всеми средними. Критерий F указы­

вает на различие средних, но не показывает числа различий,

т. е. что все средние отличаются друг от друга или только неко­

торые. Оценка различий между средними производится путем

определения разности D, которая существенна на 5% -ном уров-

69

не. С ней сравнивают разности, полученные в эксперименте.

Число разностей равно [а(а-1)]/2 D=s;Q, где s;- ошибка

выборочной средней величины. В опыте с саженцами Sx =

= Vs~/6=V97,5/6=4,0, где s2 =97,5- оценка о2, отражающая

случайное варьирование; 6 - число разностей; Q- множитель,

который дается табл. 10 прил., для числа вариантов опыта или

числа групп а и числа степеней свободы для внутригруппового (случайного) варьирования v=N.

В примере с саженцами а=4, v=20. При этих данных Q=

=3,96, тогда D=3,96X4,0= 15,8.

Согласно табл. 18 фактические разности между средними

следующие:

только материнское дерево 2 отличается значимо (на 5% -ном

уровне) более высокими наследственными качествами, имеет значимо большую !!· чем остальные.

Более точную оцеш<у различий между средними дает метоД

последовательного их сравнения. Он заключается в применении значений Q дифференцированно для каждого интервала между групповыми средними. При одном и том же числе степеней сво­

боды для внутригруппового варьирования (в нашем примере

\'=N=20). Здесь изменяется число групп а.

Разность соседних средних 85-76 оценивается при а =2 ,т. е.

Сравнение каждой опытной разности по своим D показывает,

что и в этом случае имеется такЖе одна значимая на 5% -ном

уровне разность 23>Dз= 15,8. Заметим, что вторая разность,

равная 14, совсем близка к критической (14,3), тогда как при

70

предыдущем сравнении по общей критической разност1.

она отличалась от последней более значительно. Это yt- 0+20 =

что метод дифференцированного сравнения более эф

Иногда он показывает значимое различие между в~ остаток

(группами) опыта, которое метод общей разности ~таточ~ую

Дисперсионный анализ с классификацией по двум щi.

В рассмотреннdм выше примере с высотой саженцев Ъуем еле­

пользована классификация только по одному признаку. »,к)·

сионный анализ применим и при классификации по нескЦ

признакам. Ниже рассмотрим пример группировки по двум·.

знакам (факторам), значимость которых проверяют.

Имеем следующие результаты наблюдений Х относительно

влияния удобрений (81 и В2) на почвах с разным качественным

рений,~ xi1, ... , ~ x~z- суммы квадратов отклонений вариант

от средних в клетках.

П ров е р я е м ы с г и п о т е з ы. В опытах, подобных рас­

сматриваемому, интересуют вопросы:

1.Различаются ли значимо по своему эффекту на рост расте­

ний почвы А 1 и А2?

2.Значительно ли различен эффект двух удобрений В1 и Bz?

71