Вариационная статистика

Результаты анализа помещены в табл. 46.

46. Испытание rипотезы парабо.nическоii (2-ii степени) корре.nяции

F = 0,33 2,09 =О, 15 < Fo,os = 5,7.

Результаты совместимы с гипотезой о том, что парабола 2-го по­

рядка приемлема для выражения корреляции между высотами

и диаметрами деревьев сосны.

Значение полученного критерия F настолько мало, что гипо­ тезу о связи высот и диаметров, отражаемой параболой 2-го по­

рядка, можно считатц подтвержденной на высоком уровне значи­

мости. В друrих случаях, возможно, потребовалось бы испытание парабол более высоких степеней или кривой другого вида. Изло­ женный метод при этом не претерпевает изменений. Изменилось лишь число степеней свободы для дисперсии внутри групп. Сле­

дует, однако, учитывать правило, что, если достигнута достаточ­

ная точность выражения связи на основе наиболее простого

уравнения, ему следует отдать предпочтение перед сложным.

Г л а в а Xl

МНОЖЕСТВЕННАЯ РЕГРЕССИЯ И КОРРЕЛЯЦИЯ

В предшествующих главах рассмотрена теория корреляции и регрессии между двумя признаками или переменными У и Х. Однако явления природы подвержены влиянию многих· факторов и колебания одной переменной могут происходить в результате

взаимодействия нескольких сил.

Для решения многих биологических проблем требуется изме­

рение действия ряда факторов на одну переменную или резу,'IЬ­

тативный признак У. Это может быть решено методами множест­

венной регрессии и корреляции.

Символы, применеиные при изложении множественной

регрессии и корреляции, в большей части остаются теми же, что и при изучении связи двух переменных. Но при них в индексе

ставятся подписные значки У, 1, 2 и т. д., указывающие на пере­ менвые У, XI, х2 и т. д.

В настоящей книге рассматривается измерение регресси11

результативного признака У на два независимых Х1 и Х2. Цель

изложения данного материаладать читателю только основы

теории множественной регрессии и корреляции, избегая сложно-

142

сти расчетов и символики. Достаточно подробное изложение более сложных вопросов вариационного анализа множественной

связи можно найти в книгах Дж. У. Снедекора (1961), Ф. Миллса ( 1958). Техника вычислений хорошо изложена в книге А. К. Мит­ рапольского (1961).

Ниже описывается линейная модель регрессии вида, пока­ заиного в формуле Xl.l. Следует подчеркнуть, в связи с вопро­ сом множественной и частной корреляции и регрессии, что рас­

сматриваемые показатели имеют полный смысл при предполо­

жении линейной или приблизительно лиflейной связи ·между

переменным·и. При небольшом отклонении от линейности точ­

ность расчетов снизится, однако они не станут необоснованными. В том случае, когда связь между признаками не линейна, ее иногда возможно привести к линейному виду путем подходя­ щей трансформации, например, принимая вместо переменных их

логарифмы, обратные числа и т. п. В таких случаях показатели s, R применялись бы к преобразованным переменным, от которых

существует обратный_ переход к первоначальным данным и еди­

ницам щмерен:Ия.

Отметим еще одно положение. Множественные (и частные)

коэффициенты корреляции, основанные на уравнениях с боль­ шим числом переменных, мало показательны, если число наблю­

дений не очень велико. При ограниченном объеме выборки

и большом числе переменных можно получить ложное представ­ ление о силе и форме связи. Но если исследования не выходят за пределы указанных здесь и в тексте ограничений и поправок, то методы множественной корреляции представляют собой мощ­

ное средство анализа.

§ 1. РЕГРЕССИЯ С ТРЕМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ (У, Х1, Х2)

Увеличение числа независимых переменных от одной до двух

приводит к необходимости при графической интерпретации ре­ зультатов пользоваться трехмерным пространством. Вместо гео­

метрии на плоскости необходима геометрия в пространстве. Для графического изображения требуется 3 взаимно перпендикуляр­

ных ОСИ КООрдинат. Х1 ОТКЛадывают ВДОЛЬ ОДНОЙ ИЗ НИХ, Х2параллельна 2-й, а У- над плоскостью Х1Х2 на прямой, парал­

.1ельно 3-й оси. Точки такого пространства, фиксированные Х1,

Х2, У, определяют плоскость регрессии.

Уравнение, выражающее такую плоскость связи, будет иметь

вид:

(Х/.1)

где ьУ!.2 и ьУ2.1 являются коэффициентами частной регрессии.

Первый символ читается так: регрессия У на Х1 независимо от Х2. Такое уравнение определяется по наблюденным данным по

методу наименьших квадратов.

143

В табл. 47 приведсны данные об объемах стволов в дмз _ у

квадратах диаметров в см2 - Х, и высотах стволов в м_ х '

Данные взяты из таблиц объемов стволов сосны по диаметр~

и высоте (Н. В. Третьяков и др. «Справочник таксатора». М.-Л.,

Гослесбумиздат, 1952, табл. 28).

47. Значения объемов в дм3 - У, квадратов диаметров в см2- Х1 И ВЫСОТ В М- Х2 CTBOJIOB СОСНЫ

у 1 Х, 1 Х, 1 у 1 Х, 1 Х, 1 у 1 Х, 1 Х, 1 }" 1 Х, 1 Х,

чайных чисел. Однако исходная совокупность деревьев была

предварительно ограничена размерами деревьев.

Отбирали деревья в следующих рамках исходной таблицы:

диаметрот 8 до 20 и высота от 10 до 23 м. Ограничение

144

совокупности деревьев указанной их толщиной преследовало цельобеспечить некоррелированность независимых перемен­

ных Х1, Х2, т. е. диаметров и высот. Это условие представлялось

полностью выполняющимся, поскольку в рамках каждого клас­

са диаметра высота варьировала приблизительно в тех же пре­

делах (10-23 м). Последующая статистическая проверка пока­

зала не полное отсутствие, а лишь умеренную корреляцию. Было

учтено и второе условие для опытного материалапрямоли­

нейность корреляции между признаками У и Х1; У и Х2. Корре­

ляция объема с квадратом диаметра выразилась коэффициентом

корреляции r=0,952 и объема с высотой r=0,794.

§ 2. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ МНОЖЕСТВЕННОЯ РЕГРЕССИИ

Уравнение (XI.1) можно решать как на основе первоначаль­ ных данных У, Х1, Х2, так и на основе центральных отклонений.

Используя первоначальные данные, уравнение запишем в сле­ дующем более простом выражении

(Х\.2)

Нормальными уравнениями будут

~У =а N + ь. ~х. + ь2~Х2

~ух.= а ~х. + ь. ~xi -+- ь2~х.х2 ~УХ2 =а ~Х2 + Ь1 ~Х1Х1 + Ь2 ~Х~.

Подставляя в эти уравнения значения сумм, приведеиные

втабл. 47, и решая их по схеме табл. 39, получим У=-117,44+

+0,5993 Х1 + 8,5672 Х2. Среднее квадратическое отклонение ис­

ходных данных от регрессии Syx может быть найдено обычным путем на основе индивидуальных разностей dyx по формуле

(Х.22).

Для общего представления о величине Syx приведем значения

52 наблюдений. Однако наиболее просто и точно среднее квадра­

тическое отклонение вычисленных значений (ошибка уравнения)

может быть найдено:

путь решения уравнения и оценки его точности мы показали как

наиболее общий для регрессии с двумя, возможно, с тремя пере­

менными. При 3, 4 переменных применяют способ, дающий более облегченное решение. Таким способом является способ

определителей.

В принятой символике для центральных отклонений и коэф­

фициентов регрессии нормальные уравнения будут такими:

~ х1Ьп~ + ~ x,x2bv~.1 = ~ х1у,

~Х1Х2ЬУ1.2 + ~x~bv2.1 = ~х2у.

Два коэффициента частной регрессии из этой системы полу­

чают выражение:

D= 816779 Х 923-17211 2 = 457668496.

ьп2 = (923 х 624 291 - 11211 х 11 503)/457 668 496 = о,6ОО9.

bv2.1 = (816 779 Х 17 50317 211 Х 624 291)/457 668 496 = 7, 7 598.

л -

Уравнение регрессии в общем виде У=у+Ь1х1+Ь2х2 при пере-

ходе к.первоначальным данным будет таким:

л

У= 154,17 +0,6009 (Х1 - 234,31) + 7,7598 (Х~- 15,31) =

= 105,36 + 0,6009Х1 + 7,7598Х2•

Полученное уравнение имеет следующий смысл: объем ствола возрастает в среднем на 0,6 дм3 при увеличении квадрата диа­ метра на 1 см2 и на 7~6 дм3 при увеличении высоты на 1 м. Поскольку размах высот в нашей выборке (см. табл. 47) равен

24-10= 14 М, С ИЗМенением ВЫСОТЫ СВЯЗаНО приблизительно

около 100 дмз варьирования объема. Варьирование квадрата

диаметра измеряется размахом 400-64=336 см2• С ним свя­

.зано 0,6Х336=200 дм3 варьчрования объема, общий размах которого, согласно табл. 47, равен 306 дм3.

Более точно относительная сила связи между У и каждой из

двух независимых переменных может быть установлена сравне-

146

нием двух коэффициентов регрессии. Однако из сделанного ана­

лиза видим, что прямое сравнение полученных коэффициентов

ьУ\.2 и ьУ2.\ эффективно только при одинаковом варьировании

Х1 и Х2, т. е. при равенстве их стандартных отклонений. В других случаях, как в нашем, требуется определить и сравнить стан­ дартные коэффициенты частной регрессии:

Для нашего примера

ь~\.2 = 0,6009 V816779/526589 = 0,7481, bv2.1 = 7,7598 V923/526589 = 0,3246.

Эти коэффициенты подтверждают и уточняют уже ранее сде­ ланный вывод о том, что с изменением квадратов диаметров

деревьев связана преобладающая часть (более 2/ 3 ) общей вариа­ ции объема. Далее будут даны еще более точные оценки этой

связи, на основе коэффициентов частной корреляции.

§ 3. ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ И КРИТЕРИИ ЗНАЧИМОСТИ

Сначала производят оценку значимости регрессии в целом.

Метод оценки был изложен в предыдущем параграфе этой гла­

вы. По критерию F следует сравнить 2 средних квадрата: сред­

ний квадрат, «объясняемый» регрессией, и средний квадрат отклонений от регрессии.

Средний квадрат отклонений от регрессии можно найти

,\

nутем вычис.:1ения разностей dv.12= У- У, возведения их в квадрат

и разделения общей суммы полученных квадратов на их число

(см. форму.'lу X.2l). Однако его лучше получить через

~ У1\~2 = 0,6009 >~ 624291 + 7,7598 х 17 503 = 510956, (XI.6)

~ d~.\2 = 526 589510 956 = 15 633.

147

Дисперсионный анализ регрессии дан в табл. 48.

48. Дисперсионный анализ регрессии

Доверительные интервалы для коэффициентов и оценку их

значимости производят обычным способом по t-критерию.

lь = Ь/sь.

Ошибки коэффициентов регрессии находят по формулам:

§ 4. МНОЖЕСТВЕННЬIИ КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ

Множественный коэффициент корреляции можно определить

по формуле аналогичной для коэффициента корреляции r между

двумя признаками, когда исходят из сумм квадратов.

(XI.9)

148

Различие между R2 и r2 состоит в качественном различии диспер­

сий числителя последнего члена формулы XI.9. Для данных

табл. 47 средние квадраты, измеряющие корреляцию двух при­

знаков У от Х, и У от Xz соответственно равны

S~x, = 31 ,44, S~x, = 62,39.

Средний же квадрат, измеряющий корреляцию У от Х1 и Х2,

равен

По соображениям, изложенным при вычислении индекса кор­ реляции, в полученное на основе выборки R вносят поправку.

где т- число постоянных в уравнении.

В данном случае получим выправленное значение

Коэффициент множественной корреляции является показате­

лем тесноты связи между зависимой переменной и комбинацией измеренных независимых переменных, составля:ющих как бы одну группу сил или факторов.

Коэффициент R не имеет определенного знака. В некоторых

случаях зависимая переменнаякоррелирована положительно

с одними независимыми и отрицательно- с другими. В нашем

случае корреляции У с Х, и У с Xz положительны, поэтому и R

можно считать положительным.

Ошибку выборочного R определяют по формуле

(XI.11)

Тогда оценку значимости производят на основе /-критерия. Одна­

ко применение sн имеет значительные ограничения, на которые

было указано при оценке коэффициента корреляции r.

Более удовлетворительная оценка значимости R дается мето­

дом дисперсионного анал-иза на основе

у

т. е. средний квадрат отклонений исходных значений У от вычис­

л

ленных У.

149

Оценка показала значимость линейной корреляции вида XI .2.

с высокой степенью вероятности.

Иногда более удобно определить отношение дисперсий из

выражения

где k ___:_число независимых переменных уравнения множествен­

ной регрессии. Если R определить как отношение двух сумм

квадратов s~/s~ ,то для формулы XI.IЗ есть эквивалент- XI.9.

уYl.2

§5. ЭФФЕКТИВНОСТЬ МНОЖЕСТВЕННОЯ КОРРЕЛЯЦИИ

Эффективность множественной связи можно оЦенить, сопо­

ставляя коэффициенты корреляции или меры надежности оцен­

ки s. Такие сравнения для рассматриваемого примера приведены

1'50

Также вычислена и регрессия У на Х2.

Для определения ошибки уравнения найдем

~d~x, = ~у2 - (~х~у)2/~хт =

= 526589- (624291) 2/816779 = 49433,

отсюда Syx, = V (~d;x.)f(N- 2) = V 49433/50 = 31,44 дм3•

Подобный расчет для регрессии объема У на высоту Х2 дает постоянные и ошибку, показанные .в табл. 49 (строка 3). Показа­

тели множественной регрессии приведены в нижней строке этой

таблицы. Из данных таблицы видно, что полученная сначала величина s=l01,7 дм3 уменьшена до 17,86, т. е. в 6 раз. Это

означает, что применение уравнений регрессий позволяет значи­

тельно улучшить оценки объема. Наиболее точные оценки полу­

чены по уравнению с двумя независимыми факторами • в 2 раза

точнее, чем по уравнению регрессии объема с квадратом диамет­ ра,.и в 3,5 раза точнее, чем по уравнению регрессии объема с вы­

сотой.

Коэффициенты корреляции (см. табл. 49) показывают тот же эффект, но выражают его менее четко вследствие высокой связи

объема с каждым из факторов.

§ 6. ИЗМЕРЕНИЕ ЧАСТНОй ИЛИ ЧИСТОй СВЯЗИ

МЕЖДУ ПЕРЕМЕННЫМИ

В предшествующем параграфе было измерено комбинирован­

ное действие нескольких независимых признаков Х на резуль­

тативный признак У. Существует, однако, еще другая постановка вопроса, имеющая во многих случаях большое значение. Она

состоит в определении связи между зависимой и одной незави­

симой переменной в предположении постоянства других факто­

ров или сил. Применительно к рассмотренному примеру можно

поставить вопрос так: какова была бы зависимость объема ство­

ла от квадрата диаметра при постоянной высоте стволов?

Такая постановка вопроса постоянно возникает в лесном экс­

перименте, например, при измерении величины урожая древе­ сины в разном возрасте древостоев, изучении влияния на рост

растений, видов удобрения или влияния препаратов для борьбы

с насекомыми.

Традиционный подход к решению вопроса состоит в том,

чтобы обеспечить относительную однородность условий опыта

или в элиминировании всех факторов, кроме изучаемых. Это­

правильный, но в общем не проверенвый в отношении выравнен­

ности условий путь. Можно утверждать, что выравненность усло­

вий, ·сравнительно удовлетворительно достигаемая в химии при

151