Вариационная статистика

1\

Для примера с сеянцами сосны, применяя уравнение У=

!\

=0,332+0,667 Х, для Х: 4, 5, 6, 7 см, получим У, соответственно,

равные 3,0; 3,7; 4,3 и 5,0 см; или наиболее точно: 3,000; 3,667;

1\

4,334; 5,001 см. Вычисленные значения У следует понимать как выравненные (усредненные) с помощью регрессии величины У,

которые наиболее близки к истинным значениям этой величины при данных Х, если бы истинные значения были найдены по большому числу наблюдений.

!1

На этом основании обоснованно считать У и наиболее веро­ ятными значениями величины У.

§ 4. ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЫБОРОЧНОГО СТАНДАРТНОГО ОТКЛОНЕНИЯ ОТ РЕГРЕССИИ

Подобно тому как в задачах с одним признаком (перемен­

ной Х) его варьирование измеряло стандартное отклонение s,

при наличии регрессии варьирование У измеряет среднее квадра­ тическое отклонение от регрессии, обозначаемое Syx- Буквы в ин­ дексе указывают зависимый и независимый признаки. Среднее

квадратическое отклонение от регрессии называют также сред­

называть показатель Syx выборочным стандартным отк.Jiонением

от регрессии, ибо понятие «ошибка уравнения» шире, что пока­ зава в следующем параграфе. Однако для криволинейной регрес­ сии обычно ограничиваются вычислением Syx, как основной

характеристики точности уравнения. Поэтому Syx сохраняет за

собой и название ошибки уравнения.

L(ля получения стандартного отклонения от регрессии необ- ·

и разделщъ ее на число наблюдений. Из полученного среднего

квадрата следует извлечь корень, т. е.

Когда Syx понимают как характеристику вариации в генераль­ ной совокупности, в качестве делителя принимают число степе­ ней свободы, N уменьшается на число коэффициентов уравне-

ния k, т. е. формула для Syx будет Syx= V(~d;x)/(N-k) (Х.22)

L(ля примера с 10 всходами сосны имеем:

112

Сумма квадратов отклонений ~ d;x = 1,56, а для более точ-

суммы квадратов отклонений nеременных Х и У, ~ d;x можно

получить из выражения:

(Х.23)

Подставляя данные нашего nримера, имеем ~ d~x '-'-6,26-

- (7 2)/10,52 = 1,59.

Стандартное отклонение от линейной регрессии длины корней

на длину стволиков всходов сосны будет Syx= V1 ,591( 10- 2) =

=0,446.

Показатель s11x по своему содержанию сходен со значением

среднего квадратического отклонения s11 , измеряющим вариа­

цию У без учета зависимости его от соnутствующего Х. При большом числе отклонений d11x их распределение подчинено нор­ мальному закону: 68% всех отклонений не превзойдут стандарт­

=0), то величина У оnределяется по величине Х точно. В пре­ деле Syx=S11 • Уравнение в этом случае не вносит уточнения при получении информации о У на основе Х по сравнению с тем, когда данные о сопутствующем признаке не используются. Для

1О сеянцев сосны среднее квадратическое отклонение для длины

корней сеянцев Sy=0,83 см (см. табл. 32 и формулу IX.8), Syx= =0,446 см. Эффект регрессии nри измерении вариации У здесь

очевиден. Не обраща5t пока внимания на изменение числа сте­ пеней свободы, можно считать, что эффективность регрессии со­

ставляет 0,830 : 0,446 = 1,86, или 186%. Подробнее об оценке

эффективности регрессии сказано ниже.

§ 5. ОЦЕНКИ КОЭФФИЦИЕНТОВ УРАВНЕНИЯ а И ~­ ВЫБОРОЧНАЯ СТАНДАРТНАЯ ОШИБКА

ВЫЧИСЛЕННОГО ЗНАЧЕНИЯ

Уравнения выборочной прямолинейной регрессии могут быть

лл -

записаны в виде У=а+ЬХ или У=у+Ьх. Коэффициент регрес­

сии в обеих формулах означает степень nриращения величины

л

У при изменении величины Х на единицу ее измерения, или на

единицу Х. Коэффициент а означает уровень регрессии, ее подъ­

ем над осью абсцисс, отсчитанный в начале координат по оси У.

Для уравнения, использующего в качестве nер~менной централь­

ные отклонения х, коэффициент а заменяется у.

Оба коэффициента а и Ь вычисляют на основе выборки. По­

этому они, как и все выборочные показатели, подвержены варьи­ рованию, т. е. в той или иной мере отличаются от соответствую­ щих параметров а и ~. подлежащих статистической оценке. Оценка проводится на основе !-критерия в форме проверки нуле­

вой гипотезы или путем построения интервала для а и ~· Выбо­ рочное стандартное отклонение коэффициента регрессии Ь обо­

значают sь. Его определяют по формуле

iь = 0,667/0,138 = 4,83.

Число степеней свободы равно N-2=8, так как в этих расче­

тах были использованы две средние величины у и Ь (проще счи­

тать, что из N вычитается число степеней свободы, равное числу

коэффициентов уравнения, в данном случае а и Ь).

Найденное значение t>1t0,05 и даже >to,oo1. Следовате.1ьно, выборочный коэффициент Ь является значимым. Провернемая

выражением t нулевая гипотеза о значении коэффициента в гене­

ральной совокупности ~=О отвергается.

Можно указать интервал для ~· Он определяется таким обра­

зом

Ь- io,o;,Sь / ~ ,- Ь + io.o5Sь.

Для длины корней всходов сосны имеем: число степеней сво­

боды N-2= 10-2=8, t0,os=2,31, t0,osSь=2,31 Х0,138=0,319.

Следовательно, 0,667-0,319~~~0,667 +0,319 или 0,348~ ~~

~0,986.

Утверждение, что коэффициент регрессии совокупности (3

находится внутри этих пределов, правильно, если не счiП~lТЬСЯ

с противоречащими этому выборками, которые возможны в од­

ном случае из 20 испытаний. Отметим, что найденные довери­

тельные границы относятся к двум линиям регрессии. с накло­

нами 0,348 и 0,986, которые перскрещиваются друг с другом

ивыборочной линией регрессии в точке О' (Х, у). Коэффициент

аозначает подъем линии регрессии над осью Х. Его ошнбка (и~1

среднее отклонение от а) равна ошибке средней ве.1нчнны у, что видно из следующего заключения относительно ~~=а+ ~х.

т. е. величины ординат в генеральной совокупности.

Рассмотрим значение /А для случая, когда Х_ х, х=О. Тогда

~А=а оценивается непосредственно величиной у. Средннi! квад­ рат отклонения для выборочной средней будет в N раз меньше

')

среднего квадрата вычисленных значений s;.x, подобно ошибке

114

среднеii, вычисляемой по формуле VI.l. Обозначив дисперсию

средней s~x• получим для нее выражение s~x = s~xfN. (Х.26)

Для д.111н корней сеянцев сосны имеем

Доверительный интервал для f.t=a при х=О стро­

получается при оценке f.1 без учета регрессии. Это объясняется тем, что при использовании регрессии вариация У уменьшается за счет фиксирования Х. Это можно понимать приблизительно так, что У изменяется при постоянных Х.

Если Х=1=Х. х=/=0, то может иметь ошибку не только выбо­

рочная средняя У, но и выборочный коэффициент регрессии Ь.

А

Любое вычисленное значение У=у+Ьх будет иметь среднюю квадратическую_ошибку, С<?fтавленную из ошибок двух варьиру­

ющих величин у и Ьх. Для у имеем средний квадрат отклонения

s~_,.= s;x/N, а для Ьх (на основе Х.24) средний квадрат будет

(s~xx~-)'(~ х2). Первая сост~вляющая, т. е. (s;x)/N, будет одна

Значения sл для других Х =5,6,7 см, соответственно, равны

0,157; 0,157; 0,250 см. На основе значений У и s~ на рис. 10

построена доверительная зона для f.ti, обозначенная ABCD. Дове­

рительный интервал (ширина зо­

ны) увеличивается с удалением

от начала координат, перенесен­

ного здесь в точку О' (5,5; 4,0).

ленностислучайный элемент е. Средний квадрат отклонения для отде.1ьного наблюдения или варианты У будет

(Х.28)

Д.1я нашего примера формулировка вопроса, решаемого по­

средством формулы Х.28, была бы такой: Каково стандартное

отклонение длины корня для сеянца, стволик которого имеет,

например, д.1ину 6 см?

Применяя (Х.28), имеет SJ· = 0,446 V 1 + 1/10 + 0,521 10,5 =

л

=0,472 см. При этом результате и при У=4,334 см соответст­ вующий доверительный интервал будет

4,334- 2,31·0,432 < !"" "4,334 + 2,31·0,472,

или 3,244 < !"" < 5,424 см,

что на рис. 1О показано в виде отрезка EF. Для других Х= 4, 5,

!\

7 см (У =3,000; 3,677; 5,001) доверительный интервал соответст­

венно равен 1,820-4,18; 2,577-4,757; 3,821-6,181 см. Довери·­

тельная зона для отдельных значений У отграничена на рис. 11

линиями HF и GE. Видно, что все ваблюденные точки У лежат внутри зоны. Вообще же следует ожидать, что 5% их может

быть и вне ее.

116

Рассмотренный анализ точности оценки значений зависимого

признака с учетом его связи с сопутствующим признаком Х до­

статочно хорошо разработан только для линейной регрессии. Для криволинейной регрессии он сложен и в настоящей книге не рас­

сматривается.

Наиболее совершенную оценку криволинейной регрессии

и корреляции можно произвести на основе дисперсионного ана­

лиза. Основы этого метода оценки как наиболее универсального

пути и~следования связи рассмотрены в § 8 главы Х.

Следующий пункт посвящен ознакомлению читателя с наи­

более распространенными уравнениями регрессии, техникой их вычисления и общими принцилами выбора уравнений.

Нередко исследования связи между признаками могут быть ограничены ее оценкой на основе рассмотренных в главе IX пока­ зателей r. ч. К, вычислением уравнения связи и его ошибки.

§ 6. ТЕХНИКА ВЫЧИСЛЕНИЯ УРАВНЕНИЯ РЕГРЕССИИ

Рассмотренный выше анализ линейной регрессии дает воз­ !\IОЖность читателю выбрать способ решения нормальных урав­

нений, произвести оценку точности уравнения и коэффициентов

регрессии.

При больших выборках расчеты, связанные с нахождением

данных для нормальных уравнений, громоздки, особенно для уравнений с 3 и более постоянными. В таком случае целесооб­ разно представить класс-варианты в кодированном виде. Ниже

нз.1агается техника расчета наиболее распространенных урав­ неннй по способу наименьших квадратов с учетом возможного

об,1егчения вычислительной работы.

Уравнение прямой линии. Основное уравнение линейной регрессии в общем виде У= а +Ьх.

Нормальные уравнения сог.1асно формуле (Х.7) будут:

~ Y=aN +Ь~Х. ~УХ-= а~Х +Ь~Х2•

Суть изложенного в § 2 гл. Х метода получещ1я нормальных

уравнений следующая. При наличии N единиц с двумя измерен­ ными признаками можно составить N' конкретных уравнений.

Наименьшую ошибку будет иметь уравнение, полученное на ос­

нове двух уравнений, объединяющих все N частных уравнений.

Первое уравнение получим, умножив каждый член исходного

уравнения на коэффициент при а, равный 1, и произведя сум- 1\IИрование полученных выражений. Второе нормальное уравне­

ние получим, умножая каждое исходное уравнение на коэффи­

Ц!Iент при Ь, равный Х, и суммируя все N выражений. Заметим, что знак ~ и множитель ~Х отличают соответствен­

но два полученных нормальных уравнения от исходного.

117

Для вариационных рядов, где каждая классовая варианта

встретится n раз, два нормальных уравнения прямой линии при­

мут вид

1)~ nY =а~ n + Ь ~ nX

2)~ n УХ ~.с а~ nX + Ь ~ nX 2 •

Вприведеиных нормальных уравнениях 'Ln=N- общая чис­ ленность единиц наблюдения; 'LnX, 'LnX2 - суммы произведений

частот каждого класса, соответственно, на срединные значени51

классов и на их квадраты; 'LnY- сумма произведений частот по каждому к.тт.ассу на значения зависимой переменной; 'LnXY-

сумма произведений частот по каждому классу на парные про­ изведения переменных. Конкретные числовые значения этих сумм

находят в итогах расчетной таблицы (табл. 36).

36. Выравнивание эмпирического ряда высот сосны по уравнению прямой

Высо·

и при вычислении коэффициентов, входящих в уравнения, в ка­

честве значений независимого признака берут не срединные зна­

чения классов, а условные их значения x,i подобно тому, как это

делали при вычислении моментов.

Избегая отрицательных произведений, в качестве условных срединных значений целесообразно принять натуральный ряд чисел: 1, 2, 3 и т. д. Значения условных классовых вариант можно

выразить формулой:

xk = (Х -- B).'k,

где k - величина интервала; Х- классовые варианты незави­

симого признака; В- число, на которое следует уменьшить наи­ меньшую классовую варианту, чтобы в числителе формулы полу­

чить разность, равную величине класса.

118

Средние эмпирические значения зависимой переменной у;,

взятые из корреляционной таблицы и вписанные в столбец 3

табл. 36, можно также упростить, уменьшив их на некоторую одинаковую величину. В нашем примере значения высот стволов

сосны удобно уменьшить на 20 м, получим у'= ~-20. При та­

ких условиях, принятых для преобразования вариант, нормаль­

ные уравнения линейной регрессии в общем виде запишутся:

~пу' = a~n + Ь ~nxk

(Х.29)

где Xk- условные классовые варианты ряда х, выраженные

вединицах интервала. Сущность их та же, что и условных откло­

нений, применявшихся при расчете моментов для этого ряда. Численно же они отличаются вследствие другого избранного на­

чала отсчеtа отклонений.

Значения сумм, входящих в нормальные уравнения, найдены

втабл. 36. Подставив эти суммы в формулу (Х.29), получим

конкретные выражения нормальных уравнений.

94а + 425Ь = 680,0

425а + 214lb = 3310,4.

Здесь .. мы написали эти уравнения, перенеся значения сумм

зависимой переменной в правую, а независимой- в левую часть

для удобства расчетов.

Вычисление коэффициентов произведено в табл. 37 способом

исключений, с проверкой каждого шага расчетов.

37. Вычисление коэффициентов линейной регрессии высот 94 деревьев

на диаметры

ствующего а, Ь коэффициента, :Е =а+Ь+у; :E/ki- частное от суммы на коэф­ фициент Ь, а и т. д. На~ример, IJ 3-й строке 2,8212 = 1199/425.

119

Конкретное уравнение прямой будесr:

1\,

Yt = 2,370 -;- 1,076xk.

Переходя к значению высоты, получим:

Если уравнение получают, имея в виду только выравнивание

опытных данных, его удобнее применять с числами кода для Х.

1\

Для нашего примера имеем У;= 22,370+ 1,076xk. Подставив

вместо Xk числа 1, 2, 3 и т. д., получим высоты выравненные

л

У; (табл. 36, рис. 11).

у

J/J'

29

"t:. 28

t:;,'27

~25

~25

2'1

2J

22

Дt.шнетр, см

Рнс. 11. Выборочные регрессии высот ство.1ов сосны на диаметры: экспери­

мента.%ная, прямая (а), парабола 2-го порядка (Ь)

Оценку точности уравнения производят посредством вычисЛе­

ния средней квадратической разности между вычисленными зна­ чениями признака и экспериментальными его значениями (см.

формулу Х.22).

Вычисленную по Х.22 величину отклонения от регрессии, как

было отмечено; называют стандартным отклонением. Расчеты

его основывают на отклонениях отдельных значений У от вычис­

/\

~1енных У.

В данном случае мы имеем дело с отклонениями групповых

средних величин Yi от вычисленных средних. В этих отклонениях

120

не содержится всей вариации, присущей вариантам У, отсутству­

ет вариация экспериментальных У от групповых средних Yi· В от­

личие от Syx обозначим среднюю квадратячеекую разность вы-

s~x' = V26,00/(94- 2) = 0,54 м.

Уравнение параболы 2-го порядка. Общий Ьид уравнения

В· прннятой выше системе кода:

у'= а+ Ь ~ xk +с~ x 2k (Х.30). Нормальные уравнения:

С учетом использования данных табл. 36 достаточно получить

повторены для удобства чтения). Значения произведений частот

быть проверены сравнением полученных в табл. 38 произведе-

38.Выравнивание эмпирического ряда высот сосны по уравнению параболы второго порядка

121