Вариационная статистика

При исследовании лесных объектов чаще всего имеют дело

с совокупностями, объем которых неизвестен. Выборки в этом

случае полагают меньшими указанных 5%. Ошибку средней

находят по формуле (VI.2).

Для выборки 94 высот сосны (N =94), которая взята из дре­ востоя с неизвестным числом деревьев Nг, ошибка средней равна

s-; = s 1VN = 2,21/V94 = 0,23 м.

Найденная величина ошибки выборки равна средней квадра­

тическоi'! величине отклонения ряда выборочных средних.

В нашем примере эта средняя квадратическая величина рав­

на 0,25 м. Поэтому находимую по формуле (VI.2) ошибку выбо­

рочной средней понимают как величину, на I<оторую в среднем выборочная средняя отклоняется (отличается) от генеральноii

средней.

При статистической характеристике результатов опыта зна­

чение средней сопровождаете~ указанием ее ошибки, т. е. ре-

зультат записывают в форме х± sx-.

При толковании ошибки средней величины как среднего

квадратического отклонения выборочных средних .i;, i;, .... Х" от

генеральной средней ~необходимо отметить одно свойство. отли­ чающее среднюю ошибку sx от среднего квадратического откло­

нения s. Это свойство состоит в том, что величина средней ошиб­ ки s:r уменьшается с увеличением числа наблюдений N, . тогда

как среднее квадратическоее отклонение в этом отношении

инертно. Отмеченное свойство средней ошибки связано с дейст­

вием статистического закона больших чисел. Этот закон утвер­ ждает, что частость события (установленная по выборке) будет

сколь угодно близкой к его вероятности, если число испытаний

неограниченно возрастает. Рассматривая выборочную среднюю

величину как наиболее вероятную оценку средней генеральной

совокупности, согласно закону больших чисел можно сказать, что при неограниченно возрастающем числе наблюдений разли­ чие между этими средними стремится к нулю, т. е. при N---+oo

sx---+0.

Величина средней ошибки зависит не только от объема вы­ борки, но и от величины варьирования признака, что видно из формулы (VI.2). Чем больше вариация, тем больше ошибка

средней.

Представление о точности опыта часто оказывается наибо­

лее отчетливым на основе сопоставления величины ошибки сред­

ней величины со значением самой средней. Относительную ошиб­

ку опыта, выраженную в %. называют по к аз а т е л е м т о ч­

ности опыта:

(VI.4)

52

Опыт считают достаточно точным при Р меньше 2%, удов­ летворительным nри Р не больше 5%. В некоторых оnытах

с сильно варьирующими nризнаками довольствуются и Р>5%.

Показатель точности можно исnользовать для сравнения точно­

сти различных выборочных средних, в том числе выраженных

вразных мерах.

Другие выборочные характеристики (оценки nараметров):

среднеквадратическое отклонение s, коэффициент вариации v,

показатель асимметрии А и показатель эксцесса Е также содер­

жат в себе ошибки, которые имеют тот же смысл, что и s-;. Они

представляют собой величину, на которую в среднем данный

выборочный показатель отличается от соответствующего пока­

зателя генеральной совокупности.

Для вычисления ошибок перечисленных показателей nриме­

няют формулы:

'

В псс.1сдовательской работе нередко возникает необходимость найти ошибку той илв шюй функции выборочных показателей, например, ошибку сум'V!ы, разности, произведенпя или частного выборочных средних величин. Для этой цели используют следующие формулы.

Средняя ошибка средней арифмет~еско~ величины, найденной на основе

нескольких незавнсимых средних х1, х2, •.• , Xn, пмеющих ошиб1ш sx;. s:r,• ...

53

Чтобы иметь определенный уровень доверия к выборочной средней как к оценке генеральной средней величины, необхо­

димо иметь соответствующий критерий, показывающий, как

изменяются значения s; для выборок разного размера. Такой критерий был создан английскими учеными: в 1908 г. В. С. Гас­ сетом (псевдоним Стьюдент) и в 1925 г.- Р. А. Фишером. Про­

изведя случайные выборки из одной и той же совокупности, они

получили распределение отклонений выборочных средних от генеральной средней, которые явились исключительно следстви­

ем случайных причин. Эти отклонения были выражены Стьюден­ том в единицах стандартного отклонения выборки, т. е. как

(i-11)/s и обозначены Z. Р. А. Фишер выразил отклонения

в единицах стандартной ошибки s::r. В этой форме и в обозначе­ нии t отклонения выборочных средних от генеральной имеют сле-

Нетрудно представить, что вследствие случайных причин

отклонения выборочных средних имеют разную направленность

или алгебраический знак. Одна часть х по своему размеру боль­

ше средней величины совокупности 1-1· другаяменьше ее.

Большие отклонения встречаются редко; тем реже, чем они

больше. Вследствие этого все значения t, устанавливаемые по

выборкам, варьируют около значения, равного нулю и являюще­

гося центром распределения t.

Данные табл. 12 подтверждают эти положения. Американ­

ский ученый Дж. У. Снедекор ( 1961) вышеописанным методом получил 511 значений для выборок в 10 единиц по привесу животных. Оказалось, что только 10% всех значений t имели

уровень, превышающий 1,83, 5% значений превысили 2,26 и лишь

1% превысил значение 3,25. · -

Такими пограничными уровнями в распределении t можно

пользоваться как предельными (критическими) значениями,

которые с определенной вероятностью могут быть следствием

случайных причин. В опыте Дж. У. Снедекора о вероятности

54

приходится судить по частости события, т. е. по относительному

числу случаев превышения указанных значений t. Значение t= =3,25 и более при числе степеней свободы v=N-1 =9 встре­ чается редко, не более одного раза на 100 выборочных значе­

щие различному числу степеней свободы и наиболее употреби­ мым (стандартным) уровням вероятности р = 0,95; р = 0,99 и р=0,999 безошибочного заключения. Если найденное в ка­ ком-либо опыте t превзойдет по величине табличное значение для данного уровня вероятности, его нельзя уже объяснить случай­

ными причинами.

§5. ОЦЕНКА ТОЧКИ И ИНТЕРВАЛА ДЛЯ ПАРАМЕТРА

В § 1 гл. VI отмечалось, что одной из главных Задач стати­

стического анализа является заключение о величине лаказате­

лей в генеральной совокупности (парам!тров) на основе выбо­

рочных показателей, например средней х, среднего квадратиче­

ского отклонения s и т. д.

В ряде случаев ограничиваются нахождением выборочных

показателей и принимают их за оценки параметров (этокон­ кретные оценки). Хотя эти оценки, если использован правиль­

ный метод расчета, являются лучшими характеристиками для параметров, однако и они подвержены случайному варьирова­

нию, а следовательно, не могут быть абсолютно точными. Поэто­

му в большинстве случаев статистический анализ принимает форму установления пределов, внутри которых, как мы можем ожидать с векоторой мерой надежности, заключено значение ·

параметра. Эту форму анализа называют установлением интер­

вала оценки И'ЛИ интервальной оценкой параметра. Существен­

ная черта установления интервала оценки состоит в том, что

неопределенность, свойственная каждому индуктивному заклю­

чению, получает на статистическом материале выражение ее

Построение интервала оценки производят на основе выбороч­

ного статистического показателя и критерия t, принимая для

последнего определенный стандартный уровень значимости. Уровне м значим о с т и критери я называют разни­

ау между единицей и принимаемой вероятностью безошибочного заключения. Иначе: уровень значимости характеризует относи­ тельное число ошибочных заключений в общем числе заключе­ ний. Если, например, для средней в генеральной совокупности !..t

указать ИНТервал Х± fo,osSx, ТО С верОЯТНОСТЬЮ 0,95 МОЖНО

утверждать, что этот интервал покроет f..t· Имеется только одна

возможность из 20, неблагоприятствующая осуществлению этого

утверждения. Интервал x-ts;~>f..t~X-+ ts; (V1.20) называют

д о верит е льны м и н т ер в а л о м. Степень доверия зависит

55

Для ряда высот выборочная средняя из 94 наблюдений равна 27,2 м, среднее квадратическое отклонение s=2,21 м, ошибка средней (по формуле Vl.2) sx-=0,23. При 5%-ном уровне зnачи­ мости =2,0 (см. табл. 3 nрил.) nолучим следующий интервал для 27,2-2,0·0,23~~-t~27,2+2,0·0,23, т. е. от 26,7 до 27,7 м.

На основе малых выборок (наnример 1О единиц), какие nри­ ведены в табл. 12, имели бы, в общем, менее точные оценки f-t·

1-я выборка, для которой х=26,9, s; = s,·~-N = 1,94,'10=0,61,

дает интервал nри 10,05 =2,3 от 25,5 до 28,3 м.

Выборки в 5 единиц дают еще менее точные оценки. Выборка

Рассмотренный метод интервальной оценки на nримере J.1

nримен им ко всем статистическим nоказателям. а, v, а, е- гене­

ральной совокупности. Различия возникают только nри вычис­

лении средних ошибок nри малых выборках, что будет nоказано ниже. При малых выборках, взятых из совокуnностей с ненор­

мальным расnределением, !-критерий и интервальная оценка не эффективны.

§6. ИСПЬIТдНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

Вбиологических исследованиях наиболее расnространенной

формой статистических заключений является исnытание некото­

рой статистической гиnотезы (nредnоложения) о свойствах nара­

метра, которые имеют гиnотетические значения.

Во многих оnытах целесообразно оценить nараметр nутем nроверки статистической гиnотезы в отношении его размера.

Наиболее часто nровернется nредnоложение, что nолученная выборочная величина незначимо отличается от гиnотетической (теоретически nредnолагаемой) или установленной величины

в генеральной совокуnности. Выдвигается гиnотеза Н0, что истин­

ная разность равна нулю. В таком виде гиnотеза часто называ­ ется н у л ев ой. Проверка гипотезы состоит в выяснении сов­

местимости наблюденных данных с этой гипотезой. Применяют

критерий, который nри оценке значимости различия средних

Формула может быть обобщена в том отношении, что она nри­

менима для оценки значимости любого статистического nоказа­

теля Т, к которому нулевая гиnотеза разумна. В этом обобщен­ ном виде формула t= Т/sт (VI.22) nрименена ниже для оценки

ряда статистических nоказателей.

56

Критерий t обычно называют к р и т ер и е м з н а ч и м о с т и

(или существенности). При фактически полученном в опыте зна­

чении t<t; (где t;- критическое значение этого критерия, взн­

тое из таблиц для уровня значимости 5 или 1%) опытные данные

совместимы с гипотезой, т. е. Н0 подтверждается. Полученнос

значение выборочного показателя в таком случае нсзначимо от­

личаетсн от нуля, т. е .является незначимым или несущестJЗеННЫI\1.

Если по.1Ученное экспериментальное значение t>to,os или to,oi,

данные опыта считаются не совместимыми с гипотезой Но, т. с.

гипотеза отвергается. Оценку параметра ll в этой форме (в фор­

ме проверки значимости различин X-fl) можно рассмотреть

на примере разности двух вариантов опыта.

Значимость разностей парных опытов. В опытах чаще всего

возникают проблемы оценки разности между эффектами, напри­ мер, между приростами растений, получившими разные удобре­ ния, разный уход и пр. В таком случае образуются парные наблюдения. Одно из них относится к первому варианту опыта,

второе к другому. Разности между значениями признаков по

парам образуют выборку, на основе которой делают заключения. Разности могут быть результатом изучаемого эффекта, но могут

получаться также и в результате случайных неизвестных при­

чин. Когда действовали бы только случайные причины, напри­

мер, в выборках из одной и той же совокупности, разности носи­ ли бы случайный характер и имели разный знак. Средняя этих разностей ,равна нулю. Если средl-!ЯЯ разность не равна нулю,

еезначимость следует оценить.

Вданном параграфе изложены оценки и критерий для раз­

ностей париого опыта. Их лучше раскрыть на искусственной

модели двух выборок из одной совокупности. Произведем две

случайные выборки по 10 значениям высот сосны из данных

табл. 2, где имеется 94 таких значения. Отбор можно произвести по таблице случайных чисел. Но так как значения высот в ис­

ходной совокупности случайны, то возьмем, например, 1 и 9-й де­

сяток их. Значения высот, взятые попарно 1-81; 2-82 и т. д.,

помещены в табл. 13, в которой произведен расчет раз­ ностей и квадратов. Каждое значение высоты уменьше­

но на 20 м.

Сумма квадратов отклонений ~d2 =-0,552+ (-2,15)2+ ... + + (-2,25) 2=55,075. Средний квадрат отклонений (дисперсия}

s~ = (~ d 2 )/(N- 1) = 55,075/9 = 6, 12.

Средний квадрат ошибки выборки из разностей

s~ = s~/N = 6,12/10 = 0,61.

51

13. Значения разностей парных вариантов высот сосны, взятых из табл. 2 (каждое значение высоты уменьшено на 20 м)

Средние

~=7,56

Выборочная ошибка разности Sit=0,78.

Примем обычную форму нулевой гипотезы о том, что выборки представляют одну генеральную совокупность, т. е. что ~-tD=O.

В нашем опыте со случайными парами это предположение не вы­

зывает сомнений, хотя и проверяется.

Гипотезу провернем на основе критерия t

(VI.23)

Для данных табл. 13

t = (0,65- 0)/0, 78 = 0,83.

При числе свободы v=N-1 =9 критическое значение to,o5=2,3.

Следовательно, полученное опытное t=0,83 является обычным

для выборок из нормальной совокупности со средней ~-tv=O. Раз­

ность d 0,65 м является незначимой. Нулевая гипотеза об от­

сутствии различий в вариантах подтверждена.

Следует обратить внимание на вопрос об основаниях и усло­

виях париого сравнения. В предыдущем параграфе сравнивали случайные варианты опытов и на основе случайных пар, взятых

по списку. Цель такого сравнения.- показать только метод

лроверки значимости разности двух вариантов такого опыта.

В практике, однако, метод париого сравнения может быть весьма эффективным, когда удается образовать пары, различие

58

внутри которых будет меньше, чем между парами. Такими пара­

ми могут быть два варианта опыта, расположенных рядом в оди­

наковых или близких условиях, или урожайность двух сортов

какой-нибудь культуры, наблюденная по годам, испытания пре­

парата на двух половинках листа и т. д.

В ПС\рных опытах уменьшается случайная вариация и резуль­

тат при одном и том же объеме выборок будет более точным, чем в опытах со случайным набором значений изучаемого при­

знака.

Если бы было известно, что два взятых для опыта объекта абсолютно тождественны, то различие между вариантами могло быть установлено путем сравнения одной пары объектов. Однако абсолютной тождественности в природе не наблюдается. Чем больше различий между объектами, тем больше потребуется парных наблюдений для сбалансирования различия случайного

характера, чтобы получить заслуживающий доверия результат.

Значимость разности средних х1 и х2 независимых выборок. Когда выборки независимы, производят сравнение не отдельных

наблюдений (пар), а двух выборочных средних х1 и х;·. Поста­

новк_а вопроса будет такой: обусловлена ли полученная разность

х1-х2 наличием реальной разности J.L 1-J.L2 или она является ре­ зультатом случайных отклонений от средней одной и той же сово­ купности?

В табл. 13 были обработаны, хотя и по методу для парных

опытов, независимые выборки. Пары были организованы слу­

чайно. Выборки такого состава более правильно оценивать на

основе t, определяемого по формуле (VI.25).

Способы вычисления выборочных средних и дисперсий изло-

59

Различие в выборочных средних незначимо. Нулевая гипо­

теза подтверждается.

При разном числе наблюдений в выборках (Nt =i=N2) значи­

мость различия между средними проверяют таким же образом, только ошибку разности средних находят по формуле (VI.14).

Значимость выборочных средних или их разностей при неиз­

вестном распределении. В тех случаях, когда нет оснований полагать, что распределение признака в генеральной совокупно­

сти подчиняется модели нормального распределения, генерал~

ную среднюю, а также и разности выборочных средних х1-х2 оценивают приближенно. Применяя рассмотренные выше мето­

ды оценки, в качестве критического значения для t принимают

число 3.

Значимость ра~личия выборочных дисперсий (и стандартных отклонений). При выборках не очень малого размера (n>30)

значимость различия между стандартными отклонениями St и s2

оценивают с помощью

и рассмотренный метод оценки этих разностей (по доверитель­ ным .границам или проверкой Н0 на основе !-критерия) является

неточным.

Р. А. Фишер предложил вместо разностей s 1 и s 2 оценивать разность Z = lп s1-lп s 2, которая имеет нормальное распределе­ ние и при выборках среднего объема. При вычислении Z можно

пользоваться десятичными логарифмами Z =2,3026 (lg s 1-lg s 2 ),

а также Z= 1,1513\g(si/s~). Позднее для облегчения расчетов

вместо логарифма отношений дисперсий были взяты самые отно­ шения, обозначенные

(VI.28)

Они получили название критерия Фишера.

Критические значения этого критерия приведены в табл. 4 прил. Оценка достоверности различия по критерию F произво­ дится аналогично оценке по !-критерию. Использование F-кри­ терия рассмотрено в главе VII.

Значимость различия между выборками с разными диспер­

сиями. Если выборочные дисперсии различаются значимо, сле­

дует применять приближенные методы оценки различия между

х(' и Х2. При одинаковом размере выборок N( =N2 для критиче­

ского значения t (табличного) принимают число степеней сво­ боды не 2(N-1), как в случае s 1=s2, а v=N-1.

60

Если N 1=FN2 табличное значение определяют из критических

значений каждой из выборок, как взвешенную величину

Значимость различий качественных признаков. Качественные

признаки, распределяющиеся по модели биномиального распре­ деления, оценивают на основе долей. Методы оценки аналогичны

вышерассмотренным для средних, выраженных в количественной

мере.

Ошибка разности выборочных долей р1 и р2 определяется

по формуле:

(VI.ЗO)

Д.пя критерия t с числом степеней свободы· v=N1-N2-2

имеем

(VI.Зl)

Когда имеется одна выборка, значение средней ее доли может быть оценено путем сравнения с гипотетической (теоретической)

долей. Например, в отношении теоретической доли рождаемости

мальчиков может быть выдвинута нулевая гипотеза Н0: Р=0,5.

В этом случае критерий

где Р- теоретическая доля или вероятность, р- выборочная

доля, N- численность выборки. При

{\il.33)

§ 7. РЕЗУЛЬТАТЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

ВЫБОРОЧНЫХ СОВОКУПНОСТЕП ДИАМЕТРОВ И ВЫСОТ СОСНЫ

Изложенные выше в настоящей главе методы статистического анализа целесообразно привести в виде алгоритма на примере

конкретной выборки.

Примем для этой цели выборку из 94 значений диаметров и высот сосны, приведеиную в табл. 2.

Статистические характеристики распределения численностей

в этих выборочных совокупностях, полученные в конце §§ 3 и 4 (гл. V), следующие:

В табл. 14 вычислены ошибки этих выборочных статистиче­

ских характеристик двух распределений и оценки параметров.

61