Лекция дискрет 04 (1)
.pdf
§1.3. Отношения
1)Определения
Подмножество R Mn называется n-местным отношением на множестве М. Если (m1,m2,…,mn) R, то говорят, что m1,m2,…,mn находятся в отношении R
Одноместное (n=1) отношение – признак, свойство, унарное отношение
Двухместное (n=2) отношение – бинарное отношение. Вместо записи (mi,mj) R используется запись miRmj
2) Свойства бинарных отношений
Бинарное отношение R на множестве М называется рефлексивным, если для всех элементов mi M имеет место mi R mi
Бинарное отношение R на множестве М называется антирефлексивным, если ни для какого элемента mi M не
выполняется mi R mi
Бинарное отношение R на множестве М называется симметричным,
если для любых элементов mi M и mj M mi R mj и mj R mi имеют место только одновременно
Бинарное отношение R на множестве М называется антисимметричным, если для любых элементов mi M и mj M
mi R mj и mj R mi имеют место одновременно только при i = j
Бинарное отношение R на множестве М называется транзитивным, если для любых элементов mi M, mj M и mk M
из mi R mj и mj R mk следует mi R mk
3) Виды бинарных отношений
|
Р |
А/Р |
С |
А/С |
Т |
|
|
|
|
|
|
Строгий порядок |
- |
+ |
- |
+ |
+ |
|
|
|
|
|
|
Нестрогий порядок |
+ |
- |
- |
+ |
+ |
|
|
|
|
|
|
Эквивалентность |
+ |
- |
+ |
- |
+ |
|
|
|
|
|
|
Бинарное отношение называется отношением строгого порядка, если оно антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно
Бинарное отношение называется отношением нестрогого порядка, если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно
Бинарное отношение называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно
4) Способы задания бинарных отношений
Способы задания бинарного отношения R на М
Непосредственное перечисление пар (x, y) R
Указание условия (условий) включения (x, y) в R
Представление R фактор-множеством M / R
Представление R двоичной матрицей
Сечение множества и фактор-множество M / R
При заданном отношении R M2 левое сечение множества М относительно элемента mj M – множество элементов mi M таких, что (mi, mj) R M2, то есть
Sl(mj,R) = mi M: mi R mj
При заданном отношении R M2 правое сечение множества М относительно элемента mj M – множество элементов
mi M таких, что (mj, mi) R M2, то есть
Sr(mj,R) = mi M: mj R mi
Если отношение R M2 симметрично, то имеем просто сечение множества М относительно элемента mj M:
Sl(mj,R) = Sr(mj,R) = S(mj,R)
Фактор-множество M / R множества М по отношению R – совокупность сечений, построенных для всех элементов mj M, то есть
M / R = S(mj) : mj M
Если отношение R M2 является отношением эквивалентности, то оно однозначно определяется своим фактор-множеством M / R
Представление отношения R на М двоичной матрицей
Матрица бинарного отношения R на конечном множестве M = { m1, m2, … , mn } – это квадратная матрица ║С║ n-го
порядка, в которой cij = 1, если mi R mj, и cij = 0 в противном случае
M = { a, b, c, d } |
║С║ |
a |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
a |
0 |
R = { (a, b), (a, d), (b, b), (b, c), |
|
b |
0 |
|
|
|
|
(c, a), (c, b), (d, c) } |
|
c |
1 |
|
|
|
|
|
|
d |
0 |
|
|
|
|
b c d
1 0 1
1 1 0
1 0 0
0 1 0
R M2 – бинарные отношения на конечном множестве
M = m1, m2, … , mn
взаимно однозначное соответствие
║ С ║ - множество квадратных
матриц n-го порядка с элементами cij 0, 1
5) Свойства бинарных отношений и их матрицы
Бинарное отношение R на множестве М называется рефлексивным, если для всех элементов mi M имеет место miRmi
Главная диагональ матрицы состоит из одних единиц
Бинарное отношение R на множестве М называется антирефлексивным, если ни для какого элемента mi M не выполняется miRmi
Главная диагональ матрицы состоит из одних нулей
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0