Лекция дискрет 02
.pdf
Лекция № 2 14 сентября 2015 г.
Глава 1. Теория множеств
§ 1.1. Исходные понятия
Объединение множеств А и В - множество С, состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному
из множеств А или В, т.е. С=А В={c: c A или с В}
Разность множеств А и В - множество С, состоящее из элементов, принадлежащих множеству А, но не
входящих в множество В, т.е. С=А\В={c: c A и с В}
Пересечение множеств А и В - множество С, состоящее из элементов, которые принадлежат как множеству А, так и множеству В
одновременно, т.е. С=А В={c: c A и с В}
U – универсум - множество, включающее все множества, участвующие в рассматриваемой задаче. Разность U\А - дополнение множества А, обозначается А
Декартово (прямое) произведение непустых множеств M1, M2,…,Mn – множество,
состоящее из всех (если хотя бы одно Mi – бесконечное, то
говорим любых) n-элементных кортежей (упорядоченных наборов), первый элемент которых принадлежит множеству М1, второй – множеству М2, …, n-ый – множеству Mn.,
M1 M2 … Mn = {(m1,m2,…,mn): m1 M1, m2 M2 ,…, mn Mn}
Если хотя бы одно Mi = Ø, то по определению
M1 M2 … Mn = Ø
Докажем M1 M2 … Mn = M1 M2 … Mn
На предыдущей лекции доказали М1М2 = М1М2
Предположим M1 M2 … Mn-1 = M1 M2 … Mn-1
Тогда M1 M2 … Mn-1 Mn =
=(M1 M2 … Mn-1) Mn = (M1 M2 … Mn-1) Mn =
=(M1 M2 … Mn-1) Mn = M1 M2 … Mn-1 Mn
Задача
Девушки изучают ТОП-100 FM-радио:
Алле нравятся 72 песни и мелодии, а Бэлле - 81. Валя сказала, что ей по вкусу 87 записей, а внимание Гали привлекли только 76.
Какое минимальное число песен и мелодий, которые нравятся всем четырём девушкам?
Задача Льюиса Кэрролла
Чарльз Латуидж Доджсон
(Великобритания,
1832 – 1898)
В ожесточённом бою на необитаемом острове 70 из 100 пиратов потеряли один глаз, 75 – одно ухо, 80 – одну руку и 85 - одну ногу. Каково минимальное количество потерявших одновременно глаз, ухо, руку и ногу?
|
|
P |
Все сражавшиеся пираты |
N(P) = 100 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
Потерявшие глаз |
N(A) = 70 |
|||||
|
|
B |
Потерявшие ухо |
N(B) = 75 |
|||||
|
|
C |
Потерявшие руку |
N(C) = 80 |
|||||
|
|
D |
Потерявшие ногу |
N(D) = 85 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
Не потерявшие глаз |
N(A) = 30 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
Не потерявшие ухо |
N(B) = 25 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
Не потерявшие руку |
N(C) = 20 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
Не потерявшие ногу |
N(D) = 15 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Потеряли одновременно глаз, ухо, руку и ногу
A B C D пиратов |
Их число N( A B C D ) |
Очевидно:
(A B C D) (A B C D) = P
(A B C D) (A B C D) =
Поэтому: N(A B C D) + N(A B C D) = 100
Было доказано: A B C D = A B C D
Поэтому: N (A B C D) + N (A B C D) = 100
Доказали: N (A B C D) + N (A B C D) = 100
При этом возможно: A B C D
Поэтому: N (A B C D) ≤ N(A)+N(B)+N(C)+N(D)
Следовательно:
N(A B C D) + N(A)+N(B)+N(C)+N(D) 100
иN (A B C D) 100 - N(A)-N(B)-N(C)-N(D)
N (A B C D) 100 – 30 – 25 – 20 - 15
N (A B C D) 10