Лекция дискрет 06

Лекция № 6 14 октября 2015 г.

§ 1.4. Мощность множества

Мощность (кардинальное число) множества - некоторое инвариантное свойство, которым характеризуется множество, если отвлечься (абстрагироваться) от природы элементов множества, то есть признаков, по которым они включены в множество, а также от порядка расположения элементов в множестве.

1) Понятие мощности множества

Множество М1 называется равномощным множеству М2 (обозначается М1 ≈ М2), если можно установить некоторое взаимно однозначное отношение между М1 и М2

ровно в один класс и классы не пересекаются (§ 1.3)

Мощностью (или кардинальным числом) множества М называется класс множеств, равномощных М

Обозначение мощности множества М: card M или │М│

2) Конечные множества

Множество М называется конечным, если оно равномощно множеству Nk = {1, 2, …, k} натуральных чисел, не превосходящих некоторого натурального числа k. Пустое множество - конечное (по определению). Множество, не являющееся конечным – бесконечное.

Числом элементов конечного непустого множества М называется натуральное число k такое, что М ≈ Nk. Число элементов пустого множества - нуль – по определению.

Мощность конечного множества характеризуется числом элементов в нём: │{ m1, m2, … , mn }│= n, │ │= 0

3) Счётные множества

Множество М называется счётным, если оно равномощно множеству натуральных чисел N = {1, 2, …, n, …} Мощность счётного множества обозначается א0 (алеф-нуль)

Th.1.4.6 Любое бесконечное подмножество N N счётно

Следствие Любое бесконечное подмножество счётного множества счётно

Непосредственно из Th.1.4.6 следует, например, счётность следующих множеств натуральных чисел:

множество чётных чисел { n: n = 2 k, k=1,2,… } множество нечётных чисел { n: n = 2 k+1, k=0,1,2,… }

множество квадратов натуральных чисел { n: n = k2, k=1,2,… } множество простых чисел множество составных чисел

Доказали счётность следующих множеств:

множество рациональных чисел множество алгебраических чисел

Нумерация объединения конечного множества счётных множеств

Множества занумерованы – от 1 до n. Нумерация объединения идёт по показанной на рисунке схеме: сначала нумеруются первые элементы всех множеств, начиная с множества № 1 и до множества № n, затем вторые …

Если объединяемые множества пересекаются, то повторяющиеся элементы пропускаются

Нумерация объединения счётного множества конечных множеств

Множества занумерованы, начиная с № 1, элементы m-го множества имеют номера с 1 до nm. Нумеруем сначала множество № 1, начиная с его первого элемента, затем точно так же множество № 2 и т.д.

Если объединяемые множества пересекаются, то повторяющиеся элементы пропускаются

4) Континуальные множества

Th.1.4.7 (Теорема Кантора) Множество всех (любых) действительных чисел интервала [0,1] не является счётным

Доказательство Th.1.4.7

Множество действительных чисел интервала [0,1] – это совокупность любых бесконечных дробей вида

0.b1b2b3...bk..., где b1, b2, b3, ..., bk, ... - цифры

Допустим противное: Множество действительных чисел интервала [0,1] счётное, то есть существует его нумерация.

Обозначим действительное число, соответствующее в этой нумерации номеру i, через 0.ai1ai2ai3…aik… и расположим действительные числа интервала [0,1] в порядке номеров.