Лекция дискрет 06
.pdf
0.a11a12a13.......a1k.......
0.a21a22a23.......a2k.......
0.a31a32a33.......a3k.......
....................................
0.ak1ak2ak3........akk.....
....................................
Но интервал [0,1] содержит любые действительные числа вида 0.b1b2b3...bk..., в том числе такое, что bi aii (i=1,2,…,k,…)
Данному числу 0.b1b2b3...bk... не может быть присвоен номер 1, т.к. b1 a11, номер 2 – т.к. b2 a22, ……..
Таким образом, предположение о возможности нумерации множества действительных чисел интервала [0,1] неверно и
это множество не является счётным.
Доказано Th.1.4.7
(применили диагональный метод Кантора)
Континуум – мощность (кардинальное число) множества действительных чисел отрезка [0, 1]
Континуальное множество – множество, имеющее мощность континуума, т.е. равномощное множеству действительных чисел отрезка [0, 1]
Мощность континуального множества обозначается א1 (алеф-один)
Континуум-гипотеза (Георг Кантор, 1877 год): Любое бесконечное подмножество континуума является либо счётным, либо континуальным
Вольная интерпретация континуум-гипотезы: между счётными множествами и континуальными множествами нет «других бесконечностей»
Курт Гёдель, 1940 год: отрицание континуум-гипотезы недоказуемо (в системе аксиом Цермело-Френкеля с аксиомой выбора)
Пол Коэн, 1963 год: доказательство континуум-гипотезы также невозможно (в системе аксиом Цермело-Френкеля с аксиомой выбора)
Примеры континуальных множеств
1. Множество действительных чисел R = (-∞, +∞) – не является счётным, т.к. оно содержит континуальное множество [0, 1] в качестве собственного подмножества. Если мы допустим, что множество R - счётное, то придём в противоречие со следствием к Th.4.1.6, согласно которому бесконечное подмножество счётного множества обязано быть счётным.
2. Множество действительных чисел отрезка [a, b] –
континуальное, что доказывается построением взаимно однозначного соответствия f: [a, b] [0, 1] с формулой
f (x) = |
x - a |
|
|
||
b - a |
||
|
3. B (М) - булеан счётного множества М
a) Произвольному подмножеству |
|
Булеан множества – |
||||||||||
счётного множества М поставим |
|
множество всех его |
||||||||||
в соответствие бесконечную |
|
подмножеств |
|
|||||||||
последовательность единиц и |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
нулей, т.е. двоичное число, по |
|
|
|
|
|
|||||||
следующему правилу: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m8 ......... |
mk-1 mk mk+1 mk+2 ......... |
|||||||||||
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 ......... |
1 |
0 |
0 |
1........... |
|
b) Приписываем к каждому числу слева «0.» и доказываем взаимную однозначность построенного соответствия
с) Построенное множество бесконечных двоичных дробей – множество действительных чисел отрезка [0, 1], поэтому оно по определению - континуальное
Обозначения:
Для конечного множества |
По аналогии для |
M = { m1, m2, … , mn } было |
бесконечных множеств М |
доказано: |
используют запись: |
│ B (М) │= 2n = 2│M│ |
│ B (М) │= 2│M│ |
|
Так как для счётного |
|
множества М обозначили |
|
М= א0, мощность его |
|
булеанаB (М) будем |
|
записывать как |
|
B (М) = א1 = 2א0 |
4. Множество иррациональных чисел
Рациональное число - число, представляемое (несократимой) обыкновенной дробью m/n, числитель m - целое число, знаменатель n - натуральное число
Иррациональное число - это действительное число, которое не является рациональным, то есть не может быть представлено в виде (несократимой) дроби m/n
R = { рациональные числа } { иррациональные числа }
{ рациональные числа } { иррациональные числа } =
Допустим, { иррациональные числа } - счётное Ранее доказано: { рациональные числа } - счётное
Тогда по ранее доказанному: R - счётное Но известно: R - континуальное
Поэтому { иррациональные числа } – не счётное
5. Существование трансцендентных чисел
Алгебраическое число - |
|
Трансцендентное число (от лат. |
действительное число, которое |
|
transcendere - переходить, |
может быть корнем уравнения с |
|
превосходить) - это |
целыми коэффициентами |
|
действительное число, не |
a0 + a1x + a2x2 + … + anxn = 0 (an ≠ 0) |
|
являющееся алгебраическим |
R = { алгебраические числа } { трансцендентные числа }
{ алгебраические числа } { трансцендентные числа } =
Допустим счётность или конечность множества { трансцендентные числа }, в частности, равенство его
Зная о счётности множества { алгебраические числа }, приходим тогда к выводу о счётности R, что неверно
Отсюда: трансцендентные числа не только существуют, но и образуют континуальное множество (Г.Кантор, 1873)
Первый доказанный пример трансцендентного числа - число «е» (Ш.Эрмит, 1873)
5) Иерархия мощностей
│ М │
Пустое = 0
Одноэлементное {m1} = 1
Конечное {m1, m2, … , mn } = n Счётное {m1, m2, … , mk, … } = א0
Континуальное = א1
??
א3
א2
א1
א0
│ B (М) │
1= 20
2= 21 2n = 2│M│
Континуальное = א1 = 2א0
?
???
Множество М1 имеет мощность бóльшую, чем множество М2, если:
М2 равномощно некоторому подмножеству множества М1
неверно, что М1 М2
Обозначается этот факт M1 > M2