Лекция дискрет 03

Литература

Бобков Н.К. Элементы дискретной математики: Учебное пособие. – Чебоксары: Изд-во Чувашского ун-та, 1995. – 154 с.

Бобков Н.К. Задачи по дискретной математике: Учебное пособие. – Йошкар-Ола: МарГТУ, 2001. – 84 с.

§ 1.2. Соответствия и функции

Соответствием между множествами А и В называется подмножество G А В. Если (a,b) G, то говорят, что элемент а соответствует элементу b при соответствии G

Область определения соответствия G – подмножество

A A такое, что A = { a: a A, (a, b) G }

Область значений соответствия G – подмножество В В такое, что В = { b: b B, (a, b) G }

Соответствие GА В называется взаимно однозначным (биективным), если оно удовлетворяет одновременно следующим требованиям:

-всюду определено;

-сюръективно;

-функционально;

-инъективно

Задано соответствие GА В. Если при этом соответствие H B A таково, что

(a, b) G (b, a) H,

то соответствие H называется обратным к G и обозначается G -1

Если соответствие, обратное к заданной функции f: A B, является функциональным, то оно называется функцией, обратной к f, и обозначается f -1

Th.1.2.1 Критерий существования обратной функции Для функции f: A B существует обратная функция

g: B A тогда и только тогда, когда f является взаимно однозначным соответствием между своей областью определения и областью значений

Доказательство Th.1.2.1

Дано: для функции f: A B существует обратная функция g: B A

1-2) Для функции f: A B существует обратная функция g: B A, значит, А = А и В = В, иначе хотя бы одна из f и g не была функциональной.

1) Допустим, f – не является всюду определённой, то есть A A, но A A. Тогда существует а А такой, что для любого b B

(a,b) F. Но по условию f – функционально, то есть образ любого а А состоит ровно из одного элемента b B .

Таким образом, предположение о том, что f не является всюду определённым соответствием противоречит функциональности f.

Доказали, что f – всюду определённое соответствие

2) Аналогично, допустим, f – не является сюръективной, то есть

B B, но B B.

Тогда существует b B такой, что для любого a A (a,b) F.

По условию: (a,b) F (b,a) G т.е. (a,b) F (b,a) G

Но по условию g – функционально, то есть образ любого b B состоит ровно из одного элемента a A . [Значит, нет таких b B]

Таким образом, предположение о том, что f не является всюду определённым соответствием противоречит функциональности g

Доказали, что f – сюръективное соответствие

3-4) По условию f – функция, т.е. соответствие f – функционально. Но так как g – также функция, будет выполнено и требование единственности прообраза для соответствия f, то есть инъективность.

Выполнены все четыре требования, значит, f является взаимно однозначным соответствием между А и В.

f - взаимно однозначное соответствие между А и В, поэтому оно инъективно, т.е. прообразом любого элемента из В является единственный (т.е. ровно один) элемент из А.

Благодаря этому, соответствие g: B A однозначно (функционально), т.е. g: B A - функция

Доказано Th.1.2.1

Примеры применения критерия существования обратной функции (Th.1.2.1)

Страны и столицы

A = Абхазия, Австралия, Австрия, Аджария, …. , Эфиопия, Южная Корея, ЮАР, Ямайка, Япония }

В = Абу-Даби, Абуджа, Аддис-Абеба, Аккра, Алжир, …. , Эль-Кувейт, Эр-Рияд, Южная Тарава, Ямусукро, Яунде }

G А В – множество пар «Страна – Столица»

В каждой стране есть столица G всюду определено