Лекция дискрет 08
.pdf
Глава 2. Алгебраические структуры
§ 2.1. Основные понятия
Алгебра [ M; Ω ] |
Модель [ M; Θ ] |
Алгебра – множество М с заданной на нём совокупностью операций Ω = { φ1, φ2, … , φm, … }, т.е. структура
A = [ M; φ1, φ2, … , φm, … ]
М– основное множество (носитель) алгебры А
Ω= { φ1, φ2, … , φm, … } – сигнатура алгебры А
Тип алгебры А – вектор арностей её операций
Множество М М называется замкнутым относительно n-арной операции φ, если значения φ на аргументах из М принадлежат М
Если множество М М замкнуто относительно всех операций
φ1, φ2, … , φm, … алгебры A = [ M; φ1, φ2, … , φm, … ], то алгебра
A = [ M ; φ1, φ2, … , φm, … ] называется подалгеброй алгебры А
Гомоморфизм и изоморфизм алгебр
Заданы две алгебры одинакового типа (l1, l2, … , lp)
A = [ K; φ1, φ2, … , φp ] |
B = [ M; ψ1, ψ2, … , ψp ] |
Гомоморфизм алгебры А в алгебру В – отображение Г: К М, удовлетворяющее условию
Г ( φi ( kj1, kj2, … , kjli ) ) = ψi ( Г(kj1), Г(kj2), … , Г(kjli) ) ( )
для всех i = 1…p |
для любых kj |
r |
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Изоморфизм алгебры А на алгебру В – взаимно однозначный гомоморфизм
Th.2.1.1 ЗЗаданы две алгебры одинакового типа (l1, l2, … , lp)p)
A = [ K; φ1, φ2, … , φp ] B = [ M; ψ1, ψ2, … , ψp ]
Если Г: К М – изоморфизм алгебры А на алгебру В, то существует обратный изоморфизм Г-1: М К алгебры В на алгебру А
Изоморфизм – отношение эквивалентности на множестве алгебр
Возможность построения семейства классов эквивалентности, то есть разбиения множества алгебр
3) Фундаментальные алгебры |
[ M; φ1, φ2, … , φm, … ] |
Отдельно взятая бинарная операция φi может быть: |
|
ассоциативная |
неассоциативная |
коммутативная |
некоммутативная |
аддитивная |
мультипликативная |
В множестве М нейтральный элемент относительно операции φi : присутствует отсутствует
В множестве М обратные элементы относительно операции φi : присутствует отсутствует
Алгебра в целом также имеет характеристики:
*тип алгебры – число операций, их арность наличие / отсутствие свойства дистрибутивности
*(если в сигнатуре более одной бинарной операции, с учётом
коммутативности / некоммутативности)
Алгебры типа (2)
Полугруппа – алгебра с одной ассоциативной бинарной операцией. В зависимости от типа операции:
[ M; + ] – аддитивная полугруппа;
[ M; ] – мультипликативная полугруппа
Примеры:
[ R \ { 0 }; ] – мультипликативная полугруппа
[ N- { 0 } N+; + ] – аддитивная полугруппа
[ {Mn}; ] – мультипликативная полугруппа
({Mn} – множество невырожденных квадратных матриц n-ого порядка; - матричное умножение)
[аддитивная/мультипликативная] алгебра типа (2)
Полугруппа – алгебра с одной ассоциативной операцией
Если операция коммутативна, то полугруппа – коммутативная (или абелева). В зависимости от типа операции – [аддитивная / мультипликативная] [коммутативная / некоммутативная] полугруппа
Примеры:
[ R \ { 0 }; ] – мультипликативная коммутативная полугруппа
[ N- { 0 } N+; + ] – аддитивная коммутативная полугруппа
[ {Mn}; ] – мультипликативная некоммутативная полугруппа
[аддитивная/мультипликативная] алгебра типа (2)
Полугруппа – алгебра с одной ассоциативной операцией
+ коммутативность
Абелева (коммутативная) полугруппа
Если полугруппа содержит нейтральный элемент, то такая полугруппа – моноид. В зависимости от типа операции нейтральный элемент называют «нулевым» – для аддитивной и «единицей» - для мультипликативной полугруппы
Примеры:
[ R \ { 0 }; ] – мультипликативный коммутативный моноид (с единицей)
[ N- { 0 } N+; + ] – аддитивный коммутативный моноид (с нулевым элементом)
[ {Mn}; ] – мультипликативный некоммутативный
моноид (единица – матрица с единичной главной диагональю и нулями в остальных позициях)