Лекция дискрет 11

Лекция № 11 20 ноября 2015 г.

Глава 3. Логические функции

Из §§ 2.1, 3.1

n-арная операция на множестве М – функция φ: Mn M

Логическая функция – n-арная операция на множестве B = {0, 1}, т.е. функция f: Bn B

Множество всех логических функций - P2

Множество всех логических функций n переменных - P2(n)

Логическая формула глубины k над множеством логических функций Σ = { f1, f2, … , fm, … }

1. Символы переменных x1, x2, … , xn, … - логические формулы глубины 0 над множеством логических функций Σ.

2. Пусть F1, F2, … , Fni – логические формулы глубины не более k над множеством логических функций Σ, причём хотя бы одна из них имеет глубину ровно k. Пусть также

fi ( x1, x2, … , xni ) Σ – логическая функция.

Тогда fi ( F1, F2, … , Fni ) – логическая формула глубины (k+1) над множеством логических функций Σ.

3. Других логических формул над множеством логических функций Σ нет.

Th.3.1.1 Всякая логическая функция f (x1, x2, … , xn) может быть представлена в виде

f (x1, x2, … , xm, xm+1, … , xn) =

= (x1α1 & … & xmαm & f (α1, … , αm, xm+1, … , xn)) (▼)

α1...αm

Здесь: m n; дизъюнкция берётся по всем 2m наборам значений переменных α1, … , αm

Равенство (▼) – разложение функции f (x1, … , xn) по переменным

Равенство (▼▼▼) – совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) функции f (x1, … , xn)

Введём бинарные и унарные операции на Р2, т.е. функции вида : P22 P2 и : P2 P2 следующим путём:

Введённые таким образом на Р2 операции - булевские операции

Свойства булевских операций

Дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции

Дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции

Свойства констант