Лекция дискрет 15
.pdf
Лекция № 15 16 декабря 2015 г.
Глава 4. Аксиоматические теории
Взаимоотношения между канторовской теорией множеств и математикой подобны течению настоящей любви: они никогда не протекали гладко
(Стефан Клини)
Метаматематика - раздел математической логики, изучающий основания математики, структуру
математических доказательств
и математических теорий с помощью формальных методов. Термин «метаматематика» буквально означает «за пределами математики».
Конец XIX века – противоречия в разделах канторовской теории множеств и её приложениях
Множество М1 имеет мощность бóльшую, чем множество М2, если
М2 равномощно некоторому
подмножеству множества М1 неверно, что М1 М2
Th.1.4.8 (Обобщённая теорема Кантора)
Для любого множества мощность его булеана больше, чем мощность самого множества
Множество ВСЕХ множеств U - парадокс Кантора (1899)
B (U) U 
B (U) меньше, чем U
B (U) больше, чем U
§ 4.1. Основные понятия. Исчисление высказываний
1) Определения
Аксиоматическая теория (формальная теория, исчисление) Т считается определённой, если заданы:
1.Счётное множество символов – алфавит теории; конечные последовательности символов алфавита – выражения теории Т
2.Подмножество множества выражений теории – формулы теории Т
3.Конечное подмножество множества формул – аксиомы теории Т
4.Конечное множество правил вывода теории Т
Правило вывода теории Т – отношение на множестве формул этой теории: R ( F1 , F 2 , …. , Fn , C )
Вывод формулы B из формул A 1 ,A 2 , … ,A n в аксиоматической теории Т (обозначение: A 1 ,A 2 , … ,A n ├ B ) - это
последовательность формул F 1 ,F 2 , … ,F m такая что:
(1) F m есть B
(2) любая F i (i = 1 ….. m):
либо одна из аксиом теории Т
либо одна из исходных формул (посылок, гипотез) A 1 ,A 2 , … ,A n
либо непосредственно выводима из F 1 ,F 2 , … ,F i – 1 по одному из правил
вывода теории Т
Доказательство формулы B в аксиоматической теории Т - вывод формулы B из пустого множества посылок, т.е. ├ B
Формула, для которой существует доказательство в аксиоматической теории Т, называется доказуемой в теории Т или теоремой теории Т
Th.4.1.1: и Γ – множества формул теории Т, A и B - формулы теории Т
(1)Если Γ и ├ A , то имеет место вывод Γ├ A
!Возможность расширения множества посылок вывода
(2)Γ├ A тогда и только тогда, когда в Γ существует конечное подмножество такое, что ├ A
!Конечность используемого в выводе множества посылок
(3) Если ├ A и для любого B Γ ├ B , то Γ├ A
!Транзитивность свойства выводимости формул
2) Исчисление высказываний L
Исчисление высказываний L – алфавит:
а) пропозициональные буквы:
A, B, C, …………….. , X, Y, Z
б) знаки логических связок:
┐, (примитивные), &, , ≡, при этом (D1) A & B означает ┐(A ┐B ) (D2) A B означает ┐A B
(D3) A ≡ B означает (A B ) & (B A )
в) скобки ( )
|
Исчисление высказываний L – формулы: |
|
а) |
любая пропозициональная буква |
|
|
A, B, C, ………, X, Y, Z есть формула |
|
б) |
если A и B - формулы, то следующие выражения есть |
|
|
формулы: |
|
|
(┐A ) |
(A B ) |
в) |
выражения, не подпадающие под а) или б) – не формулы |
|
|
исчисления L |
|
Правило подстановки формулы вместо пропозициональной буквы
(ср. § 3.3)
При подстановке формулы B1 в формулу B вместо
пропозициональной буквы Х должны быть одновременно заменены формулой B1 все вхождения пропозициональной буквы Х в формулу B
|
Исчисление высказываний L – аксиомы: |
|
Для любых формул A , B и C теории L |
|
следующие выражения – аксиомы: |
(А1) |
A ( B A ) |
(А2) |
(A (B C)) ((A B ) (A C )) |
(А3) |
( ┐B ┐A ) ( ( ┐B A ) B ) |
В исчислении L заданы не аксиомы, а схемы аксиом, из которых с использованием правила подстановки получаются частные случаи аксиом, например:
(А1) ┐A ((C D) ┐A)
(А2) (A (A A)) ((A A ) (A A))
(А3) ( ┐B ┐(A D)) (( ┐B (A D)) B)
Исчисление высказываний L – правило вывода Modus Ponens
A , A B
B
Правило Modus Ponens (MP) – удаление импликации
Th.1.4.6 Любое бесконечное подмножество N N счётно
A B Если подмножество N N бесконечно, то оно счётно
A
B
1 N = F = { a0=a1=1; an = an-1 + an-2 (n≥2) } N бесконечно Применяем правило Modus Ponens, получим:
1 N = F = { a0=a1=1; an = an-1 + an-2 (n≥2) } N счётно