Лекция дискрет 12
.pdf
Лекция № 12 27 ноября 2015 г.
Глава 3. Логические функции
n-арная операция на множестве М – функция φ: Mn M
Логическая функция – n-арная операция на множестве B = {0, 1}, т.е. функция f: Bn B
Множество всех логических функций - P2
Множество всех логических функций n переменных - P2(n)
§ 3.2. Алгебры логических функций
Из Принципов Джона фон Неймана (США) – С.А.Лебедева (СССР)
Компьютеры на электронных элементах должны работать не в десятичной, а в двоичной системе счисления.
Программа, так же как и числа, с которыми оперирует компьютер, записываются в двоичном коде, то есть по форме представления команды и числа однотипны.
В компьютере используется параллельный принцип организации вычислительного процесса (операции над двоичными кодами осуществляются одновременно над всеми разрядами).
1) Булевские формулы
Булевская формула – это логическая формула, которая содержит, кроме знаков переменных и скобок, только символы операций дизъюнкции, конъюнкции и отрицания (булевские операции)
Th.3.2.1
Всякая логическая функция может быть представлена булевской формулой
Доказательство Th.3.2.1
Совершенная дизъюнктивная и совершенная конъюнктивная формы (§ 3.1) – булевские формулы. Согласно Th.3.1.1 и Th.3.1.2 любая логическая функция, кроме константы 0, может быть представлена СДНФ, а кроме константы 1 - СКНФ
Доказано Th.3.2.1
Свойства булевских операций
Ассоциативность |
|
|
x1 & (x2 & x3) = (x1 & x2) & x3 |
(3.2.1) |
|
x1 (x2 x3) = (x1 x2) x3 |
|
|
Коммутативность |
|
|
x1 & x2 = x2 & x1 |
x1 x2 = x2 x1 |
(3.2.2) |
Дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции
x1 & (x2 x3) = (x1 & x2) (x1 & x3 ) |
(3.2.3) |
Дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции
x1 (x2 & x3) = (x1 |
x2) & (x1 |
x3 ) |
(3.2.4) |
Идемпотентность |
Двойное отрицание |
||
x & x = x x x = x |
(3.2.5) |
x = x |
(3.2.6) |
Свойства констант
x & 1 = x |
x & 0 = 0 |
|
x 1 = 1 |
x 0 = x |
(3.2.7) |
0 = 1 |
1 = 0 |
|
Правила де Моргана |
|
|
(x1 |
& x2) = x1 x2 |
(3.2.8) |
(x1 x2) = x1 & x2 |
|
|
Закон противоречия |
Закон исключённого третьего |
|
x & x = 0 (3.2.9) |
x x = 1 |
(3.2.10) |
2) Булевы алгебры
Алгебра типа (2, 2, 1) называется булевой алгеброй, если её операции удовлетворяют соотношениям (3.2.1) – (3.2.10)
Структура B = [ B (M); , , ] с булеаном B (M) в
качестве носителя и операциями объединения, пересечения и дополнения множеств называется булевой алгеброй множеств над множеством М
Булевы алгебры логических функций
[ P2; , &, ¬ ] [ P2(n); , &, ¬ ]
Булева алгебра двоичных векторов
[ Bn; , &, ¬ ]
Bn = { σ = (σ1, σ2, … , σn): σi {0, 1}, i=1…n }
Булева алгебра
|
Булева |
|
|
|
|
||
|
|
Булева |
|
Булева |
|||
|
алгебра |
|
|
||||
|
|
алгебра |
|
алгебра |
|||
|
множеств |
|
|
||||
|
|
логических |
|
логических |
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
[B(M); , , ] |
|
|
||||
|
|
функций |
|
функций |
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
[ P ; , &, ¬ ] |
|
[P2(n); , &, ¬] |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Булева
алгебра
двоичных
векторов
[Bn; , &, ¬ ]
3) Изоморфизмы булевых алгебр
Th.3.2.2
Th.3.2.3
Если │M│ = n, то булева алгебра [ B (M); , , ]
изоморфна булевой алгебре [ Bn; , &, ¬ ]
Если │M│= 2m, то булева алгебра [ B (M); , , ]
изоморфна булевой алгебре [ P2(m) ; , &, ¬ ]
Булева алгебра
Булева |
|
|
алгебра |
|
|
множеств |
Булева |
Булева |
[B(M); , , ] |
алгебра |
алгебра |
|
логических |
логических |
|
функций |
функций |
|
[ P ; , &, ¬ ] |
[P2(n); , &, ¬] |
|
2 |
|
подалгебра
Булева
алгебра
векторов
[Bn; , &, ¬ ]
изоморфные алгебры