Лекция дискрет 12
.pdfСистему (A,B,C,D,E) решаем построением дерева (5):
|
|
x1 = 1 |
(1,0,x3,1,0): x3=0 |
|
A |
x5 = 1 (x5 = 0) |
1 = 1 |
|
|
B |
Не зависит от x1 |
0 1 |
|
|
C |
x4 = 1 |
1 = 1 |
|
|
D |
Не зависит от x1 |
1 = 1 |
|
|
E |
x2 = 1 (x2 = 0) |
1 = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
(1 & 1) (0 & 0) = 1 |
||
|
|
|
||
B |
|
(0 & 1) (1 & 0) 1 |
||
|
|
|
||
C |
|
(0 & 0) (1 & 1) = 1 |
||
|
|
|
||
D |
|
(0 & 0 & 1) (1 & 1 & 1) (1 & 0 & 0) = 1 |
||
|
|
|
||
E |
|
(1 & 1) (0 & 0) = 1 |
||
|
|
|
|
|
Систему (A,B,C,D,E) решаем построением дерева (6):
|
|
x1 = 1 |
(1,0,x3,1,0): x3=0 |
(1,0,x3,1,0): x3=1 |
A |
x5 = 1 (x5 = 0) |
1 = 1 |
1 = 1 |
|
B |
Не зависит от x1 |
0 1 |
1 = 1 |
|
C |
x4 = 1 |
1 = 1 |
1 = 1 |
|
D |
Не зависит от x1 |
1 = 1 |
0 1 |
|
E |
x2 = 1 (x2 = 0) |
1 = 1 |
1 = 1 |
|
|
|
|
|
|
A |
|
(1 & 1) (0 & 0) = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
(0 & 0) (1 & 1) = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
(0 & 0) (1 & 1) = 1 |
|
|
|
|
|
||
D |
|
(1 & 0 & 1) (0 & 1 & 1) (0 & 0 & 0) 1 |
||
|
|
|
|
|
E |
|
(1 & 1) (0 & 0) = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
… будет холодно |
x2 |
… будет жарко |
x3 |
… выпадет град |
x4 |
… осадков не будет |
x5 |
… пойдёт дождь |
Система уравнений (A,B,C,D,E) имеет единственное решение
(0, 1, 0, 0, 1)
Итак, будут жара и дождь!
§3.3. Эквивалентные преобразования формул
1)Понятие эквивалентного преобразования
Логические формулы, представляющие одну и ту же логическую функцию, называются эквивалентными или равносильными (§ 3.1)
Из § 3.2: Исходные соотношения (свойства булевских
|
|
|
|
|
операций) |
|
|
|
|
|
Ассоциативность |
|
|
|
|
x1 & (x2 & x3) = (x1 & x2) & x3 |
(3.2.1) |
||
|
x1 (x2 x3) = (x1 x2) x3 |
|
||
|
Коммутативность |
|
|
|
x1 & x2 = x2 & x1 |
x1 x2 |
= x2 x1 |
(3.2.2) |
|
Дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции |
||||
x1 & (x2 x3) = (x1 & x2) (x1 & x3 ) |
(3.2.3) |
|||
Дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции |
||||
|
x1 (x2 & x3) = (x1 |
x2) & (x1 x3 ) |
(3.2.4) |
|
|
Идемпотентность |
Двойное отрицание |
||
x & x = x x x = x |
(3.2.5) |
x = x |
(3.2.6) |
|
Свойства констант |
|
|
x & 1 = x |
x & 0 = 0 |
|
x 1 = 1 |
x 0 = x |
(3.2.7) |
0 = 1 |
1 = 0 |
|
Правила де Моргана |
|
|
(x1 |
& x2) = x1 x2 |
(3.2.8) |
(x1 x2) = x1 & x2 |
|
|
Закон противоречия |
Закон исключённого третьего |
|
x & x = 0 (3.2.9) |
x x = 1 |
(3.2.10) |
Правило подстановки формулы вместо переменной
При подстановке формулы F вместо переменной x в одно из исходных соотношений (3.2.1) – (3.2.10) или в какую-либо иную логическую формулу должны быть одновременно заменены формулой F все вхождения переменной x в это соотношение (формулу)
Пример:
(x |
& x |
) x |
1 |
= |
Замена переменной x1 |
|
1 |
2 |
|
|
формулой F = x1 & x3 |
||
= (( x1 & x3) & x2) ( x1 & x3) = |
||||||
|
||||||
Смысл одновременности: заменили оба вхождения x1 «первого поколения». В формуле – снова два вхождения переменной x - «второго поколения». Подстановка может быть продолжена
=(( ( x1 & x3) & x3) & x2) ( ( x1 & x3) & x3) = …..
ит.д., и т.д., ………..
Правило замены подформулы на эквивалентную
Если какая-либо формула F содержит F1 в качестве подформулы и F1 эквивалентна F2, то замена F1 на F2 даёт формулу, эквивалентную F, при этом замена всех вхождений F1 в F не требуется
Пример:
(x1 & x2) (x1 & (x1 & x2)) = |
Замена первого вхождения |
= ( x1 x2) (x1 & (x1 & x2)) |
(x1 & x2) на ( x1 x2) |
|
Преобразования формул, использующие исходные соотношения (3.2.1) – (3.2.10), правило подстановки формулы вместо переменной и правило замены подформулы на эквивалентную, называются эквивалентными преобразованиями
Цель эквивалентных преобразований – приведение формулы к более удобному (каноническому, минимальному, …) виду
2) Полезные соотношения для булевских формул
Поглощение |
|
|
|
x ( x & y ) = x |
(3.3.1a) |
x & ( x y ) = x |
(3.3.1b) |
Склеивание |
( x & y ) ( x & y ) = x |
(3.3.2) |
|
Обобщённое склеивание |
|
||
(x & y) (x & z) (y & z) |
= (x & z) (y & z) |
(3.3.3) |
|
Сопоставление |
x ( x & y ) = x y |
(3.3.4) |
|
Поглощение + Сопоставление |
|
||
x1 f (x1, x2, … , xn) = x1 f (0, x2, … , xn) |
(3.3.5) |
||
Доказательство - на примере (3.3.1а)
(3.2.7) (3.2.3) (3.2.7)
x ( x & y ) = ( x & 1 ) ( x & y ) = x & ( 1 y ) =
|
|
(3.2.7) |
|
= x & 1 |
= |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство соотношения (3.3.5)
(Th.3.1.1 по x1)
x1 f (x1, x2, … , xn) = |
|
= x1 (¬x1 & |
f (0,x2,… ,xn)) (x1 & f (1,x2,…,xn)) = |
(3.3.4) |
(3.3.1а) |
= x1 f(0,x2,…,xn) (x1 & f(1,x2,…,xn)) |
= x1 f (0, x2, … , xn) |