Лекция дискрет 12
.pdf
Th.3.2.5
Для всякой логической функции существует полином Жегалкина в общем случае – не все!
f(x1, … , xn) = (ai1…in&xi1&…&xin), причём он
i1...in
является единственным с точностью до обозначений и порядка конъюнкций (здесь: ai1…in { 0, 1 } )
Представление функции полиномом Жегалкина:
1)В функции, заданной в виде СДНФ, убираем с помощью правила де Моргана все дизъюнкции
2)Используя соотношение x = x 1, убираем все отрицания
3)Раскрываем скобки, пользуясь идемпотентностью x x = 0
Пример: f(x,y,z) = (x&y) (¬x&¬y) (¬y&z) =
=¬¬(x&y) ¬¬(¬x&¬y) ¬¬(¬y&z) =
=(¬¬(x&y) ¬¬(¬x&¬y)) ¬¬(¬y&z) =
=¬(¬(x&y) & ¬(¬x&¬y)) ¬¬(¬y&z) =
=¬(¬(x&y) & ¬(¬x&¬y) & ¬(¬y&z)) =
=(((x&y) 1) & ((¬x&¬y) 1) & ((¬y&z) 1)) 1 =
=(((x&y) 1) & (((x 1)&(y 1)) 1) & (((y 1)&z) 1))) 1 =
=(((x&y) 1) & ((x&y) x y 1 1) & ((y&z) z 1))) 1 =
=(((x&y) 1) & ((x&y) x y) & ((y&z) z 1))) 1 =
=(x&y&z) (y&z) x y 1
Алгебра [ M; +, ] с одной аддитивной и одной мультипликативной операцией
+ дистрибутивность слева и |
+ алгебра [ M; + ] – абелева |
|
справа операции ( ) |
||
группа |
||
|
||
относительно операции (+) |
|
Кольцо
+ обратный элемент относительно операции ( )
Тело
+ коммутативность операции ( )
Поле
Сравните: Анализ алгебры типа (2, 2) [ {0,1}; , & ]
дистрибутивность (&) слева и справа относительно ( )
[ P2; ] – абелева группа: ( ) - ассоциативная
( ) - коммутативная
нейтральный элемент
обратный элемент
a & (b c) = (a & b) (a & c) (a b) & c = (a & c) (b & c)
a (b c) = (a b) c a b = b a
a 0 = 0 a = a 0 0 = 0, 1 1 = 0
[{0,1}; , & ] – кольцо
для ненулевых элементов - |
1 & 1 = 1 |
обратный эл-т относительно (&) |
|
[{0,1}; , & ] – тело |
|
(&) – коммутативная |
a & b = b & a |
[{0,1}; , & ] – поле
Задача
Три радиостанции передают прогноз погоды «Сегодня в полдень ….»
Radio «A» …..будет холодно и пойдёт дождь ………
Radio «B» …… будет жарко и выпадет град ……
Radio «C» ……. будет не холодно и без осадков …….
Известно, что у всех трёх станций надёжность прогнозов
– около 50 процентов, то есть половина предсказаний сбывается, а половина - нет
Так какая же погода будет сегодня в полдень?
Переменные утверждения
x1 |
… будет холодно |
|
|
x2 |
… будет жарко |
|
|
x3 |
… выпадет град |
|
|
x4 |
… осадков не будет |
Прогнозы & Точность = 50 % |
|
x5 |
… пойдёт дождь |
||
A (x1 & x5) ( x1 & x5) = 1 |
|||
|
|
||
|
|
B (x2 & x3) ( x2 & x3) = 1 |
|
|
|
C ( x1 & x4) ( x1 & x4) = 1 |
|
|
Несовместимость отдельных утверждений |
||
D |
(x3 & x4 & x5) ( x3 & x4 & x5) ( x3 & x4 & x5) = 1 |
||
E |
(x1 & x2) ( x1 & x2) = 1 |
||
Систему (A,B,C,D,E) решаем построением дерева (1):
|
|
x1 |
= 0 |
|
|
A |
x5 |
= 1 |
|
|
|
B |
Не зависит от x1 |
|
|
||
C |
x4 = 1 (x4 = 0) |
|
|
||
D |
Не зависит от x1 |
|
|
||
E |
x2 |
= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
(0 & x5) (1 & x5) = 1 |
||
B |
|
|
(x2 & x3) ( x2 & x3) = 1 |
||
C |
|
|
(1 & x4) (0 & x4) = 1 |
||
D |
(x3 & x4 & x5) ( x3 & x4 & x5) ( x3 & x4 & x5) = 1 |
||||
E |
|
|
(0 & x2) (1 & x2) = 1 |
||
Систему (A,B,C,D,E) решаем построением дерева (2):
|
|
x1 |
= 0 |
(0,1,x3,0,1): x3=0 |
|
A |
x5 |
= 1 |
1 = 1 |
|
|
B |
Не зависит от x1 |
1 = 1 |
|
||
C |
x4 = 1 (x4 = 0) |
1 = 1 |
|
||
D |
Не зависит от x1 |
1 = 1 |
|
||
E |
x2 |
= 1 |
1 = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
(0 & 0) (1 & 1) = 1 |
||
|
|
|
|
||
B |
|
|
(1 & 1) (0 & 0) = 1 |
||
|
|
|
|
||
C |
|
|
(1 & 1) (0 & 0) = 1 |
||
|
|
|
|||
D |
|
(0 & 1 & 0) (1 & 0 & 0) (1 & 1 & 1) = 1 |
|||
|
|
|
|
||
E |
|
|
(0 & 0) (1 & 1) = 1 |
||
|
|
|
|
|
|
Систему (A,B,C,D,E) решаем построением дерева (3):
|
|
x1 = 0 |
(0,1,x3,0,1): x3=0 |
(0,1,x3,0,1): x3=1 |
A |
x5 = 1 |
1 = 1 |
1 = 1 |
|
B |
Не зависит от x1 |
1 = 1 |
0 1 |
|
C |
x4 = 1 (x4 = 0) |
1 = 1 |
1 = 1 |
|
D |
Не зависит от x1 |
1 = 1 |
0 1 |
|
E |
x2 = 1 |
1 = 1 |
1 = 1 |
|
|
|
|
|
|
A |
|
(0 & 0) (1 & 1) = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
(1 & 0) (0 & 1) 1 |
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
(1 & 1) (0 & 0) = 1 |
|
|
|
|
|
||
D |
|
(1 & 1 & 0) (0 & 0 & 0) (0 & 1 & 1) 1 |
||
|
|
|
|
|
E |
|
(0 & 0) (1 & 1) = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
Систему (A,B,C,D,E) решаем построением дерева (4):
|
|
x1 = 1 |
|
|
A |
x5 = 1 (x5 = 0) |
|
|
|
B |
Не зависит от x1 |
|
|
|
C |
x4 = 1 |
|
|
|
D |
Не зависит от x1 |
|
|
|
E |
x2 = 1 (x2 = 0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
(1 & x5) (0 & x5) = 1 |
||
B |
|
(x2 & x3) ( x2 & x3) = 1 |
||
C |
|
(0 & x4) (1 & x4) = 1 |
||
D |
(x3 & x4 & x5) ( x3 & x4 & x5) ( x3 & x4 & x5) = 1 |
|||
E |
|
(1 & x2) (0 & x2) = 1 |
||