Лекция дискрет 15

3) Свойства исчисления высказываний L

Вывод формулы B из формул A 1 ,A 2 , … ,A n в

либо одна из аксиом теории Т

либо одна из исходных формул A 1 ,A 2 , … ,A n

либо непосредственно выводима из F 1 ,F 2 , … ,F i – 1

по одному из правил вывода теории Т

Общая идеология построения вывода

A 1 ,A 2 , … ,A n ├ B

в аксиоматической теории

Исходные формулы A 1 ,A 2 , … ,A n

(возможно, пустое множество)

+

Прототип(ы) – частный(е) случай(и) аксиом или формул, полученных ранее в результате доказательства утверждений и решения задач

+

Правила и квазиправила – приёмы для последовательного преобразования исходных и промежуточных формул к необходимому виду

Формулы теории L, которые могут быть приняты в качестве прототипов

А2 (A (B C )) ((A B ) (A C ))

Th.4.1.2 Для любой формулыA исчисления L имеет место├ A A

1. (A ((A A ) A )) ((A (A A )) (A A )) A2

Утверждение типа «Если множество бесконечно, то оно бесконечно» не требует никаких аргументов в своё обоснование

4) Индукция и дедукция в исчислении высказываний L

Индукция – переход от частных утверждений к общему заключению; дедукция – вывод частных заключений из общего утверждения

Доказали индукцией:

Th.1.4.5 Пусть M1, M2,…,Mn – конечные множества и │Mi│ = ri (i=1…n). Тогда мощность декартова произведения множеств M1 M2 … Mn равна произведению мощностей множеств Мi (i=1…n), т.е.

│M1 M2 … Mn│= r1 r2 … rn

Дедуктивным методом получили частные следствия:

Задача 1.10 «с» Объединение счётного множества конечных множеств счётно

Счётность множества логических функций P2 = P2(n) при n N

Th.1.4.6 Любое бесконечное подмножество N N счётно

Подмножество F = { a0=a1=1; an = an-1 + an-2 (n≥2) } N счётно

Th.1.2.1 Для функции f: A B существует обратная функция g: B A тогда и только тогда, когда f является взаимно однозначным соответствием между своей областью определения и областью значений

Th.4.1.5 Теорема дедукции исчисления L

Пусть Γ- множество формул исчисления L, A и B - формулы L.

Γ,A ├ B тогда и только тогда, когда Γ ├ A B

Предположив, что Γ ├ A B , пришли к Γ,A ├ B