Лекция дискрет 03
.pdf
Доказали, что GА В «Страна – Столица» – взаимно однозначное соответствие между А и В
f: A B – функция, т.к. по стране однозначно определяется столица
g: B A – также функция, т.е. по столице тоже однозначно определяется страна
Любая парабола (график чётной степени) не является взаимно однозначным соответствием между R и { 0 } R+ - нет инъективности
Экспонента Y = eX – взаимно однозначное соответствие между R и R+, значит, существует обратная функция X = ln(Y)
Обобщение
|
Соответствие между |
|
1 |
множествами А и В - |
|
подмножество GА В |
||
|
G1 А В, G2 А В
Для соответствий можно |
При вычислении |
определить операции как |
дополнения операции G1 |
над множествами: |
роль универсума выполняет |
объединение, пересечение, |
универсальное соответствие |
разность, дополнение |
G = A B |
Соответствия G1 и G2 |
называются равными, если |
равны определяющие их подмножества
Пример к 1
A = Абхазия, Австралия, Австрия, Аджария, …. , Эфиопия, Южная Корея, ЮАР, Ямайка, Япония }
В = Абу-Даби, Абуджа, Аддис-Абеба, Аккра, Алжир, …. , Эль-Кувейт, Эр-Рияд, Южная Тарава, Ямусукро, Яунде }
Наряду с соответствием G А В «Страна – Столица» на А и В можно задать другие соответствия, например:
G1 А В «Европа: Страна – Столица»
G2 А В «Азия: Страна – Столица»
G3 А В «Америка: Страна – Столица» и т.д.
Тогда G1 G2 = «Евразия: Страна – Столица», G1 G3 = , но G1 G2 = (Россия, Москва), (Турция, Анкара) }
Обобщение |
2 |
|
|
||
Соответствие между |
Как показывают определение |
|
|
||
множествами А и В - |
и примеры, на природу А и В |
|
подмножество GА В |
||
никаких ограничений нет |
||
|
В частности, возможно, А = А1А2 … An и (или)
B = B1 B2 … Bm
n-местная функция Векторная функция f: А1А2 … An B g: A B1 B2 … Bm
Обобщение 3
П.Г.Л.Дирихле, Германия,
1805-1859
Частный вывод
Принцип Дирихле (нем. Schubfachprinzip, «принцип ящиков») - утверждение, устанавливающее связь между объектами («кроликами») и контейнерами («клетками») при выполнении определённых условий. Наиболее распространена следующая формулировка этого принципа:
Если кролики рассажены в клетки, причём число кроликов больше числа клеток, то хотя бы в одной из клеток находится более одного кролика.
из принципа Дирихле: если между двумя конечными множествами существует взаимно однозначное соответствие, то эти множества содержат равное количество элементов
Задача
Как, не считая, определить – в какой корзине больше мячей для гольфа,
а в какой – меньше?
Задача Счастливые билеты
Московский - если сумма первой, третьей и пятой цифр номера билета равна сумме второй, четвёртой и шестой цифр.
Ленинградский, или |
|
|
Питерский, - если |
|
|
сумма первых трёх |
|
|
цифр номера билета |
Каких |
|
равна сумме |
счастливых |
|
последних трёх. |
||
билетов больше? |
||
|
f: αi1αi2αi3αi4αi5αi6 αi1αi4αi2αi5αi3αi6
подстановка |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
на конечном множестве |
|
1 |
4 |
2 |
5 |
3 |
6 |
|||
|
М = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
(см. § 2.2)
§1.3. Отношения
1)Определения
Подмножество R Mn называется n-местным отношением на множестве М. Если (m1,m2,…,mn) R, то говорят, что m1,m2,…,mn находятся в отношении R
Одноместное (n=1) отношение – признак, свойство, унарное отношение
Двухместное (n=2) отношение – бинарное отношение. Вместо записи (mi,mj) R используется запись miRmj
Примеры
Унарные отношения (признаки)
Носить очки
Быть лысым
Быть студентом
Натуральные числа:
Число N - чётное |
Число N – квадрат другого |
Число N – |
|
|
|||
натурального числа |
простое |
||
|
|||
|
|