Лекция дискрет 03
.pdf
Бинарные отношения
x R y - y есть родитель x
Я дружу с тобой
|
А учится с В в одной группе |
||
|
|
||
|
|
|
|
|
Натуральные числа: |
||
N > M |
N = M |
N и M – взаимно |
|
|
|||
|
|
|
|
простые числа
Ещё много примеров бинарных отношений:
Тернарные отношения (n=3)
Экипаж
Натуральные числа a, b, c – примитивная Пифагорова тройка (a2+b2=c2; a, b, c –
взаимно простые числа)
Например: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25), (20, 21, 29), (12, 35, 37), (9, 40, 41), …
(x, y, z): x2+y2+z2=1 } – тройки вещественных чисел x, y, z, представляющие собой координаты точек, расположенных на сферической поверхности единичного радиуса с центром в начале координат
2) Свойства бинарных отношений
Бинарное отношение R на множестве М называется рефлексивным, если для всех элементов mi M имеет место mi R mi
Принадлежать к одному виду
Иметь одинаковый цвет волос
A B A - подмножество B (именно !!!)
N делится на M (целые числа)
|
|
|
|
Отношение |
|
Отношение подобия |
|
параллельности |
|
||
|
треугольников |
||
плоскостей |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Бинарное отношение R на множестве М называется антирефлексивным, если ни для какого элемента mi M не выполняется mi R mi
Быть
родителем
Победить соперника в забеге
A B A – собственное подмножество B (именно !!!)
А В Отношение неравенства (чисел, множеств, ...)
Большая |
|
|
A |
||
Отношение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Кокшага – |
AB ┴ CD |
C |
|
D |
|
приток Волги |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B
Бинарное отношение может быть ни рефлексивным, ни антирефлексивным
Любоваться (кем-либо) Критиковать (кого-либо)
Рекурсивный вызов программы
F – множество вещественных функций одной переменной. Отношение I F F задано следующим образом:
I = { (f, g): g (x) = |
} |
Бинарное отношение R на множестве М называется симметричным, если для любых элементов mi M и mj M mi R mj и mj R mi имеют место только одновременно
Принадлежать к одному виду
Иметь одинаковый цвет волос
|
|
|
|
Отношение подобия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Отношение |
||||
|
|
|
|
треугольников |
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
параллельности |
|
|
|
|
|
|
|
плоскостей |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
A |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
Отношение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
C |
|
D AB ┴ CD |
Петь дуэтом |
||||
|
|
|
|
||||
|
|
B |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Бинарное отношение R на множестве М называется антисимметричным, если для любых элементов mi M и mj M mi R mj и mj R mi имеют место одновременно только при i = j
N делится на M |
Иерархия |
|
(целые числа) |
||
должностей |
А гонится за В
A B A - подмножество B |
N ≤ M |
N M |
(именно !!!) |
Бинарное отношение может быть ни симметричным, ни антисимметричным
Я тебе брат! |
М = { а, б, в, … , э, ю, я } |
|
буква1 R буква2 |
|
|
Буквосочетание буква1буква2 |
||||
|
|
допустимо правилами русского языка |
||||
|
|
|
|
Можно |
Нельзя |
|
F – множество вещественных функций |
||||||
|
||||||
|
бб |
ьь |
||||
одной переменной. Отношение S F F |
|
|||||
|
ее |
йй |
||||
задано следующим образом: |
|
|||||
f S g |
f (g (x)) = g (f (x)) x R |
|
аб |
ьй |
||
|
ба |
йь |
||||
|
|
|
|
|||
Очевидно: f (f (x)) = f (f (x)) x R |
|
… |
… |
|||
|
|
|
|
|
|
|
Но также имеет место: g (x) = Sin (x), f (x) = Const = 0
Бинарное отношение R на множестве М называется транзитивным, если для любых элементов mi M, mj M и mk M из mi R mj и mj R mk следует mi R mk
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Быть предком |
|
|
|
Учиться в |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
одном классе |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Чей домик |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
выше? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A B, B C 
A C A Β, Β C 
A C
a 
b
b 
c
a 
c
Α1Β1C1 ≈ A2B2C2
A1B1C1 ≈ A3B3C3A2B2C2 ≈ A3B3C3
Если N делится на M, а M делится на K, то N делится на K