Лекция дискрет 04 (1)
.pdf
Задача
Четыре девушки-студентки:
Алла, Бэлла, Валя, Галя
Бэлла – брюнетка, у Вали и Гали волосы одинакового цвета. Девушки учатся в одной группе. Алла и Валя и в школе учились вместе.
Все они любят спорт: Бэлла и Валя играют в теннис, их подруги занимаются аэробикой. Девушки любят плавать и вместе ходят в бассейн.
Девушки неравнодушны к одежде: Бэлла отдаёт предпочтение деловому костюму, Алла, Валя и
Галя – сторонницы смешения стилей – лишь бы было удобно!
Любимые предметы Аллы и Вали – математические. Всех, конечно,
объединяет любовь к программированию.
§ 1.4. Мощность множества
Мощность (кардинальное число) множества - некоторое инвариантное свойство, которым характеризуется множество, если отвлечься (абстрагироваться) от природы элементов множества, то есть признаков, по которым они включены в множество, а также от порядка расположения элементов в множестве.
1) Понятие мощности множества
Множество М1 называется равномощным множеству М2 (обозначается М1 ≈ М2), если можно установить некоторое взаимно однозначное отношение между М1 и М2
Из определения: равномощность – бинарное отношение на множестве множеств
Th.1.4.1 Отношение равномощности множеств – отношение эквивалентности, то есть оно обладает следующими свойствами:
(1)рефлексивность: М1 ≈ М1
(2)симметричность: если М1 ≈ М2, то М2 ≈ М1
(3)транзитивность: если М1 ≈ М2 и М2 ≈ М3, то М1 ≈ М3 Доказательство Th.1.4.1
(1)Взаимно однозначным соответствием, доказывающим
равномощность множества М1 самому себе, является тождественное соответствие х х для всякого х М1
(2)Согласно Th.1.2.1: из взаимной однозначности М1 и М2 следует существование обратной функции g: M2 M1. Эта функция и является взаимно однозначным соответствием между М2 и М1, доказывая тем самым, что М2 ≈ М1
(3) Пусть М1 ≈ М2 и М2 ≈ М3, докажем, что М1 ≈ М3 По условию: заданы взаимно однозначные соответствия f: M1 M2 и g: M2 M3, нужно построить взаимно однозначное соответствие h: M1 M3
Положим h (x) = g (f (x))
Соответствие h – всюду определено, так как f всюду определено, и h – сюръективно, так как g сюръективно.
Функциональность. Возьмём произвольный х0 М1. При соответствии f Char(x0) ≠ в силу функциональности f.
Также в силу функциональности f Char(x0) не может |
|
||||
включать два различных элемента y |
0 |
и y |
. Итак, f (x |
) = y |
. |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
Аналогично, при соответствии g невозможно Char(y0) = в силу функциональности g, по той же причине Char(y0) не может состоять из двух различных z0 и z0 : g (y0) = z0.
Но z0 = g (y0) = g (f (x0)) = h (x0), т.е. h – функционально.
Инъективность. Возьмём произвольный z0 М3. При соответствии g Prot(z0) ≠ в силу инъективности g. Также в силу инъективности g Prot(z0) не может включать два различных элемента y0 и y0 . Итак, Prot(z0) = y0.
Аналогично, при соответствии f невозможно Prot(y0) = в силу инъективности f, по той же причине Prot(y0) не может состоять из двух различных x0 и x0 : Prot(y0) = x0.
Но z0 = g (y0) = g (f (x0)) = h (x0), т.е. h – инъективно.
Доказано Th.1.4.1
Доказали: Отношение |
|
Система классов эквивалентности |
равномощности |
|
{C1,…,Cj,…} для множества M – |
множеств М1 ≈ М2 – |
|
разбиение множества M по заданному |
является отношением |
|
|
|
|
|
2) Конечные множества
Множество М называется конечным, если оно равномощно множеству Nk = {1, 2, …, k} натуральных чисел, не превосходящих некоторого натурального числа k. Множество, не являющееся конечным – бесконечное.
Пустое множество - конечное (по определению)
Для конечного множества М по определению существует взаимно однозначное соответствие f: Nk M. Обозначим при этом соответствии f (i) = mi (i=1…k), т.е. присвоим элементам множества М целочисленные номера в диапазоне от 1 до k.
f – всюду определено 
Использованы все номера от 1 до k
f – сюръективно 
Все элементы из М получают номер
f – функционально
Каждый номер использован ровно 1 раз f – инъективно 
Разные элементы из М - разные номера
M = { m1, m2, …, mk }
Th.1.4.2 Конечное множество М не может быть равномощно никакому своему собственному подмножеству М1 (собственное подмножество: M1 M M1 ≠ M)
Доказательство Th.1.4.2
(1) Множество, равномощное конечному, также конечное. Допустим противное: конечное множество М равномощно бесконечному М1.
М ≈ М1 |
Nk ≈ M1 |
М1 – конечное множество |
|
Nk ≈ M |
|||
|
|
(2) Пустое множество М = : нет собственных подмножеств, поэтому требуемое утверждение выполнено тривиально
(3) По условию М – конечное, т.е. М ≈ Nk= { 1, 2, … , k } для некоторого k. Далее доказательство – индукцией по k
(3а) |
M ≈ N1 = { 1 } |
|
|
|
k = 1 |
M = { m1 } |
M |
||
М и не |
соответствие между М и не |
единственное |
||
собственное |
||||
равномощны |
может быть задано, т.к. М = |
|||
подмножество |
||||
|
(3b) |
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
Предположим, для некоторого k все множества M ≈ Nr (r k) не содержат собственных подмножеств, равномощных М ( )
Рассмотрим {m1, m2, … , mk, mk+1} = M ≈ Nk+1 = {1, 2, … , k, k+1}
Возьмём произвольное собственное подмножество B M
B = - соответствие между В и M не может быть построено, т.к. M =
Значит, нужно показать:
если В М и B , то В не равномощно М