Лекция дискрет 04 (1)
.pdf
Бинарное отношение R на множестве М называется симметричным, если для любых элементов mi M и mj M miRmj и mjRmi имеют место только одновременно
Матрица симметрична относительно главной диагонали
Бинарное отношение R на |
cij + cji 1 |
|
множестве М называется |
||
|
||
антисимметричным, если для |
для всех пар i j, то есть |
|
любых элементов mi M и mj M |
||
не допускается ситуация |
||
miRmj и mjRmi имеют место |
||
cij = 1 и cji = 1 при i j |
||
одновременно только при i = j |
Бинарное отношение R на |
|
|
cij |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
|
1 |
1 |
|
|||
множестве М называется |
|
|
cjk |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
|
1 |
1 |
|
|||
транзитивным, если для любых |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
cik |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
|
0 |
1 |
|
|||||
элементов mi M, mj M и mk M |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
из miRmj и mjRmk следует |
miRmk |
|
|
|
c |
ij |
c |
jκ |
c |
ik |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Практический способ проверки: |
|
|
для всех троек i, j, k |
||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
║D║ = ║C║ ║C║ где - матричное умножение; сложение и умножение чисел – по правилам логических переменных (§ 3.1)
Тогда: dij cij – поэлементное сравнение
1 |
1 |
1 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
║C║ ║C║= |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
= |
0 |
0 |
1 |
0 |
= ║D║ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6) Разбиение множества на классы эквивалентности
Пусть M – произвольное множество. Семейство непустых множеств { C } A, где А – некоторое множество индексов
(конечное или бесконечное) называется разбиением M, если: 1. C C = для любых A и A, ≠
2. C = M
A
Разбиением конечного множества M называется множество
непустых подмножеств C1, C2, … , Ck множества M таких, что: |
||
1. Ci |
Cj |
= для любых i=1…k и j=1…k, i≠j |
2. C1 |
C2 |
… Ck = M |
Бинарное отношение R на множестве М называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно
Пусть R – отношение эквивалентности на М
m1 |
M |
C1 = { mi M: m1 R mi } |
m2 |
M \ C1 |
C2 = { mi M: m2 R mi } |
…………………….. |
|
|
mk ((…(M \ C1) \ C2)… \ Ck-1 |
Ck = { mi M: mk R mi } |
|
…………………….. |
|
|
Система классов эквивалентности { C1, C2, … , Ck, … } – по отношению R образует разбиение множества М: любой элемент множества М входит ровно в один класс
Любой элемент множества М входит ровно в один класс эквивалентности:
Не существует элемента, не попавшего в какой-либо класс эквивалентности – по построению (более подробно – в § 1.4)
Допустим противное: существует mk M, вошедший в два различных класса эквивалентности – mk Ci, mk Cj, i j
mk Ci 
mi R mk mk R mi
mk Cj
mj R mk
mj R mi
mi R mj
ml Cj |
mj R ml |
mi R ml |
ml Ci |
Cj Ci |
mt Ci |
mi R mt |
mj R mt |
mt Cj |
Ci = Cj |
Ci Cj |
Установлено: классы не пересекаются |
{ Ci } - |
|
Нет пропущенных элементов – по построению разбиение
Пример разбиения множества на классы эквивалентности
M = { 1, 2, 3, …… , 66, 67, 68 }
n R k – числа n и k имеют одинаковый остаток при делении на 7, т.е. n и k равны по модулю 7. Легко доказывается, что R – отношение эквивалентности, поэтому возможно разбиение:
С1 = { 1, 8, 15, 22, 29, 36, 43, 50, 57, 64 } С2 = { 2, 9, 16, 23, 30, 37, 44, 51, 58, 65 }
С3 = { 3, 10, 17, 24, 31, 38, 45, 52, 59, 66 }
С4 = { 4, 11, 18, 25, 32, 39, 46, 53, 60, 67 } С5 = { 5, 12, 19, 26, 33, 40, 47, 54, 61, 68 }
С6 = { 6, 13, 20, 27, 34, 41, 48, 55, 62 } С7 = { 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63 }
Другие примеры классов эквивалентности
Команда
Однополчане
Мы поём хором!
Одноклассники
Различные |
|
предметные |
Земляки |
классификации
Целенаправленно создаваемые классы эквивалентности
Европейская классификация легковых автомобилей
Обозначение Длина, м Ширина, м
Сегмент A |
до 3,6 |
до 1,6 |
|
Сегмент B |
3,6—3,9 |
1,5—1,7 |
|
Сегмент C |
3,9—4,3 |
1,6—1,7 |
|
Скгмент D |
4,3—4,6 |
1,69—1,73 |
|
Сегмент E |
4,6—4,9 |
1,73—1,82 |
|
Сегмент F |
более 4,9 |
более 1,82 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Название
Mini cars («особо малый класс»)
Small cars («малый класс»)
Medium cars («средний-класс», «гольфкласс»)
Larger cars («большой класс»)
Executive cars («бизнес-класс»)
Luxury cars («представительский класс»)
Легковые автомобили – по типу кузова
Седаны |
Пикапы |
Фаэтоны |
Универсалы |
Минивэны |
Ландо |
Хэтчбэки |
Купе |
Кроссоверы |
Лифтбэки |
Маскл кар |
Родстеры |
Лимузины |
Кабриолеты |
Внедорожники |
Государственная регистрация транспортных средств
Целенаправленно создаваемые классы эквивалентности (2)
Размеры
одежды
Весовые категории (тяжёлая атлетика)
Годы |
До 1997 |
с 1998 |
|
Наилегчайший вес |
до 54 кг |
— |
|
Легчайший вес |
до 59 кг |
до 56 кг |
|
Полулёгкий вес |
до 64 кг |
до 62 кг |
|
Лёгкий вес |
до 70 кг |
до 69 кг |
|
Полусредний вес |
до 76 кг |
до 77 кг |
|
Средний вес |
до 83 кг |
до 85 |
кг |
Полутяжёлый вес |
до 91 кг |
до 94 |
кг |
Тяжёлый вес |
до 99 кг |
до 105 кг |
|
Первый тяжёлый вес |
до 108 кг |
— |
|
Супертяжёлый вес |
свыше 108 кг |
свыше 105 кг |
|
Домино
Кость домино
k1 k2
«Вес» кости = k1 + k2
Кости эквиваленты, если имеют равный вес
Сколько классов эквивалентности в наборе костей домино? Сколько костей попадает в каждый класс?
А если «вес» кости = k1 - k2 ?
Сколько классов эквивалентности в наборе костей домино? Сколько костей попадает в каждый класс?
Можно ли построить разбиение по «весу» = k1?