Лекция дискрет 04 (1)

{ m1, m2, … , mk, mk+1 } = M ≈ Nk+1 = { 1, 2, … , k, k+1 }

h: M B

Инъективность. Возьмём произвольный mi B. При соответствии f Prot(mi ) ≠ в силу инъективности f. Также в силу инъективности f Prot(mi ) не может включать два различных элемента из М. Итак, mi = f (mi ).

Аналогично, при соответствии g невозможно Prot(mi ) = в силу инъективности g, по той же причине Prot(mi ) не

может состоять из двух различных элементов из М, т.е. : mi = g (mi).

Но mi = f (mi ) = f (g (mi)) = h (mi), т.е. h – инъективно.

Итак, доказали, что h: M B – взаимно однозначное

Построим соответствие h : M B , где:

Легко доказать, что h : M B - взаимно однозначное соответствие, значит, собственное подмножество В М равномощно М

Пришли к противоречию, значит, допущение ( )

отом, что В М, B , В ≈ М – неверно.

Всилу принципа математической индукции: при любом значении k конечное множество

М= { m1, m2, … , mk } ≈ Nk = { 1, 2, … , k }

не может быть равномощно никакому своему собственному подмножеству М1 (M1 M M1 ≠ M)

Доказано Th.1.4.2

Th.1.4.3 Конечное множество М1 не может быть равномощно никакому множеству М2 такому, что М1 М2

Доказательство Th.1.4.3

Если множество М2 – бесконечное, то согласно замечанию в начале доказательства Th.1.4.2 оно заведомо не может быть равномощно конечному множеству М1. Поэтому достаточно рассмотреть случай конечного множества М2.

Но согласно Th.1.4.2 конечное множество М2 не может иметь в качестве собственного подмножества никакое равномощное ему конечное множество М1.

Доказано Th.1.4.3