21. Теза Черча і його значення.

Следующие и рассматриваемые ранее классы функций совпадают.

1.Класс ЧРФ

2.Класс ф-й,вычислимых по Тьюрингу

3..............по Маркову

4........класс МНР вычислимых

Все рассмотренные формальные модели являются различными математическими уточнениями интуитивного понятия АВФ.

Тезис Чёрча: класс част. выч. функций совпадает с классом частичных алгоритм. вычислимых функций. Т.Ч. является природонаучным фактом ,который подтверждается следующими результатами.

1.Существенно-различные формальные уточнения понятия АВФ, предложенные различными авторами оказались эквивалентными, в смысле задания одного и того же класса функций. Переход от задания функции в одном формализме в задании в другом формализме является конструктивным.

2.Все известные до сих пор алгоритмы вычисления функций оказались ЧРФ. Никому не удалось придумать пример функции, которая была бы АВФ, но не была ЧРФ

3.Для каждого из этих формализмов все заданные в конкретном формализме функций - АВФ в интуитивном смысле.

Принципы Т.

Тезис Чёрча превращает интуитивные понятия алгоритм.вычислимых и разрешимых функций в объекты мат.исследований.

Использование Т.Ч.как аксиомы позволяет во многих случаях заменить формально заданные алгоритмы на их не форм. описания.

22. Канторові нумерації. Теорема про властивості функцій c(X,y), l(n), r(n).

Нумерация наборов чисел, слов, множеств. Рассмотрим нумерацию пар и n натуральных чисел(Кантор.нумерация)

Все пары натуральных чисел расположены в последовательности так, что пара (х,у) идет раньше пары (u,v) x+y<u+v or x+y=u+v and x<u

(0,0),(0,1),(1,0),(0,2),(1,1),(2,0)

(0,0),(1,0),(2,0),(3,0)

(0,1),(1,1),(2,1),(3,1)

(0,2),(1,2),(2,2),(3,2)

(0,3),(1,3),(2,3),(3,3) Номер пары С(х,у)=n- канторовский номер; C(0,0)=0; C(2,0)=5; l(n)=x; r(n)=y; l(0)=0; r(0)=0; l(5)=2; r(5)=0

Теорема: С(х,у),l(n),r(n)-ПРФ

(x,y) (0,x+y)

(0,x+y),(1,x+y-1),(2,x+y-2).....

пара (x,y) находится на х-месте от (0,х+у). Перед (0,х+у) находится (х+у) групп пар с одинаковой суммой компонет , причём в группе пар с суммой компонент m содержиться m+1 пара. Поєтому перед парой (0,х+у) находится1+2+…+(х+у)=(х+y)(x+y+1)/2

C(x,y)=x+((х+y)(x+y+1))/2=((x+y)²+ 3x+y)/2

n=C(x,y)=[ ((x+y)²+ 3x+y)/2]-ПРФ

2n=(x+y)²+3x+y ; 8n+1-n(x+y)²+12x+4y+1=(2x+2y+1)²+8x=(2x+2y+3)²-8y-8

2x+2y+1<=<2x+2y+3; x+y+1<=[/2]<x+y+2; x+y+1=[(+1)/2]

l(n)=x=C(x,y)[ (х+y)(x+y+1)/2]=n1/2[([]+1)/2] [([]+1)/2]-ПРФ

23. Алгоритмічно нерозв’язні проблеми. Приклади.

Теорема 3.1. Не существует алгоритма (машины Тьюринга), позволяющего по описанию произвольного алгоритма и его исходных данных (и алгоритм и данные заданы символами на ленте машины Тьюринга) определить, останавливается ли этот алгоритм на этих данных или работает бесконечно.

Причины, ведущие к алгоритмической неразрешимости:

а) Отсутствие общего метода решения задачи

Проблема 1 : Распределение девяток в записи числа ;

Определим функцию f(n) = i, где n – количество девяток подряд в десятичной записи числа , а i – номер самой левой девятки из n девяток подряд: =3,141592… f(1) = 5.

Проблема 2: Вычисление совершенных чисел;

Проблема 3: Десятая проблема Гильберта;

Пусть задан многочлен n-ой степени с целыми коэффициентами – P, су-ществует ли алгоритм, который определяет, имеет ли уравнение P=0 решение в целых числах?

б) Информационная неопределенность задачи

Проблема 4: Позиционирование машины Поста на последний помеченный ящик;

Пусть на ленте машины Поста заданы наборы помеченных ящиков (кортежи) произвольной длины с произвольными расстояниями между кортежами и головка находится у самого левого помеченного ящика. Задача состоит установке головки на самый правый помеченный ящик последнего кортежа.

в) Логическая неразрешимость (в смысле теоремы Гёделя о неполноте)

Проблема 5: Проблема «останова» (см. теорема 3.1);

Проблема 6: Проблема эквивалентности алгоритмов;

По двум произвольным заданным алгоритмам (например, по двум машинам Тьюринга) определить, будут ли они выдавать одинаковые выходные результаты на любых исходных данных.

Проблема 7: Проблема тотальности;

По произвольному заданному алгоритму определить, будет ли он останавливаться на всех возможных наборах исходных данных. Другая формулировка этой задачи – является ли частичный алгоритм Р всюду определённым?