4. Визначення інтерпретації. Формальне визначення істинності.

Интерпрета́ция: совокупность значений (смыслов), придаваемых тем или иным способом элементам (выражениям, формулам, символам.

Задать интерпретацию первой сигнатуры ,значит задать:

1. Некоторое непустое множество М, называемое носителем интерпретации или универсумом.

2. С каждой константой с, сопоставить элемент

3. Каждому к-местному функциональному символу сопоставить к-местную функцию

4. Каждому к-местному предикатному символу сопоставить к-местный предикат

Адгебра – множество с заданными на нем операциями(функциями). Модель – множество с заданными на нем отношениями(предикатами). Алгебраическая система – множество, с отношениями и операциями.

_{Формула A называется истинной в данной интерпретации I тогда и только тогда, когда она выполнена на всякой последовательности из} ∑.

Ложной – если не выполнена ни на одной последовательности из ∑.

5. Властивості числення предикатів першого порядку (розвязність, повнота, несуперечність)

 Главными из свойств являются полнота (для любой формулы выводима либо она сама, либо ее отрицание) и непротиворечивость (ни одна формула не может быть выведена одновременно со своим отрицанием).

Теорема Чёрча. Исчисление предикатов неразрешимо.

Теорема Гёделя о полноте ИП в широком смысле.

Исчисление предикатов первого порядка – полная теория. Во всяком ИП первого порядка теоремами являются все те и только те формулы, которые логически общезначимы.

Исчисление предикатов первого порядка – не противоречивая теория.

Исчисления называется полным в узком смысле, если присоединение к его аксиомама какой нибудь не выводимой в нем формулы приводит к противоречию.

ИП первого порядка является неполным в узком смысле.

6. Випереджена нормальна форма. Алгоритм приведення до пнф. Сколемівська стандартна та клаузальна форми формули логіки предикатів першого порядку. Алгоритм приведення до ссф.

Предваренной нормальной формой (ПНФ) называется формула вида , где,- префиксные формулы,- формула, не содержащая кванторов (матрица формулы).

Теорема. Для любой формулы исчисления предикатов существует эквивалентная ей ПНФ.

Доказательство конструктивное, т.е. представляет собой алгоритм приведения произвольной формулы к ПНФ.

Алгоритм.

1.Исключить логические операции и:

2.Продвинуть знак отрицания так, чтобы он относился непосредственно к элементарной формуле (предикатной букве). Используем:

3.Переименовать, если это необходимо, связанные переменные так, чтобы в области действия каждого квантора каждая связанная им переменная имела бы уникальное имя и имена свободных и связанных переменных не совпадали.

4.Удалить кванторы, если область их действия не содержит переменной, связанной этим квантором.

5.Переместить кванторы в начало формулы, пользуясь следующими равносильностями:

Вспомогательные формулы:

Сколемовской стандартной формой (ССФ) называется формула вида , которая представлена в ПНФ и содержит только кванторы всеобщности.

Алгоритм построения сколемовской стандартной формы (ССФ).

1.Формула приводится к ПНФ.

2.Найти в префиксе самый левый квантор существования.

а) если квантор существования находится на первом месте префикса, то вместо переменной, связанной этим квантором, поставить всюду в матрице формулы предметную константу (a), отличную от встречающихся в матрице формул;

б) если квантор существования не на первом месте, то выбрать функциональный символ, отличающийся от функциональных символов, встречающихся в матрице формулы, и выполнить замену связанной этим квантором переменной на функцию, называемую сколемовской функцией.удалить.

3. Найти следующий и перейти на пункт 2.

Клаузальной называется ССФ, записанная в виде КНФ.