7. Універсум Ербрана. Ербранова база.

Под множеством формул будем понимать множество дизъюнктов, которые получаем при сведении произвольной формулы к клаузальной.

Под литералом будем понимать элементарную формулу или её отрицание.

Константным частным случаем будем называть литерал, не содержащий переменных.

S={F₁, F₂,…,F_n} – множество формул.

А – вывод из формул S

S₁=S{A}-множество противоречиво(невыполнимо)

Различных областей интерпретации может быть бесчисленное множество. Строится множество Эрбрана Н_s1, обладающее следующим свойством: если на множестве Н_s1 множество S₁ противоречиво, то оно противоречиво на любой другой области интерпретации.

Множество Н_s1 наз. множеством Эрбрана.

Универсум Эрбрана (УЭ) рекурсивно строится следующим образом:

1.Множество всех предметных констант, входящих в S₁ принадлежит Н_s1. Если ни одной предметной константы не содержится в Н_s1, то Н_s1 содержит произвольную предметную константу, названную любым именем.

2.Если термы t_i (i=1,2, 3,…,s) принадлежат Н_s1, а t_j – какой-нибудь s-арный функциональный символ, встречающийся в S1,то f_j (t₁,…, t_s)  Н_s1.

3.Других объектов в Н_s1 нет.

Пр. 1. S₁={P(a)Q(x, b), P(x) Q(b, y), R (x, a, c)}

Н_s1={a, b, c}

2. S₁={P(x) Q(x, y), P(f(x)), P(f(x)) R (g(y))}

Н_s1={a, f(a), g(a), f(f(a)), g(g(a)), f(g(a)),…}

3. S₁={P(x), Q(f(x, y), g(x)) R(x, y)}

Н_s1={a,f(a),g(a), f(f(a)), g(g(a)), f(g(a)),…}

4. S₁={Q(x) R(y), P(y)  Q(x)}

Н_s1={a}

Эрбрановой базой (базисом) Е_s1 для множества формул S₁ наз. множество всех константных частных случаев для всех элементарных формул, входящих в дизъюнкты из S₁ и получаемых при подстановке элементов из Н_s1.

1.S₁= {P(x) Q(a, y), P(a), Q(x, y)}

Н_s1= {a}

Е_s1={P(a), Q(a, a)}

2. S₁={P(x, a) Q(f(x)), P(a, y)}

Н_s1={a,f(a),g(a), f(f(a)), g(g(a)), f(g(a)),…}

Е_s1={P(a, a), P(f(a), a), P(a, f(a)), Q(f(a)), Q(f(f(a))),…}

Теорема Эрбрана

Множество дизъюнктов S₁ противоречиво тогда и только тогда, когда имеется конечное противоречивое множество S_с константных частных случаев этих дизъюнктов на Н_s1.

S₁={P(x, y),P(f(a), b) R(x, y), R(x, b)}

Н_s1={a, b, f(a), f(b), f(f(a)), …}

S_с={P(f(a),b),P(f(a),b)R(a, b), R(a, b)}

8. Алгоритм уніфікації.

Процесс подстановок с целью получения подходящих резолюций дизъюнктов называется унификацией.

(переменную xi заменяем на терм ti)

Под композицией 2 подстановок , :  * () называется результат применения подстановки  к результату подстановки  с последующей подстановкой тех пар из , в которых имеется переменная,не вошедшая в  и выбрасыванием тех пар из , в которых имеется переменная, вошедшая в 

Множество литералов {Li} называется унифицированным, если существует такая подстановка :

Подстановка  называется унификатором. Наиболее общим простейшим унификатором для множества литералов Li является подстановка p такая, что для любого другого унификатора выполняется: .

Множеством рассогласования для множества литералов называется множество термов, отличающихся в первой позиции слева.

Алгоритм унификации (для 2 литералов):

Lk- множество литералов, Dk- множество рассогласования, k- подстановка на k-ом шаге.

Начальный этап: L0, 0. k-й этап:

Если , то конец алгоритма,k- наиболее общий унификатор. Если Dk содержит переменную xk и терм tk, и переменная xk входит в терм tk, то множество литералов не унифицируемо.

(k+1)-й этап: делаем подстановку