17. Елементарні функції. Операції суперпозиції, примітивної рекурсії, мінімізації.

Опр: Базисными функциями называются следующие функции:

1.O(x)=0

2.S(x)=x+1

3.Функции выбора

Все базисные функции являются всюду определенными алгоритмически вычисляемыми функциями.

Операции: 1) суперпозиции 2)примитивная рекурсия 3) минимизация

Операция суперпозиции: (Sⁿ⁺¹) ставит в соответствие n-арной функции g(x1…xn) и m-арным функциям g1(x1…xm)… gn(x1…xm) m-арную f(x1…xm)=g(g1(x1…xm)… gn(x1…xm)). f=Sⁿ⁺¹(g,g1…gn)

Операция рекурсии: ставит в соответствие n-арной функции g(x1…xn) и n+2-арной функции h n+1-арную функцию f . f(x1,…,xn,0)=g(x1,…,xn); f(x1,…,xn,y+1)=h(x1,…,xn,y,f(x1,…xn,y)); f=R(g,h)

f(x1,…,xn,0)=g(x1…xn);

f(x1,…,xn,1)=h(x1…xn,0, f(x1,…,xn,0));

f(x1,…,xn,2)= h(x1…xn,1, f(x1,…,xn,1));…

f(x1,…,xn,m)=h(x1…xn,m-1, f(x1,…,xn,m-1));

Операция минимизации: М ставит в соответствие n-арной функции g n-арную функцию f, которая задается соотношением

Последовательно вычисляем значения g(x1…xn,у) для у=1,2…Первое значения у для которого и будет значением функцииf(x1,…,xn). При этом для любого t<y функция g(x1…xn,t) определена и + 0 Процесс нахождения у не завершен если

1.для всех значений у значение g(x1…xn,у) + 0

2.для t<y g(x1…xn,t) + 0 и определена, а функция g(x1…xn,у) не определена. П: не определена. ;

18. Поняття прф, рф, чрф. Приклади.

Функцию, которую можно получить из базисных функций с помочью конечного числа применений операций суперпозиции и примитивной рекурсии, называют ПРФ.

Функцию, которую можно получить из базисных функций с помочью конечного числа применений операций суперпозиции и примитивной рекурсии и минимизации, называют ЧРФ.

Всюду определенную ЧРФ называют рекурсивной – РФ. ПРФ < РФ< ЧРФ

П. f(x1, x2) = x1+x2.

f(x1,0)=х 1+ 0= x1= I₁¹ x1

f(x1, x2+1) = x1 =+ x1+1 = f(x1+x2)+1= S(f(x1, x2))

f=R(g,h), g(x1)= I₁¹ (x1), h (x1 x2 x3) = g(x3)

f(x1, x2) = x1* x2.

f(x1,0)=0=0(x1)

f(x1, x2+1) = x1*(x1+1)= x1* x2+ x1=f(x1+x2)+x1

f=R(g,h), g(x1)=0(x1), h (x1 x2 x3) = x3+ x1

f(x1, x2)=|x1-x2|; |x1-х2|=(x1x2)+(x2x1) – ПРФ

f(x1, x2)=x1-x2; f(x1, x2)=М(х2у-х1=0) - ЧРФ

19. Елементарні властивості прф. Теореми 1, 2 (з доведенням).

ПРИМЕЧАНИЕ: на месте знака «» должен біть знак частичной разности

1.Теорема 1,2

Элементарные свойства ПРФ

Т1.Пусть(n+1)арная функция g –ПРФ, тогда (n+2)арная функция f, заданная соотношением f(x1,x2,..,xn,y,z)=-также ПРФ

f(x1,x2,..,xn,y,z)= +nsg(yz) g(x1,x2,..,xn,y)

Т.2 (n+1)арная функция g и n –арн. функции -ПРФ, тогда n-арная h(x1,x2,..,xn)= -ПРФ

h(x1,x2,..,xn)= f(x1,....,xn,

Т1 и Т2 будут и справедливо, если заменить

20. Елементарні властивості прф. Теореми 3, 4 (з доведенням).

Т3(о кусочном задании функции)

Пусть n-арная функция f1,...,fk+1,является ПРФ, тогдаn-арная функция

f(x1,x2,....,xn)=

Причём, никакие 2 функции одновременно не обращаются в 0не при каких значениях х1,..,хn

f(x1,...xn)=

Операция ограничения линией

(n+1)арная f получается из (n+1)функции g с помощью операции ограничения линией,если она задается соотношением

f(x1,..,xn,y)=f(x1,..xn,y)=

_{(в системе написано: первому, начиная с нуля, значение z, такому что, z<y и g(x1,…,xn,z)=0 , если такое z существует; y – если такое z не существует)}

T4(об огран.лин.)

Пусть (n+1)арная функция g –ПРФ,тогда (n+1)арная функция f задаваемая операцией огран.линией f(x1,..xn,y)=

Док-во:Рассмотрим

Зафиксируем набор x1,x2...,xn,y

Пусть =b

; =;f(x1,..,xn,y) =